[初一數(shù)學(xué)]乘法公式

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1、乘法公式 　　一、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2 　　要注意等式的特點(diǎn)： 　?。?）等式的左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式的乘積，且這兩個(gè)二項(xiàng)式中，有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)； 　　（2）等式的右邊是一個(gè)二項(xiàng)式，且為兩個(gè)因式中相同項(xiàng)的平方減去互為相反數(shù)的項(xiàng)的平方． 　　值得注意的是，這個(gè)公式中的字母a，b可以表示數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式．平方差公式可以作為多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的簡(jiǎn)便公式，也可以逆用做為快速計(jì)算的工具． 　　例１　下列各式中不能用平方差公式計(jì)算的是（　?。? 　　A．（a－b）（－a－b）　 B．（a2－b2）（a2＋b2） 　　C．（a＋b）（－a－

2、b）　 D．（b2－a2）（－a2－b2） 　　解：Ｃ．根據(jù)上面平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，Ａ中，－b是相同的項(xiàng)，a與－a是性質(zhì)符號(hào)相反的項(xiàng)，故可使用；Ｂ中a2是相同項(xiàng)，－b2與b2是互為相反數(shù)符合公式特點(diǎn)；同樣Ｄ也符合．而Ｃ中的兩個(gè)二項(xiàng)式互為相反數(shù)，不符合上述的等式的特征，因此不可使用平方差公式計(jì)算． 　　例２　運(yùn)用平方差公式計(jì)算： 　　（１）（ x2－y）（－y－ x2）； 　?。ǎ玻╝－3）（a2＋9）（a＋3）． 　　解：（１）（ x2－y）（－y－ x2） 　　＝（－y ＋ x2）（－y－ x2） 　?。?－y)2－（ x2）2 　?。統(tǒng)2－ x4 ；

3、 　　（２）（a－3）（a2＋9）（a＋3） 　?。剑╝－3）（a＋3）（a2＋9） 　　＝（a2－32）（a 2＋9） 　?。剑╝2－9）（a2＋9） 　?。絘4－81 ． 　　例３　計(jì)算： 　?。ǎ保?4.52－45.52 ； 　?。ǎ玻?2x2+3x+1)(2x2-3x+1)． 　　分析：（１）中的式子具有平方差公式的右邊的形式，可以逆用平方差公式；（２）雖然沒有明顯的符合平方差公式的特點(diǎn)，值得注意的是，平方差公式中的字母a，b可以表示數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，我們可以把2x2+1看做公式中字母a，以便能夠利用公式．正如前文所述，利用平方差可

4、以簡(jiǎn)化整式的計(jì)算． 　　解：（１）54.52－45.52 　　＝（54.5＋45.5）(54.5－45.5) 　?。?009 　　＝900 ； 　?。ǎ玻?2x2+3x+1)(2x2-3x+1) 　　=(2x2+1)2-(3x)2 　　=4x4+4x2+1-9x2 =4x4-5x2+1 　　二、完全平方公式： (a＋b)2＝a 2＋2ab＋b 2　　 　　(a－b)2＝a 2－2ab＋b 2． 　　二項(xiàng)式的平方，等于其中每一項(xiàng)（連同它們前面的符號(hào)）的平方，加上這兩項(xiàng)積的兩倍． 　　完全平方公式是計(jì)算兩數(shù)和或差的平方的簡(jiǎn)算公式，在有關(guān)代數(shù)

5、式的變形和求值中應(yīng)用廣泛．正確運(yùn)用完全平方公式就要抓住公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過與平方差公式的類比加深理解和記憶．運(yùn)用中要防止出現(xiàn)（ab）2＝a2b2，或（a－b）2＝a2－2ab－b2等錯(cuò)誤． 　　需要指出的是，如同前面的平方差公式一樣，這里的字母a，b可以表示數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式． 　　例１　利用完全平方公式計(jì)算： 　?。ǎ保ǎ?a－5）2 ；　 （２）（a－b＋c）2 ． 　　分析：有關(guān)三項(xiàng)式的平方可以看作是二項(xiàng)式的平方，如（a－b＋c）2＝[（a－b）＋c]2或[a－（b－c）]2，通過兩次應(yīng)用完全平方公式來計(jì)算． 　　解：（１）（－3a－5）2

