大學(xué)物理第5章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

第第5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1演示實(shí)驗(yàn)演示實(shí)驗(yàn)1、茹茹科科夫夫斯斯基基轉(zhuǎn)椅轉(zhuǎn)椅（和車輪和車輪）2、陀螺儀、陀螺儀3、質(zhì)質(zhì)心心運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)（杠桿杠桿）4、不不同同質(zhì)質(zhì)量量分分布布的的等等質(zhì)質(zhì)量量柱柱體體滾動(dòng)滾動(dòng)5、車輪進(jìn)動(dòng)、車輪進(jìn)動(dòng)一、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律一、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律二、轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒二、轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒三、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能三、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能四、無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)四、無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng) 瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸（補(bǔ)充）（補(bǔ)充）五、進(jìn)動(dòng)五、進(jìn)動(dòng)目目 錄錄25.1 5.1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 zO miri外力矩沿外力矩沿z軸分量的代數(shù)和軸分量的代數(shù)和剛體沿剛體沿z軸的角動(dòng)量軸的角動(dòng)量剛體對(duì)剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量32、適用于轉(zhuǎn)軸固定于、適用于轉(zhuǎn)軸固定于慣性系慣性系中的情況。中的情況。3、對(duì)于轉(zhuǎn)軸通過(guò)質(zhì)心的情況，如果質(zhì)心有加速對(duì)于轉(zhuǎn)軸通過(guò)質(zhì)心的情況，如果質(zhì)心有加速度，上式也成立。度，上式也成立。（慣性力對(duì)質(zhì)心的力矩和慣性力對(duì)質(zhì)心的力矩和為零為零）1、由由關(guān)關(guān)于于定定點(diǎn)點(diǎn)的的質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)系系角角動(dòng)動(dòng)量量定定理理，向向過(guò)過(guò)該該點(diǎn)點(diǎn)的固定轉(zhuǎn)軸投影得到。的固定轉(zhuǎn)軸投影得到。4轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)平面平面外力對(duì)固定轉(zhuǎn)軸力矩的計(jì)算：外力對(duì)固定轉(zhuǎn)軸力矩的計(jì)算：沿轉(zhuǎn)軸方向：沿轉(zhuǎn)軸方向：沿轉(zhuǎn)軸反方向：沿轉(zhuǎn)軸反方向轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩5計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的幾條規(guī)律：計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的幾條規(guī)律：1、對(duì)同一軸可疊加：、對(duì)同一軸可疊加：2、平行軸定理：、平行軸定理：3、對(duì)薄平板剛體，有、對(duì)薄平板剛體，有垂直垂直軸定理：軸定理：JcJdmC質(zhì)心質(zhì)心 rix z yi xi mi y241mR6常用的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量常用的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量直徑直徑薄球殼：薄球殼：直徑直徑球體：球體：過(guò)中點(diǎn)垂直于桿過(guò)中點(diǎn)垂直于桿細(xì)桿：細(xì)桿：過(guò)一端垂直于桿過(guò)一端垂直于桿圓柱體：圓柱體：對(duì)稱軸對(duì)稱軸7例2：證明球體對(duì)任意直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：證明：如圖所示，在坐標(biāo)證明：如圖所示，在坐標(biāo)z處取高為處取高為dz的小圓柱作為質(zhì)元，的小圓柱作為質(zhì)元，dzzRro8例：一飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為例：一飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，在，在t=0時(shí)時(shí)的角速度為的角速度為 0，此后飛輪經(jīng)歷制動(dòng)過(guò)，此后飛輪經(jīng)歷制動(dòng)過(guò)程，阻力矩程，阻力矩M的大小與角速度的平方的大小與角速度的平方成正比，比例系數(shù)為成正比，比例系數(shù)為k，當(dāng)當(dāng)=0/3時(shí)，時(shí)，飛輪的角加速度飛輪的角加速度=？