2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.2.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則課后提升訓(xùn)練【含解析】新人教A版選修1-1

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.(2017沈陽高二檢測(cè))已知f(x)=x-5+3sinx,則f(x)等于()A.-5x-6-3cosxB.x-6+3cosxC.-5x-6+3cosxD.x-6-3cosx【解析】選C.f(x)=-5x-6+3cosx.【補(bǔ)償訓(xùn)練】函數(shù)y=xsinx+x的導(dǎo)數(shù)是()A.y=sinx+xcosx+12xB.y=sinx-xcosx+12xC.y=sinx+xcosx-12xD.y=sinx-xcosx-12x【解析】選A.因?yàn)閥=xsinx+x,所以y=xsinx+x=xsinx+x12=xsinx+x(sinx)+12x-12=sinx+xcosx+12x.2.(2017臨沂高二檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=14x2+cosx,f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f(x)的圖象大致是()【解析】選A.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù),所以其導(dǎo)函數(shù)f(x)=12x-sinx是奇函數(shù),所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以排除B,D兩項(xiàng),又因?yàn)樵谠c(diǎn)右側(cè)靠近于原點(diǎn)的區(qū)間上,sinx>12x,所以f(x)<0,所以靠近于原點(diǎn)的地方在原點(diǎn)的右側(cè),圖象應(yīng)該落在第四象限,排除C.3.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()A.x+1x=1+1x2B.log2x=1xln2C.3x=3xlog3eD.x2cosx=-2sinx【解析】選B.因?yàn)閤+1x=x+1x=1-1x2,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤;又log2x=1xln2,所以選項(xiàng)B正確;又3x=3xln3,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤;又x2cosx=(x2)cosx+x2(cosx)=2xcosx-x2sinx,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.4.曲線y=sinxsinx+cosx-12在點(diǎn)M4,0處的切線的斜率為()A.-12B.12C.-22D.22【解析】選B.y=cosx(sinx+cosx)-sinx(cosx-sinx)(sinx+cosx)2=11+sin2x,把x=4代入得,導(dǎo)數(shù)值為12.5.(2017太原高二檢測(cè))已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),且滿足f(x)=2xf(e)+lnx,則f(e)=()A.e-1B.-1C.-e-1D.-e【解析】選C.因?yàn)閒(x)=2xf(e)+lnx,所以f(x)=2f(e)+1x,所以f(e)=2f(e)+1e,解得f(e)=-1e=-e-1.6.設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1)處的切線方程為y=2x+1,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處切線的斜率為()A.4B.-14C.2D.-12【解析】選A.因?yàn)間(1)=2,而f(x)=g(x)+2x,所以f(1)=g(1)+21=4.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2在點(diǎn)(2,f(2)處的切線的斜率是-32,則a=.【解析】由題意,得f(x)=1x-2ax,則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,知f(2)=12-4a=-32,解得a=12.答案:12【誤區(qū)警示】(1)“過點(diǎn)A的曲線的切線方程”與“在點(diǎn)A處的曲線的切線方程”是不相同的,后者A必為切點(diǎn),前者未必是切點(diǎn).(2)曲線在某點(diǎn)處的切線若有且只有一條,曲線過某點(diǎn)的切線往往不止一條,切線與曲線的公共點(diǎn)不一定只有一個(gè).7.函數(shù)f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線斜率為2,則8a+bab的最小值是()A.10B.9C.8D.32【解析】選B.