6、 　?。剑ǎ?a）2－2（－3a）5 ＋ 5 2 　　＝9a2 ＋ 30a ＋ 25 　?。ǎ玻╝－b＋c）2 　?。絒（a－b）＋c]2 　?。剑╝－b）2 ＋ 2（a－b）c + c2 　　＝a 2－2ab＋b 2＋2ac－2bc + c2 　?。絘 2＋b 2+ c2＋2ac－2ab－2bc ． 　　例２利用完全平方公式進(jìn)行速算. 　　(1)1012　　　 (2)992 　　解: (1)1012　　　　　　　　　 　分析:將1012變形為(100+1)2原式可 　　=(100+1)2　　　　　　　　 　　　　　　利用完全平方公式來速

7、算. 　　=1002+21001+12 　　=10201 　　解: (2)992　　　　　　　　　　 分析:將992變形為(100-1)2原式可 　　=(100-1)2　　　　　　　 　　　　　　利用完全平方公式來速算. 　　=1002-21001+12 　　=9801 　　例３　計(jì)算： 　?。ǎ保?92－98100??；（２）4951－2 499 ． 　　解：（１）992－98100　 　　＝（100－１）2－98100 　?。?002－２100＋１－9800 　?。?0000 －　200－9800＋１ 　　＝１； 　　

8、（２）4951－2499 　　＝（50－1）（50＋１）－2499 　?。?500－1－2499 　　＝０． 　　例４　已知a＋b＝8，ab＝10，求a2＋b2，（a－b）2的值． 　　分析：由前面的公式變形可以知道：a 2＋ b 2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab． 　　解：由于a 2＋ b 2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．而a＋b＝8，ab＝10 　　所以　 　　a 2＋ b 2＝(a＋b)2－2ab＝ 82 － 2 10＝ 44 　　(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝82 － 4

9、 10＝ 24 ． 　　三：練習(xí) 　　1．利用乘法公式進(jìn)行計(jì)算： 　　(1) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)　　 (2) (3x+2)2-(3x-5)2　　　　　(3) (x-2y+1)(x+2y-1) 　　(4) (2x+3y)2(2x-3y)2　　　　　　(5) (2x+3)2-2(2x+3)(3x-2)+(3x-2)2 　　(6) (x2+x+1)(x2-x+1)　　　　 　　解：(1) 原式=(x2-1)(x2+1)(x4+1) 　　=(x4-1)(x4+1) 　　=x8-1. 　　(2)解法1：原式=(9x2+

10、12x+4) -(9x2-30x+25) 　　=9x2+12x+4-9x2+30x-25 　　=42x-21 　　解法2：原式=[(3x+2)+(3x-5)][(3x+2) -(3x-5)] 　　=(6x-3)7 　　=42x-21. 　　(3)原式=[x-(2y-1)][x+(2y-1)] 　　=x2-(2y-1)2 　　=x2-(4y2-4y+1) 　　=x2-4y2+4y-1 　　(4)原式=[(2x+3y)(2x-3y)]2 　　=(4x2-9y2)2 　　=16x4-72x2y2+81y4 　　(5) 原式=[(2x

11、+3) -(3x-2)]2 　　=(-x+5)2 　　=x2-10x+25 　　(6) 原式=[(x2+1)+x][(x2+1) -x] 　　=(x2+1)2-x2 　　=(x4+2x2+1) -x2 　　=x4+x2+1 　　2．已知：a+b=5, ab=3，求：(1) (a-b)2 ；(2) a2+b2 ； 　　解：(1) (a-b)2=(a+b)2-4ab 　　=52-43 　　=13 　　(2) a2+b2=(a+b)2-2ab 　　=52-23 　　=19. 在線測(cè)試 　　選擇題 　　1．在下列多項(xiàng)式的乘