從開(kāi)始制動(dòng)到？從開(kāi)始制動(dòng)到=0/3所經(jīng)歷的時(shí)間所經(jīng)歷的時(shí)間t=?解：解：9與一維質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方法一致與一維質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方法一致10【例例】轉(zhuǎn)軸光滑，初態(tài)靜止，求下擺到轉(zhuǎn)軸光滑，初態(tài)靜止，求下擺到 角時(shí)的角加速度，角速度，轉(zhuǎn)軸受力。角時(shí)的角加速度，角速度，轉(zhuǎn)軸受力。11解：解：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1、受力分析受力分析2、關(guān)于關(guān)于O軸列軸列轉(zhuǎn)動(dòng)定理轉(zhuǎn)動(dòng)定理【思考思考】為什么不關(guān)于過(guò)為什么不關(guān)于過(guò)質(zhì)心質(zhì)心軸列轉(zhuǎn)動(dòng)定理？軸列轉(zhuǎn)動(dòng)定理？12由由 求求 ：13（1）平動(dòng)：平動(dòng)：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理3、求轉(zhuǎn)軸受力求轉(zhuǎn)軸受力14（2）轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)：關(guān)于質(zhì)心軸列轉(zhuǎn)動(dòng)定理關(guān)于質(zhì)心軸列轉(zhuǎn)動(dòng)定理為什么？為什么？15【例例】一一長(zhǎng)長(zhǎng)為為L(zhǎng)，質(zhì)質(zhì)量量為為m的的均均勻勻細(xì)細(xì)棒棒，水水平平放放置置靜靜止止不不動(dòng)動(dòng)，受受垂垂直直向向上上的的沖沖力力F作作用用，沖沖量量為為F t（t很很短短），沖沖力力的的作作用用點(diǎn)點(diǎn)距距棒棒的的質(zhì)質(zhì)心心l遠(yuǎn)，求沖力作用后棒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。遠(yuǎn)，求沖力作用后棒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。解解 （1）質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)質(zhì)心以質(zhì)心以vC0的初速做上拋運(yùn)動(dòng)。的初速做上拋運(yùn)動(dòng)。lFC16（2）在上拋過(guò)程中棒的轉(zhuǎn)動(dòng)在上拋過(guò)程中棒的轉(zhuǎn)動(dòng)繞過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸，列轉(zhuǎn)動(dòng)定理：繞過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸，列轉(zhuǎn)動(dòng)定理：lFC 在在上上拋拋過(guò)過(guò)程程中中，棒棒以以恒恒定定角速度角速度 繞過(guò)質(zhì)心軸繞過(guò)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)?！狙菔狙菔緦?shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)】質(zhì)心運(yùn)動(dòng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)（杠桿杠桿）175.2 5.2 轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒1、繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)、繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2、幾個(gè)剛體、幾個(gè)剛體繞同一定軸繞同一定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)【演示演示實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)】茹科夫斯基轉(zhuǎn)椅茹科夫斯基轉(zhuǎn)椅(和車輪和車輪)、陀螺儀、陀螺儀3、關(guān)于過(guò)質(zhì)心軸、關(guān)于過(guò)質(zhì)心軸若若合合外外力力矩矩為為零零，則則剛剛體體總總角角動(dòng)動(dòng)量量守守恒恒，角角動(dòng)量可在這幾部分間傳遞。動(dòng)量可在這幾部分間傳遞。若合外力矩為零，則剛體角動(dòng)量守恒。若合外力矩為零，則剛體角動(dòng)量守恒。若若對(duì)對(duì)過(guò)過(guò)質(zhì)質(zhì)心心軸軸合合外外力力矩矩為為零零，則則對(duì)對(duì)該該軸軸剛剛體體角動(dòng)量守恒。角動(dòng)量守恒。無(wú)論質(zhì)心軸是否是慣性系。無(wú)論質(zhì)心軸是否是慣性系。