【人教版】八年級上冊數(shù)學(xué)：第十四章《整式的乘法與因式分解解讀與拓展》課件：因式分解

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1、教材全面解讀,首頁,末頁,目錄,易錯易混警示,重點(diǎn)題型剖析,中考教材對接,第十四章 整式的乘法與因式分解,,,因式分解,因式分解,,定義,因式分解與整式乘法的關(guān)系,因式分解,把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，像這樣的式子變形叫作這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式,,(a+b)(a-b),知識解讀,（,1,）因式分解是多項(xiàng)式的恒等變形，因式分解的對象是多項(xiàng)式；（,2,）因式分解的結(jié)果必須是積的形式；（,3,）每個(gè)因式必須是整式，每個(gè)因式的次數(shù)都低于原來多項(xiàng)式的次數(shù)；,,（,4,）因式分解必須分解到不能再分解為止,,因式分解,整式乘法,B,例,1,下列式子從左到右變形是因式分解的是

2、（ ）,解析： ，等式右邊不是整式乘積的形式，故,A,選項(xiàng)不是因式分解；,,,,,等式右邊是整式乘積的形式，故,B,選項(xiàng)是因式分解；,,,,,等式右邊不是整式乘積的形式，故,C,選項(xiàng)不是因式分解；,,，等式左邊不是多項(xiàng)式，故,D,選項(xiàng)不是因式分解,.,故選,B.,是不是因式分解，就是看等式右邊是不是整式乘積的形式,.,提公因式法,,定義,公因式,一個(gè)多項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有的一個(gè)公共的因式，我們把這個(gè)因式叫作這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式,提公因式法,一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來

3、，將多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫作提公因式法,知識解讀,(1),公因式必須是每一項(xiàng)中都含有的因式，只在某一項(xiàng)或某幾項(xiàng)中含有而其他項(xiàng)中沒有的字母，不能成為公因式的一部分，它的構(gòu)成為：①系數(shù)為各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)；②字母為各項(xiàng)都含有的相同字母；③指數(shù)為相同字母的最低次數(shù),.,,(2),多項(xiàng)式的公因式可以是一個(gè)單項(xiàng)式，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式,D,例,2,多項(xiàng)式,,的公因式是（ ）,解析：整式可以看作是由 ，,,,,,,,三項(xiàng)組成，這三項(xiàng)中都含有因式,a,和,,，由于首項(xiàng)符號為“,-”,，所以公因式是,.,故選,D.,,D,

4、例,3,下列因式分解正確的是（ ）,解析：,A,選項(xiàng)中應(yīng)提取公因式,3,a,；,,B,選項(xiàng)提取公因式,a,后，遺漏“,1”,這一項(xiàng)；,,C,選項(xiàng)提取公因式,-2,a,后，余式中的兩項(xiàng)沒變號；,,D,選項(xiàng),,,，因此,D,選項(xiàng)正確,.,,故選,D.,注意,,（,1,）當(dāng)多項(xiàng)式的第一項(xiàng)（首項(xiàng)）的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，可先提取“,-”.,,（,2,）當(dāng)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)和公因式相同時(shí)，提取公因式后括號內(nèi)該項(xiàng)對位置寫成,1,，注意避免漏項(xiàng),.,圖,14-3-1,例,4,如圖,14-3-1,，邊長為,a,，,b,的長方形，它的周長為,14,，面積為,10,，則,,的值為,__,70,____.,解析：由題意，

5、得,a+b,=7,,ab,=10,,,∴,,,確定公因式一是要從系數(shù)、字母及指數(shù)三方面入手，公因式可以是一個(gè)單項(xiàng)式，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式，互為相反數(shù)的因式可變形為公因式,.,利用平方差公式法分解因式,,概念,字母表示,平方差公式法,兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積,,知識解讀,（,1,）多項(xiàng)式由兩項(xiàng)組成，形式上必須是兩個(gè)數(shù)平方的差；,,（,2,）因式分解的結(jié)果是這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積；,,（,3,）字母,a,b,可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式,,,,例,5,分解因式：,解：（,1,）原式,,,(2),原式,=,,,(3),原式,,,a(a+b)(a-b),,例,6,（四川樂山中考

6、）分解因式：,,=___________.,解析：,二項(xiàng)式（或者可以看作是二項(xiàng)式）的因式分解，一般先考慮利用平方差公式法，如果有公因式的，一定要先提取公因式，再嘗試?yán)闷椒讲罟椒ǚ纸庖蚴?.,利用完全平方公式法分解因式,,概念,字母表示,完全平方公式法,兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的,2,倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方,,知識解讀,（,1,）多項(xiàng)式是二次三項(xiàng)式，其中兩項(xiàng)是兩數(shù)和的平方，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)的積的,2,倍；,,知識解讀,（,2,）因式分解的結(jié)果是這兩個(gè)數(shù)和的平方或差的平方，若乘積項(xiàng)的符號為“,+”,，則是這兩數(shù)的和的平方，若乘積項(xiàng)的符號為“,-”,，則是這兩個(gè)數(shù)的差