12、法中，可以用平方差公式計(jì)算的是（?。? 　　 A、(x+1)(1+x)　　 B、( a+b)(b- a) 　　 C、(-a+b)(a-b)　　 D、(x2-y)(x+y2) 　　2．下列各式計(jì)算正確的是（?。? 　　 A、(a+4)(a-4)=a2-4　　　　　　 B、(2a+3)(2a-3)=2a2-9 　　 C、(5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1　　 D、(a+2)(a-4)=a2-8 　　3．(- x+2y)(- x-2y)的計(jì)算結(jié)果是（?。? 　　 A、 x2-4y2 　　　　 B、4y2- x2 　　 C、 x2+4y2 　　　　 D、- x2-

13、4y2 　　4．(abc+1)(-abc+1)(a2b2c2+1)的結(jié)果是（　）。 　　 A、a4b4c4-1 　　 B、1-a4b4c4 　　 C、-1-a4b4c4　　 D、1+a4b4c4 　　5．下列各式計(jì)算中，結(jié)果錯(cuò)誤的是（ ） 　　 A、a(4a+1)+(2a+b)(b-2a)=a+b2. 　　 B、 　　 C、m2-(5m+3n)(5m-3n)+6(2m-n)(n+2m)=3n2 　　 D、 答案與解析 　　答案：1、B　 2、C　 3、A　 4、B　 5、D 　　解析： 　　1．B． ( a+b)(b- )=(b+ a)(b- a)

14、.符合平方差公式的特點(diǎn)，故選B。 　　2．C．(a+4)(a-4)=a2-42=a2-16, 故A錯(cuò)； 　　　　　(2a+3)(2a-3)=(2a)2-32=4a2-9，故B錯(cuò)。 　　　　　(5ab+1)(5ab-1)=(5ab)2-12=25a2b2-1，故C正確； 　　　　　(a+2)(a-4)=a2+(2-4)a+2(-4)=a2-2a-8，故D錯(cuò)。 　　3．A．原式=(- x)2-(2y)2= x2-4y2. 　　4．B．原式=(1+abc)(1-abc)(1+a2b2c2) 　　　　　　　=[12-(abc)2](1+a2b2c2) 　　　

15、　　　　=(1-a2b2c2)(1+a2b2c2) 　　　　　　　=1-a4b4c4. 　　5．D． 才正確，差一個(gè)符號(hào)。 中考解析： 乘法公式 平方差公式 　　考點(diǎn)掃描: 　　熟練掌握平方差公式，靈活運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算． 　　名師精講: 　　1．平方差公式：(a+b）(a–b)=a2–b2．即兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差．平方差公式的左邊是兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，而右邊正好是這兩個(gè)數(shù)的平方差． 　　2．平方差公式中的字母a、b可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式． 　　中考典例: 　　1．（

16、湖北武漢）觀察下列各式(x–1)(x+1)=x2–1,(x–1)(x2+x+1)=x3–1，(x–1)(x3+x2+x+1)=x4–1，根據(jù)前面各式的規(guī)律可得(x–1)(xn+xn–1+…+x+1)=___________． 　　考點(diǎn)：平方差公式的延伸 　　評(píng)析：該題是一個(gè)探索規(guī)律性的試題，要通過觀察把握住給出的等式中的不變量和變量與變量間的變化規(guī)律．不難發(fā)現(xiàn)其結(jié)果為xn+1–1． 　　真題專練: 　　1．（廣東省）化簡(jiǎn)：(x+y)(x–y)–x2=　　 ． 　　2．（德陽市）化簡(jiǎn)：x2–(x+y)(x–y) 　　答案：1、原式=x2–y2–x2