185.3 5.3 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能力矩的功力矩的功：不太大剛體的重力勢(shì)能不太大剛體的重力勢(shì)能：機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律：只有保守力做功時(shí)只有保守力做功時(shí) 合合外外力力矩矩對(duì)對(duì)一一個(gè)個(gè)繞繞固固定定軸軸轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)的的剛剛體體所所做做的功，等于它的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增加的功，等于它的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增加19用機(jī)械能守恒重解：用機(jī)械能守恒重解：轉(zhuǎn)軸光滑，初態(tài)靜止，求下擺到轉(zhuǎn)軸光滑，初態(tài)靜止，求下擺到角角時(shí)的角加速度，角速度。時(shí)的角加速度，角速度。20解解：桿機(jī)械能守恒桿機(jī)械能守恒比用轉(zhuǎn)動(dòng)定律簡(jiǎn)單！比用轉(zhuǎn)動(dòng)定律簡(jiǎn)單！勢(shì)能零點(diǎn)勢(shì)能零點(diǎn)繞固定軸繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能21桿動(dòng)能的另一種表達(dá)：桿動(dòng)能的另一種表達(dá)：科尼西定理科尼西定理勢(shì)能零點(diǎn)勢(shì)能零點(diǎn)質(zhì)心動(dòng)能質(zhì)心動(dòng)能繞過(guò)質(zhì)心軸繞過(guò)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能225.4 5.4 剛體的無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)剛體的無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng) 瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸（補(bǔ)充）（補(bǔ)充）1、平面平行運(yùn)動(dòng)平面平行運(yùn)動(dòng)只考慮圓柱，球等只考慮圓柱，球等軸對(duì)稱剛體軸對(duì)稱剛體的滾動(dòng)。的滾動(dòng)。質(zhì)心做平面運(yùn)動(dòng)繞過(guò)質(zhì)心垂直軸做轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)心做平面運(yùn)動(dòng)繞過(guò)質(zhì)心垂直軸做轉(zhuǎn)動(dòng)2、無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)：、無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)：RCp 任意時(shí)刻接觸點(diǎn)任意時(shí)刻接觸點(diǎn)P 瞬時(shí)靜止瞬時(shí)靜止無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)條件：無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)條件：【思考思考】下一時(shí)刻下一時(shí)刻P點(diǎn)位置？點(diǎn)位置？23轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小的滾得快！轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小的滾得快！【演示實(shí)驗(yàn)演示實(shí)驗(yàn)】不同質(zhì)量分布的等質(zhì)量柱體滾動(dòng)不同質(zhì)量分布的等質(zhì)量柱體滾動(dòng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理過(guò)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理過(guò)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理純滾動(dòng)條件純滾動(dòng)條件（運(yùn)動(dòng)學(xué)條件運(yùn)動(dòng)學(xué)條件）【例例】?jī)蓛蓚€(gè)個(gè)質(zhì)質(zhì)量量和和半半徑徑都都相相同同，但但轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量不不同同的的柱柱體體，在在斜斜面面上上作作無(wú)無(wú)滑滑動(dòng)動(dòng)滾滾動(dòng)動(dòng)，哪哪個(gè)個(gè)滾滾得得快？快？mgfRCxy243、軸對(duì)稱、軸對(duì)稱剛體無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)剛體無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)中的瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸中的瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸CpABDEF 時(shí)時(shí)刻刻t 接接觸觸點(diǎn)點(diǎn)P 瞬瞬時(shí)靜止；時(shí)靜止；在在 時(shí)時(shí) 間間(tt+t)內(nèi)內(nèi)，以以P點(diǎn)點(diǎn)為為原原點(diǎn)點(diǎn)建立平動(dòng)坐標(biāo)系；建立平動(dòng)坐標(biāo)系；時(shí)時(shí)間間(t t+t)內(nèi)內(nèi)，剛剛體體的的運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)（質(zhì)質(zhì)心心平平動(dòng)動(dòng)、繞繞質(zhì)質(zhì)心心軸軸轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)）可可以以看看成成：繞繞過(guò)過(guò) P 點(diǎn)點(diǎn)且且垂垂直直于于固定平面的轉(zhuǎn)軸的固定平面的轉(zhuǎn)軸的無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)。