7、的平方,;,,（,3,）公式中的字母可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式；,,(4),我們把,,,這樣的式子叫作完全平方式,,,例,7,分解因式：,解：,,(1),原式,=,,,(2),原式,,例,8,分解因式：,解：,(1),原式,,,(2),原式,,,(3),原式,,在利用完全平方公式分解因式時(shí)，根據(jù)公式的特征，有時(shí)需要對多項(xiàng)式進(jìn)行變形，才可以利用完全平方公式分解因式,.,型式子的因式分解,,,因式分解公式,依據(jù),,,型式子的因式分解,,,,,知識解讀,（,1,）二次項(xiàng)系數(shù)為,1,；,,（,2,）常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積；,,（,3,）一次項(xiàng)系數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的和；（,4,）當(dāng),p=q,時(shí)，,,,,例,9,

8、請你仿照下面例子分解因式的方法，把下列的多項(xiàng)式分解因式：,,例子：,分解因式,:,解：,,,對,,型的式子進(jìn)行因式分解，關(guān)鍵是常數(shù)項(xiàng)分解成的兩個(gè)數(shù)的和一定要等于一次項(xiàng)的系數(shù).,分解因式不徹底,例,10,分解因式：,解：,,(1),原式,=2,x,(,x,-2,y,),.,,(2),原式,易錯總結(jié),,,(1),中的易錯點(diǎn)為,,,即提取公因式不徹底導(dǎo)致錯誤；,,,(2),中的易錯點(diǎn)為,,,,,即對,,的因式分解不徹底,.,提公因式后，遺漏某項(xiàng),解：原式,=3,x,(,x,-6,y,+1).,例,11,因式分解：,易錯總結(jié),,,當(dāng)公因式是多項(xiàng)式的某一項(xiàng)時(shí)，提取公因式后，括號內(nèi)本項(xiàng)對應(yīng)位置遺漏,1,，

9、導(dǎo)致出現(xiàn)類似,,的錯誤,.,題型一 選取適當(dāng)?shù)姆椒ǚ纸庖蚴?,,角度,a,先提取公因式，再運(yùn)用公式法分解因式,例,12,分解因式：,再利用完全平方公式進(jìn)行徹底地分解,觀察各個(gè)因式是否不能再分解,思路導(dǎo)圖,先提取公因式,,,解：原式,=,方法點(diǎn)撥：,,,多項(xiàng)式中有公因式,,,又存在分?jǐn)?shù)系數(shù)，提取公因式時(shí)把 與 一并提取,.,角度,b,兩次運(yùn)用公式法分解因式,從整體上可以看作是,“,二項(xiàng)式,”,，先用平方差公式法分解因式,思路導(dǎo)圖,再運(yùn)用完全平方公式法分解因式，注意分解要徹底,,例,13,分解因式,:,,解：原式,=,方法點(diǎn)撥：,,分解因式時(shí)，得到的余式若能繼續(xù)因式分解，則應(yīng)繼續(xù)分解，直

10、到不能再分解為止,.,角度,c,先對多項(xiàng)式局部分解或展開，組合后再分解因式,例,14,分解因式：,思路導(dǎo)圖,觀察各個(gè)因式是否分解徹底,,(1),先對 因式分解，再從整體上提取公因式；,,（,2,）先對,-4,（,a+b,-1,）變形，再運(yùn)用完全平方公式法分解因式 觀察各個(gè)因式是否分解徹底,解：,,(1),原式,,,,,(2),原式,方法點(diǎn)撥：,,,,分解因式的一般步驟：先觀察是否有公因式，若有公因式，應(yīng)先提取公因式，再用公式法分解因式；若沒有公因式，就觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，用恰當(dāng)?shù)姆椒ǚ纸庖蚴?，最后檢查每一個(gè)多項(xiàng)式的因式，看能否繼續(xù)分解,.,題型二 利用因式分解求值,例,1

11、5,（,1,）已知,x,= ,,y,=,，,,則 的值為,______;,,(2),已知,x+y,=1,,則 的值為,_____.,(1),先利用平方差公式法因式分解；,(2),先提取公因式,思路導(dǎo)圖,(1),再合并同類項(xiàng)；,(2),再運(yùn)用完全平方公式法分解因式,將已知條件代入求值,,,解析：,(1),方法點(diǎn)撥：,,先利用公式法分解因式，將所求整式整理成含已知條件的形式，再代入計(jì)算即可,.,題型三 運(yùn)用因式分解說理或證明,B,A,例,16,（,1,）已知,a,

12、b,c,是三角形三邊的長，則代數(shù)式 的值是（ ）,,A.,正數(shù),B.,負(fù)數(shù),C.0 D.,無法確定,,（,2,）已知,a,b,c,是三角形三邊的長，那么代數(shù)式,,的值是（ ）,,A.,正數(shù),B.,負(fù)數(shù),C.0 D.,無法確定,解析：（,1,）∵,,又,a,b,c,是三角形三邊的長，,,∴,a+b-c,＞,0,,a-c-b,＜,0,,,∴,的值為負(fù)數(shù),.,故選,B.,,（,2,）∵,,=(a+b+c)(a+b-c),，,,又,a,b,c,是三角形三邊的長，,,∴,a+b-c,＞,0,,a+b+c,＞,0,,,∴,的值為正數(shù),