17、=–y2　　　 2、原式=x2–(x2–y2)=x2–x2+y2=y2 完全平方公式 　　考點(diǎn)掃描: 　　熟練掌握完全平方公式，靈活運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算 　　名師精講: 　　1．完全平方公式：（ab）2=a22ab+b2，即：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或者減去）它們的積的2倍． 　　2．公式中的字母a、b，可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式．公式可推廣：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．即三個(gè)數(shù)的和的平方，等于各個(gè)數(shù)的平方和加上每?jī)蓚€(gè)數(shù)的積的2倍． 　　3．如果一個(gè)多項(xiàng)式能化成另一個(gè)多項(xiàng)式的平方

18、，就把這個(gè)多項(xiàng)式叫做完全平方式．如，a22ab+b2=(ab)2；a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2，則a22ab+b2和a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc就叫做完全平方式． 　　中考典例: 　　1．（北京西城區(qū)）下列各式計(jì)算正確的是（　 ） 　　A、(x–1)2=x2–2x+1　　B、(x–1)2=x2–1 　　C、x3+x3=x6　　　　　　D、x6x3=x2 　　考點(diǎn)：完全平方公式及冪的運(yùn)算性質(zhì) 　　評(píng)析：該題是考查學(xué)生對(duì)公式及冪的運(yùn)算法則掌握的情況，所以解決此題就要對(duì)公式特別是完全平方公式及冪的運(yùn)算法則掌握熟練，由完

19、全平方公式(ab)2=a22ab+b2可以判定A對(duì)，B不對(duì)，由整式的加減可判定C不對(duì)，再根據(jù)同底數(shù)冪除法的法則確定D也不對(duì)，因此只有選A． 　　說明：當(dāng)該題確定A選項(xiàng)后，其他選項(xiàng)也可以不考慮，因?yàn)閿?shù)學(xué)試題中一般不會(huì)出現(xiàn)多選題． 　　真題專練: 　　1．(上海市)下列計(jì)算中，正確的是（　 ） 　　A、a3a2=a6　　　　B、(a+b)(a–b)=a2–b2 　　C、(a+b)2=a2+b2　　 D、(a+b)(a–2b)=a2–ab–4b2 　　2．（湖南長(zhǎng)沙）下列關(guān)系式中，正確的是（　 ） 　　A、(a–b)2=a2–b2　　B、(a+b)(a–b

20、)=a2–b2． 　　C、(a+b)2=a2+b2　　　D、(a+b)2=a2–2ab+b2． 　　3．（德陽市）已知x(x–1)–(x2–y)=–3求： 的值． 　　答案： 　　1、B　　　2、B　 　　3、由x(x–1)–(x2–y)=–3得x–y=3， 　　 = = ．當(dāng)x–y=3時(shí)，原式= ． 課外拓展： 乘法公式漫談 　　初一要學(xué)習(xí)兩個(gè)乘法公式，即平方差公式和完全平方公式，初學(xué)者對(duì)于各乘法公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義往往不易掌握，運(yùn)用時(shí)容易混淆，因此要學(xué)習(xí)好乘法公式，必須注意以下幾點(diǎn)． 　　一、注意乘法公式的推導(dǎo) 　

21、　乘法公式是直接計(jì)算特殊的多項(xiàng)式乘法得來的，即： 　　平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2； 　　完全平方公式：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 　　(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 　　由此可見，理解乘法公式要與多項(xiàng)式乘法聯(lián)系起來，這樣對(duì)公式才理解的深、記得準(zhǔn)、記得牢，一旦把公式忘記了，自己也可以把公式推導(dǎo)出來． 　　二、注意掌握乘法公式的結(jié)構(gòu)特征 　　乘法公式的結(jié)構(gòu)特征是各公式的本質(zhì)所在．在學(xué)習(xí)時(shí)，應(yīng)仔細(xì)觀察其結(jié)構(gòu)特征，并會(huì)