無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)。接觸點(diǎn)接觸點(diǎn)P：瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心25繞繞瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理的形式？瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理的形式？雖雖然然p點(diǎn)點(diǎn)瞬瞬時(shí)時(shí)靜靜止止，但但有有加加速速度度，所所以以除除了了力矩力矩Mp外，還外，還應(yīng)考慮慣性力矩。應(yīng)考慮慣性力矩。下下面面證證明明：對(duì)對(duì)于于無(wú)無(wú)滑滑動(dòng)動(dòng)滾滾動(dòng)動(dòng)的的軸軸對(duì)對(duì)稱稱剛剛體體，接接觸觸點(diǎn)點(diǎn)p的的加加速速度度沿沿過(guò)過(guò)p點(diǎn)點(diǎn)的的半半徑徑方方向向，因因此此，關(guān)于過(guò)關(guān)于過(guò)p點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸，慣性力矩等于零。點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸，慣性力矩等于零。慣慣性性力力作作用用在在質(zhì)質(zhì)心心上上，方方向向與與p點(diǎn)點(diǎn)的的加加速速度度方向相反。方向相反。關(guān)于過(guò)關(guān)于過(guò)p點(diǎn)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量點(diǎn)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸對(duì)稱剛體，繞軸對(duì)稱剛體，繞瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理：瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理：26證明：證明：p點(diǎn)相對(duì)慣性系的加速度點(diǎn)相對(duì)慣性系的加速度p點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的加速度點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的加速度RCp 按切、法向分解按切、法向分解：無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)：無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)：p點(diǎn)加速度沿半徑方向點(diǎn)加速度沿半徑方向ap過(guò)過(guò)p點(diǎn)轉(zhuǎn)軸慣性力矩等于零點(diǎn)轉(zhuǎn)軸慣性力矩等于零27【例例】?jī)蓛蓚€(gè)個(gè)質(zhì)質(zhì)量量和和半半徑徑都都相相同同，但但轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量不不同同的的柱柱體體，在在斜斜面面上上作作無(wú)無(wú)滑滑動(dòng)動(dòng)滾滾動(dòng)動(dòng)，哪哪個(gè)個(gè)滾滾得得快？快？關(guān)于瞬轉(zhuǎn)軸列轉(zhuǎn)動(dòng)定理重解：關(guān)于瞬轉(zhuǎn)軸列轉(zhuǎn)動(dòng)定理重解：mgfRCp簡(jiǎn)單多了！簡(jiǎn)單多了！285.5 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理 和角動(dòng)量守恒定律和角動(dòng)量守恒定律討論討論力矩對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)。力矩對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)。質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系：對(duì)點(diǎn)：對(duì)點(diǎn)：對(duì)軸：對(duì)軸：剛體：剛體：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理29剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律：對(duì)剛體系，對(duì)剛體系，M外外z=0 時(shí)，時(shí)，此時(shí)角動(dòng)量可在系統(tǒng)內(nèi)部各剛體間傳遞，此時(shí)角動(dòng)量可在系統(tǒng)內(nèi)部各剛體間傳遞，而卻保持剛體系對(duì)轉(zhuǎn)軸的總角動(dòng)量不變。而卻保持剛體系對(duì)轉(zhuǎn)軸的總角動(dòng)量不變。