13、.,故選,A.,方法點(diǎn)撥：,,確定整式的正負(fù)，可以把整式分解因式，通過確定各個(gè)因式的性質(zhì)符號，進(jìn)而確定整式的值的正負(fù),.,題型四 因式分解在三角形中的綜合運(yùn)用,例,17,已知,a,b,c,是三角形三邊的長，且滿足,,,求這個(gè)三角形三邊的長,.,解：∵,,∴,,,,∴,a,=3,,b,=4,,c,=5.,,故這個(gè)三角形三邊的長分別為,3,4,5.,方法點(diǎn)撥：,,本題屬于因式分解與三角形知識的綜合運(yùn)用,.,當(dāng)題目中含有平方項(xiàng)時(shí)，可先將所給的等式分解因式，再利用完全平方的非負(fù)性即可求得三角形三邊的長,.,解讀中考：,因式分解在中考中比較常見，主要以填空題和選擇題為主，考查內(nèi)容一般是同時(shí)考查提公因式法

14、和公式法,.,利用因式分解變形，求代數(shù)式的值也是中考的熱點(diǎn)題型之一,.,A,例,18 (,四川自貢中考,),把多項(xiàng)式 分解因式，結(jié)果正確的是,( ),,A.,a,(,a,-4),,B.(,a,+2)(,a,-2),,C.,a,(,a,+2)(,a,-2),,D.,考點(diǎn)一 直接利用提公因式法或公式法分解因式,方法點(diǎn)撥：,,,,在多項(xiàng)式,pa+pb+pc,中，各項(xiàng)都有一個(gè)公共的因式,p,，我們把因式,p,叫作這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式,.,例,19 (,廣西百色中考,),分解因式：,=,（ ）,,A.(4-,x,)(4+,x,),,B.(,x,-4)(,x,

15、+4),,C.(8+,x,)(8-,x,),,D.,A,解析：,.,故選,A.,方法點(diǎn)撥,,,當(dāng)多項(xiàng)式可以表示成兩數(shù)的平方差時(shí)，用平方差公式分解因式,.,當(dāng)多項(xiàng)式可表示成兩數(shù)平方和與兩數(shù)積的,2,倍的和、差時(shí)，用完全平方公式分解因式，當(dāng)乘積項(xiàng)為“,+”,時(shí)選擇和的完全平方公式，當(dāng)乘積項(xiàng)為“,-”,時(shí)選擇差的完全平方公式,.,A,例,20 (,吉林長春中考,),把多項(xiàng)式 分解因式，結(jié)果正確的是（ ）,例,21 (,山東聊城中考,),把 分解因式，結(jié)果正確的是（ ）,C,解析：,故選,C.,考點(diǎn)二

16、 提公因式法與公式法相結(jié)合分解因式,例,22 (,廣東梅州中考,),分解因式 結(jié)果正確的是（ ）,A,解析：,故選,A.,例,23 (,湖北孝感中考,),分解因式：,,_______________________,解析：原式,=,例,24 (,廣西賀州中考,),將 分解因式的結(jié)果是,_________________________.,解析：原式,=,考點(diǎn)三 因式分解的應(yīng)用,例,25 (,湖北宜昌中考,),小強(qiáng)是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：,a-b,，,x-

17、y,，,x+y,，,a+b,，,,分別對應(yīng)下列六個(gè)字：昌、愛、我、宜、游、美，現(xiàn)將 因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是,( ),,A.,我愛美,B.,宜昌游,,,C.,愛我宜昌,D.,美我宜昌,C,解析：,,,,,∵,x-y,x+y,a+b,a-b,四個(gè)代數(shù)式分別對應(yīng)愛、我、宜、昌，,,∴結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是“愛我宜昌”,.,故選,C.,核心素養(yǎng),,,,因式分解是后續(xù)學(xué)習(xí)分式的化簡與運(yùn)算、解一元二次方程的基礎(chǔ)，同時(shí)也是學(xué)習(xí)物理、化學(xué)等學(xué)科的基礎(chǔ)知識,.,例,26,將一條長,40 cm,的金色彩帶剪成兩段，恰好可用來鑲嵌兩張大小不同的正方形裝飾畫的邊（不計(jì)接頭處），已知兩張裝飾畫的面積相差,40 cm,2,，問,:,這條金色彩帶應(yīng)剪成多長的兩段？,解：設(shè)較大正方形的邊長為,x,cm,，較小正方形的邊長為,y,cm.,,根據(jù)題意，得,,∴(,x+y,)(,x-y,)=40,,x+y,=10.,,把,x+y,=10,代入,(,x+y,)(,x-y,)=40,，,,得,x-y,=4. ∴,x,+,y,=10,,x-y,=4,,,解得,x,=7,,y,=3.,,故,4,x,=28,4,y,=12,,,即這條金色彩帶應(yīng)剪成,28 cm,和,12 cm,的兩段,.,