22、用語言加以表述． 　　平方差公式：(a+b)(a-b)＝a2-b2； 　　結(jié)構(gòu)特征：公式的左邊是兩個(gè)數(shù)和與這兩個(gè)數(shù)差的積，而右邊是這兩個(gè)數(shù)的平方差． 　　完全平方公式：(ab)2=a22ab+b2. 　　結(jié)構(gòu)特征：公式的左邊是兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，而右邊是這兩個(gè)數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍． 　　三、注意弄清乘法公式中的字母含義 　　公式中的字母a、b可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式，只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可以利用公式．例如： 　　(2m+5n)(2m-5n)=(2m)2-(5n)2=4m2-25n2. 　　(

23、4x+3y)2=(4x)2+24x3y+(3y)2=16x2+24xy+9y2. 　　四、注意運(yùn)用公式容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤 　　在學(xué)習(xí)中不少同學(xué)經(jīng)常出現(xiàn)如下錯(cuò)誤： 　　(1)(a+b)(a+b)=a2+b2； 　　(2)(a+b)2＝a2+b2；(a-b)2＝a2-b2． 　　錯(cuò)誤(1)的原因是模仿平方差公式所至，切記只有平方差公式，沒有平方和公式；錯(cuò)誤(2)的原因是與積的平方(ab)2=a2b2相混淆．對(duì)于這些錯(cuò)誤，同學(xué)們只要利用多項(xiàng)式的乘法計(jì)算一下，即可得到驗(yàn)證． 　　五、注意掌握公式的形式變形 　　平方差公式的常見變形： 　　(1)位置變

24、化：(a+b)(-b+a)＝_________； 　　(2)符號(hào)變化：(-a-b)(a-b)=_________； 　　(3)系數(shù)變化：(3a+2b)(3a-2b)＝_________； 　　(4)指數(shù)變化：(a3+b2)(a3-b2)＝_________； 　　(5)項(xiàng)數(shù)變化：(a+2b-c)(a-2b+c)=_________； 　　(6)連用變化：(a+b)(a-b)(a2+b2)=_________. 　　只要掌握了平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，這些變形即可得解。 　　完全平方公式的常見變形： 　　(1)a2+b2＝(a+b)2-

25、2ab＝(a-b)2+2ab； 　　(2)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)； 　　(3)(a+b)2-(a-b)2＝4ab． 　　這些變形應(yīng)用十分廣泛，因而要熟記這些變形公式． 　　六、注意公式的靈活運(yùn)用 　　1．連續(xù)運(yùn)用乘法公式． 　　例1計(jì)算(x+3)(x-3)(x2+9)． 　　解：原式＝(x2-9)(x2+9)＝x4-81． 　　例2計(jì)算(m+n)(m-n)(m2-n2)． 　　解：原式=(m2-n2)(m2-n2)＝(m2-n2)2＝m4-2m2n2+n4． 　　說明：例1是兩次運(yùn)用平方差公式

26、；例2是先運(yùn)用平方差公式，再運(yùn)用完全平方公式． 　　2．靈活選用乘法公式． 　　例3計(jì)算[(x+3y)(x-3y)]2． 　　分析：本題若先根據(jù)積的乘方性質(zhì)，再用完全平方公式計(jì)算比較復(fù)雜，而先用平方差公式，再運(yùn)用完全平方公式，簡(jiǎn)捷明快，富有較強(qiáng)的靈活性． 　　解：原式=(x2-9y2)2=x4-18x2y2+81y4. 　　3．逆用乘法公式． 　　例4計(jì)算(1-y)2-(1+y)2． 　　分析：本題的常規(guī)解法是先用完全平方公式將(1-y)2和(1+y)2展開，再合并同類項(xiàng)，若能想到平方差公式逆用，其解法非常簡(jiǎn)便。 　　解：原式=[(1-y)+(1+y)][(1-y)-(1+y)]=-4y. 　　4．變形運(yùn)用乘法公式 　　例5．已知x+y=4，且x-y=10，則2xy=________.(天津市中考題) 　　分析：本題的常規(guī)解法是解二元一次方程組，而運(yùn)用完全平方公式的變形公式求解，會(huì)更巧妙、靈活。 　　解：∵ 4xy=(x+y)2-(x-y)2=16-100=-84. 　　∴ 2xy=-42.