茹科夫斯基轉(zhuǎn)椅茹科夫斯基轉(zhuǎn)椅(KL016)陀螺儀陀螺儀（KL029）轉(zhuǎn)臺(tái)車輪轉(zhuǎn)臺(tái)車輪(KL017)演示演示 角動(dòng)量守恒：角動(dòng)量守恒：30克服直升飛機(jī)機(jī)身反轉(zhuǎn)的措施：克服直升飛機(jī)機(jī)身反轉(zhuǎn)的措施：裝置尾漿推動(dòng)大裝置尾漿推動(dòng)大氣產(chǎn)生克服機(jī)身氣產(chǎn)生克服機(jī)身反轉(zhuǎn)的力矩反轉(zhuǎn)的力矩裝置反向轉(zhuǎn)動(dòng)的雙裝置反向轉(zhuǎn)動(dòng)的雙旋翼產(chǎn)生反向角動(dòng)旋翼產(chǎn)生反向角動(dòng)量而相互抵消量而相互抵消 TV 角動(dòng)角動(dòng)量守恒定律量守恒定律(注注3)31滑冰運(yùn)動(dòng)員的旋轉(zhuǎn)滑冰運(yùn)動(dòng)員的旋轉(zhuǎn)貓的下落貓的下落（A）貓的下落（貓的下落（B）32m(黏土塊黏土塊)yxhPOM光滑軸光滑軸均質(zhì)圓盤均質(zhì)圓盤（水平）（水平）R例例 如圖示，如圖示，求：求：碰撞后的瞬刻盤碰撞后的瞬刻盤 P 轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到 x 軸時(shí)盤軸時(shí)盤 解：解：m下落：下落：(1)mPhv對(duì)對(duì)（m+盤），盤），碰撞中重力對(duì)碰撞中重力對(duì)O 軸力矩可忽略，軸力矩可忽略，(2)已知：已知：h，R，M=2m，=60 系統(tǒng)角動(dòng)量守恒：系統(tǒng)角動(dòng)量守恒：33(3)對(duì)對(duì)（m+M+地球）系統(tǒng)，地球）系統(tǒng)，mmgOMR令令P、x 重合時(shí)重合時(shí) EP=0，則：則：(5)由由(3)(4)(5)得：得：由由(1)(2)(3)得：得：(4)只有重力作功，只有重力作功，E守恒。守恒。（m+盤）角動(dòng)量盤）角動(dòng)量34旋進(jìn)：旋進(jìn)：5.6 旋進(jìn)旋進(jìn)（進(jìn)動(dòng)，（進(jìn)動(dòng)，precession）如玩具陀螺的運(yùn)動(dòng)：如玩具陀螺的運(yùn)動(dòng)：軸轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象。軸轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象。高速旋轉(zhuǎn)的物體，其自轉(zhuǎn)軸繞另一個(gè)高速旋轉(zhuǎn)的物體，其自轉(zhuǎn)軸繞另一個(gè)35 p2 p1m2m1 r2m1 r1 L2 L1 L Oz點(diǎn)的點(diǎn)的 不平行于不平行于 。若質(zhì)量對(duì)轉(zhuǎn)軸分布對(duì)稱，若質(zhì)量對(duì)轉(zhuǎn)軸分布對(duì)稱，下面我們就討論這種下面我們就討論這種質(zhì)量對(duì)轉(zhuǎn)軸分布對(duì)稱質(zhì)量對(duì)轉(zhuǎn)軸分布對(duì)稱對(duì)轉(zhuǎn)軸不對(duì)稱，對(duì)轉(zhuǎn)軸不對(duì)稱，的剛體的旋進(jìn)問(wèn)題。的剛體的旋進(jìn)問(wèn)題。剛體自轉(zhuǎn)的角動(dòng)量不一定都與自轉(zhuǎn)軸平行。剛體自轉(zhuǎn)的角動(dòng)量不一定都與自轉(zhuǎn)軸平行。例如，圖示的情形：例如，圖示的情形：質(zhì)量質(zhì)量則：則：則對(duì)軸上則對(duì)軸上O36MdLmgOL從而產(chǎn)生旋進(jìn)運(yùn)動(dòng)。從而產(chǎn)生旋進(jìn)運(yùn)動(dòng)。玩具陀螺的旋進(jìn)：玩具陀螺的旋進(jìn)：只改變方向而不改變大小，只改變方向而不改變大小，37d LO旋進(jìn)角速度：旋進(jìn)角速度：演示演示 車輪旋進(jìn)車輪旋進(jìn)（KL023)TV 旋進(jìn)旋進(jìn)防止炮彈翻轉(zhuǎn)防止炮彈翻轉(zhuǎn)（注（注2）38 回轉(zhuǎn)效應(yīng)產(chǎn)生附加力矩：回轉(zhuǎn)效應(yīng)產(chǎn)生附加力矩：輪船轉(zhuǎn)彎時(shí)，渦輪機(jī)軸承要承受附加力。輪船轉(zhuǎn)彎時(shí)，渦輪機(jī)軸承要承受附加力。左轉(zhuǎn)左轉(zhuǎn)dLMM dt=dL附加力附加力附加力附加力軸承軸承 附加力可能附加力可能造成軸承的損造成軸承的損壞，附加力矩壞，附加力矩也可能造成翻也可能造成翻船事故。船事故。M左轉(zhuǎn)彎的力矩左轉(zhuǎn)彎的力矩 三輪車拐彎時(shí)易翻車（內(nèi)側(cè)車輪上翹）。三輪車拐彎時(shí)易翻車（內(nèi)側(cè)車輪上翹）。L39 地球轉(zhuǎn)軸的旋進(jìn)，歲差地球轉(zhuǎn)軸的旋進(jìn)，歲差 隨著地球自轉(zhuǎn)軸隨著地球自轉(zhuǎn)軸的旋進(jìn)，北天極方的旋進(jìn)，北天極方向不斷改變。向不斷改變。北極星北極星3000年前年前 小熊座小熊座 現(xiàn)在現(xiàn)在 小熊座小熊座 12000年后年后 天琴座天琴座 （織女）（織女）T=25800年年 C1C2F1F2太陽(yáng)太陽(yáng)赤道平面赤道平面黃道平面黃道平面地球地球北北天天極極地軸地軸L地球自轉(zhuǎn)角動(dòng)量地球自轉(zhuǎn)角動(dòng)量（F1F2）M地球自轉(zhuǎn)軸旋進(jìn)地球自轉(zhuǎn)軸旋進(jìn)40地軸地軸旋進(jìn)旋進(jìn)旋進(jìn)周期旋進(jìn)周期25800年年 秋分點(diǎn)秋分點(diǎn)春分點(diǎn)春分點(diǎn)西西分點(diǎn)每年在黃分點(diǎn)每年在黃道上道上西移西移50.2 太陽(yáng)年（回歸年）：太陽(yáng)年（回歸年）：太陽(yáng)由春分太陽(yáng)由春分秋分秋分春分春分恒星年（時(shí)間長(zhǎng)）：恒星年（時(shí)間長(zhǎng)）：地球繞太陽(yáng)一周的時(shí)間地球繞太陽(yáng)一周的時(shí)間歲差歲差（precession）歲差歲差=恒星年恒星年 太陽(yáng)年太陽(yáng)年=20分分23秒秒北半球北半球南半球南半球黃道面黃道面赤道面赤道面 太陽(yáng)太陽(yáng)東東41我國(guó)古代已發(fā)現(xiàn)了歲差：我國(guó)古代已發(fā)現(xiàn)了歲差：每每50年差年差1度（約度（約72/年）年）前漢（公元前前漢（公元前206 23）劉歆發(fā)現(xiàn)歲差。