由題意f(x)=2ax+b,又f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線斜率為2,所以f(1)=2a+b=2,所以a+b2=1,所以8a+bab=8b+1a=a+b28b+1a=8ab+b2a+528abb2a+5=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=13b=43時(shí)“=”成立,所以8a+bab的最小值是9.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)點(diǎn)P是曲線y=x3-3x+b(b為實(shí)常數(shù))上任意一點(diǎn),P點(diǎn)處切線的傾斜角為,則的取值范圍是()A.23,B.2,56C.0,256,D.0,223,【解析】選D.y=x3-3x+b,所以y=3x2-3-3,所以切線斜率k-3,所以tan-3,傾斜角的范圍為0,223,.8.(2017聊城高二檢測(cè))設(shè)f0(x)=sinx,f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)=fn(x),nN,則f2015(x)=()A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx【解析】選D.f1(x)=(sinx)=cosx,f2(x)=(cosx)=-sinx,f3(x)=(-sinx)=-cosx,f4(x)=(-cosx)=sinx,f5(x)=(sinx)=f1(x),f6(x)=f2(x),fn+4(x)=fn(x),可知周期為4.2015=4503+3,所以f2015(x)=f3(x)=-cosx.【延伸探究】若將“f0(x)=sinx”改為“f0(x)=sinx+cosx”,其他條件不變,則f2015(x)=.【解析】f1(x)=f0(x)=cosx-sinx,f2(x)=(cosx-sinx)=-sinx-cosx,f3(x)=-cosx+sinx,f4(x)=sinx+cosx,以此類推,可得出fn(x)=fn+4(x).2015=4503+3,所以f2015(x)=f3(x)=-cosx+sinx.答案:-cosx+sinx二、填空題(每小題5分,共10分)9.(2017南寧高二檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=2lnx+8x,則limx0f(1-2x)-f(1)x的值等于.【解析】f(x)=2lnx+8x,所以fx=2x+8,limx0f(1-2x)-f(1)x=-2limx0f(1-2x)-f(1)-2x=-2f1=-20.答案:-2010.(2017全國乙卷)曲線y=x2+1x在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為.【解析】設(shè)y=f(x),則f(x)=2x-1x2,所以f(1)=2-1=1,所以在(1,2)處的切線方程為y-2=1(x-1),即y=x+1.答案:y=x+1三、解答題(每小題10分,共20分)11.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=x4-3x2-5x+6.(2)y=sin4x4+cos4x4.【解析】(1)y=(x4-3x2-5x+6)=(x4)-3(x2)-5(x)+6=4x3-6x-5.(2)因?yàn)閥=sin4x4+cos4x4=sin2x4+cos2x42-2sin2x4cos2x4=1-12sin2x2=34+14cosx,所以y=-14sinx.12.已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=12x2+a(a為常數(shù)),直線l與函數(shù)f(x),g(x)的圖象都相切,且直線l與函數(shù)f(x)的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,求直線l的方程及a的值.【解題指南】解題時(shí)應(yīng)緊扣已知條件“直線l與函數(shù)f(x),g(x)的圖象都相切”,挖掘出“直線l在兩個(gè)函數(shù)的切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相同”這一隱含條件.【解析】由f(x)x=1= 1,故直線l的斜率為1,切點(diǎn)為(1,f(1),即(1,0).所以l:y=x-1,又因?yàn)間(x)|x=1=1,切點(diǎn)為1,12+a,所以l:y-12+a=x-1,即y=x-12+a,比較和得-12+a=-1,所以a=-12.直線l的方程為y=x-1.【一題多解】由f(x)x=1= 1,直線l的斜率為1,切點(diǎn)為(1,f(1),即(1,0).所以l:y=x-1,又因?yàn)橹本€l與g(x)的圖象相切,聯(lián)立方程組得y=x-1,y=12x2+a,消去y得12x2-x+a+1=0.所以=1-2(a+1)=0,即a=-12.【能力挑戰(zhàn)題】若曲線C1:y=x2與曲線C2:y=aex(a>0)存在公共切線,試求a的取值范圍.【解析】y=x2在點(diǎn)x,x2的切線斜率為2x,y=aex在點(diǎn)x,aex的切線斜率為aex,如果兩個(gè)曲線存在公共切線,由圖象可知,a值越大,y=aex越靠近y軸,不可能有公切線,a值越小,y=aex越遠(yuǎn)離y軸,有公切線,只有當(dāng)x2=aex,2x=aex,即x2=2x,求得x=0或2,x=0時(shí),a=0,x=2時(shí),a=4e2最大,又因?yàn)閍>0,所以a的取值范圍為0,4e2.7