劉歆發(fā)現(xiàn)歲差。晉朝（公元晉朝（公元265 316）虞喜最先確定了歲差：虞喜最先確定了歲差：將歲差引入歷法：將歲差引入歷法：391年有年有144個(gè)閏月。個(gè)閏月。祖沖之（公元祖沖之（公元429 500）編編大明歷大明歷最先最先（精確值為精確值為50.2/年）年）42當(dāng)旋進(jìn)發(fā)生后，總角速度當(dāng)旋進(jìn)發(fā)生后，總角速度 只有剛體高速自轉(zhuǎn)時(shí)，才有只有剛體高速自轉(zhuǎn)時(shí)，才有 這時(shí)也才有這時(shí)也才有 和以上和以上 的表示式。的表示式。當(dāng)考慮到當(dāng)考慮到 對(duì)對(duì) 的貢獻(xiàn)時(shí)，的貢獻(xiàn)時(shí)，自轉(zhuǎn)軸在旋自轉(zhuǎn)軸在旋進(jìn)中還會(huì)出現(xiàn)微小的上下的周期性擺動(dòng)，進(jìn)中還會(huì)出現(xiàn)微小的上下的周期性擺動(dòng)，運(yùn)動(dòng)叫運(yùn)動(dòng)叫章動(dòng)章動(dòng)（nutation）。）。這種這種431.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題解法解法：利用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述關(guān)系：利用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述關(guān)系2.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算解法：解法：（1）定義法：）定義法：習(xí)題基本類型習(xí)題基本類型 Ov定定 軸軸Pzr44（2）平行軸定理）平行軸定理 若有任一軸與過(guò)質(zhì)心的軸平行，相距為若有任一軸與過(guò)質(zhì)心的軸平行，相距為d，剛體對(duì)剛體對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，則有則有 J=JC+m d 2。3.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題解法解法：利用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的轉(zhuǎn)動(dòng)定律：利用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的轉(zhuǎn)動(dòng)定律步驟步驟：（1）審題，確定研究對(duì)象；）審題，確定研究對(duì)象；（2）建立坐標(biāo)系；）建立坐標(biāo)系；（3）對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析和受力矩分析，并按）對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析和受力矩分析，并按坐標(biāo)系的正方向?qū)懗鐾饬氐谋磉_(dá)式及規(guī)律方（注：坐標(biāo)系的正方向?qū)懗鐾饬氐谋磉_(dá)式及規(guī)律方（注：受力分析和受力矩須取隔離體），并用線角量關(guān)系將受力分析和受力矩須取隔離體），并用線角量關(guān)系將 F=ma 與與 M=J 聯(lián)系起來(lái)；聯(lián)系起來(lái)；（4）計(jì)算對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；）計(jì)算對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（5）解方程，求未知，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行必要的討論。）解方程，求未知，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行必要的討論。454.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能問(wèn)題定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能問(wèn)題解法解法：利用：利用動(dòng)能定理動(dòng)能定理和和機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律5.角動(dòng)量原理及角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量原理及角動(dòng)量守恒定律6.混合題型混合題型 解法解法：應(yīng)用應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、轉(zhuǎn)動(dòng)定律運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、轉(zhuǎn)動(dòng)定律和和角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒定律。定律。46 5.1 一一 汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速在汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速在7.0s 內(nèi)由內(nèi)由200rev/min均勻地增均勻地增加到加到3000rev/min。（1）求這段時(shí)間內(nèi)的初角速度、末角速度及角加速度；）求這段時(shí)間內(nèi)的初角速度、末角速度及角加速度；（2）求這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度；）求這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度；（3）發(fā)動(dòng)機(jī)軸上裝有一半徑為）發(fā)動(dòng)機(jī)軸上裝有一半徑為 r=0.2m 的飛輪，求它邊的飛輪，求它邊緣上一點(diǎn)在這第緣上一點(diǎn)在這第7.0s 末的切向加速度、法向加速度和總加末的切向加速度、法向加速度和總加速度。速度。（1）初角速度：）初角速度：解解：0=2200/60=20.9(rad/s)末角速度：末角速度：=23000/60=314(rad/s)角加速度為：角加速度為：（2）轉(zhuǎn)過(guò)的角度為）轉(zhuǎn)過(guò)的角度為47總加速度為：總加速度為：總加速度與速度（切向）之間的夾角總加速度與速度（切向）之間的夾角（3）切向加速度為）切向加速度為法向加速度為法向加速度為48 由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有可加性，所以已由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有可加性，所以已挖洞的圓板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量挖洞的圓板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J 加上挖去的圓加上挖去的圓板補(bǔ)回原位后對(duì)原中心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量板補(bǔ)回原位后對(duì)原中心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1就就等于整個(gè)完整圓板對(duì)中心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于整個(gè)完整圓板對(duì)中心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2 即即ROR/2C 5.2 從一半徑為從一半徑為R的均勻薄板上挖去一個(gè)直徑為的均勻薄板上挖去一個(gè)直徑為 R 的圓的圓板，所形成的圓洞中心在距原薄板中心板，所形成的圓洞中心在距原薄板中心 R/2 處，所剩薄處，所剩薄板的質(zhì)量為板的質(zhì)量為m。求此薄板對(duì)于通過(guò)原中心而與板面垂直求此薄板對(duì)于通過(guò)原中心而與板面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ROR/2C解解：設(shè)板質(zhì)量密度為設(shè)板質(zhì)量密度為厚度為厚度為a，則則J =J2 -J149由于由于則則最后求得最后求得ROR/2C50 5.3 如圖，兩物體質(zhì)量為如圖，兩物體質(zhì)量為m1、m2，滑輪的質(zhì)量為，滑輪的質(zhì)量為m，半徑為半徑為 r，可視作均勻圓盤。已知可視作均勻圓盤。已知 m2與桌面間的滑動(dòng)摩與桌面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為擦系數(shù)為k，求求 m1下落的加速度和兩段繩子中的張力下落的加速度和兩段繩子中的張力各為多少。設(shè)繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸受的摩擦各為多少。設(shè)繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸受的摩擦力忽略不計(jì)。力忽略不計(jì)。解解：（繩在輪上不打滑）（繩在輪上不打滑）（向下為正）（向下為正）（向右為正）（向右為正）線角量關(guān)系：線角量關(guān)系：對(duì)對(duì)m1、m2、滑輪分別進(jìn)、滑輪分別進(jìn)行受力分析，行受力分析，畫出畫出示力圖示力圖（順時(shí)針為正）（順時(shí)針為正）aam2m1rT T1 1m1gfT T2 2T T1 1T T2 2方程組的解為方程組的解為：5.4 如圖，兩個(gè)圓輪的半徑分別為如圖，兩個(gè)圓輪的半徑分別為R1和和R2,質(zhì)量分別為質(zhì)量分別為 M1、M2，二者皆，二者皆可視作均勻圓柱體且同軸固結(jié)在一起，可視作均勻圓柱體且同軸固結(jié)在一起，可繞一水平固定軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。今在兩可繞一水平固定軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。今在兩輪上繞有細(xì)繩，繩端分別掛上質(zhì)量為輪上繞有細(xì)繩，繩端分別掛上質(zhì)量為 m1 和和 m2 的兩個(gè)物體。求在重力作用的兩個(gè)物體。求在重力作用下，下，m2下落時(shí)輪的角加速度。下落時(shí)輪的角加速度。解解：（向上為正）（向上為正）（向下為正）（向下為正）對(duì)對(duì)m1、m2、整個(gè)滑輪分別進(jìn)行、整個(gè)滑輪分別進(jìn)行受力分析，受力分析，畫出畫出示力圖示力圖（順時(shí)針為正）（順時(shí)針為正）m1m2R2R1M1M2oa1T T1 1m1ga2T T2 2m2gT T1 1T T2 253線角量關(guān)系線角量關(guān)系（繩在輪上不打滑）（繩在輪上不打滑）：方程組的解為方程組的解為：54 5.5 一根均勻米尺，在一根均勻米尺，在60cm刻度處釘?shù)綁ι?，且刻度處釘?shù)綁ι?，且可以可以在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。先用手使在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。先用手使米尺保持米尺保持水平水平，然后，然后釋放。求剛釋放時(shí)米尺釋放。求剛釋放時(shí)米尺的角加速度和的角加速度和米尺到豎直米尺到豎直位置時(shí)位置時(shí)的角加速度。的角加速度。解解：設(shè)米尺總質(zhì)量為設(shè)米尺總質(zhì)量為m，則直尺對(duì)懸則直尺對(duì)懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：對(duì)米尺，手剛釋放時(shí)，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：對(duì)米尺，手剛釋放時(shí)，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：O mgCl1l255CmgO mgCl1l2在米尺轉(zhuǎn)到豎直在米尺轉(zhuǎn)到豎直位置過(guò)程中位置過(guò)程中，系統(tǒng)（，系統(tǒng)（尺尺+地球地球）機(jī)械能機(jī)械能守恒守恒：56 5.6 坐在轉(zhuǎn)椅上的人手握啞鈴。兩臂伸直時(shí)，人、啞鈴坐在轉(zhuǎn)椅上的人手握啞鈴。兩臂伸直時(shí)，人、啞鈴和椅系統(tǒng)對(duì)豎直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為和椅系統(tǒng)對(duì)豎直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1=2kg m2。在外人在外人推動(dòng)后，此系統(tǒng)開(kāi)始以推動(dòng)后，此系統(tǒng)開(kāi)始以n1=15r/min轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)人兩臂收回轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)人兩臂收回時(shí)，使系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變?yōu)闀r(shí)，使系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變?yōu)镴2=0.80kgm2，它的轉(zhuǎn)速，它的轉(zhuǎn)速n2是多大？是多大？解解：兩臂收回過(guò)程中，系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒？?jī)杀凼栈剡^(guò)程中，系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒？什么力做了功？做功多少？設(shè)軸上摩擦忽略不計(jì)。什么力做了功？做功多少？設(shè)軸上摩擦忽略不計(jì)。由于兩臂收回過(guò)程中，人體受的沿豎直軸的外力矩由于兩臂收回過(guò)程中，人體受的沿豎直軸的外力矩為零，所以系統(tǒng)沿此軸的角動(dòng)量守恒為零，所以系統(tǒng)沿此軸的角動(dòng)量守恒兩臂收回時(shí)，系統(tǒng)的內(nèi)力（臂力）做了功，所以系統(tǒng)的兩臂收回時(shí)，系統(tǒng)的內(nèi)力（臂力）做了功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒。臂力做的總功為：機(jī)械能不守恒。臂力做的總功為：5758 5.7 如圖所示，均勻桿長(zhǎng)如圖所示，均勻桿長(zhǎng) L=0.40m，質(zhì)量質(zhì)量M=1.0kg，由其上端的光滑水平軸吊起而處于靜由其上端的光滑水平軸吊起而處于靜止。今有一質(zhì)量為止。今有一質(zhì)量為 m=8.0g 的子彈以速度的子彈以速度=200m/s 水平射入桿中而不復(fù)出，射入點(diǎn)在軸下水平射入桿中而不復(fù)出，射入點(diǎn)在軸下 d=3L/4 處。處。（1）求子彈停在桿中時(shí)桿的角速度）求子彈停在桿中時(shí)桿的角速度。（2）求桿的最大偏轉(zhuǎn)角。）求桿的最大偏轉(zhuǎn)角。解解：L （1）系統(tǒng)（）系統(tǒng)（桿桿+子彈子彈），在），在碰撞過(guò)程碰撞過(guò)程中，中，合外力矩為合外力矩為0 0，因而系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。（在，因而系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。（在俯視圖中，選俯視圖中，選為正方向?yàn)檎较颍?9 （2）系統(tǒng)（）系統(tǒng)（桿桿+子彈子彈+地球地球），），上擺過(guò)上擺過(guò)程程，只有重力（保守力）做功只有重力（保守力）做功，系統(tǒng)的，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒（選（選桿豎直時(shí)桿豎直時(shí)勢(shì)能為零勢(shì)能為零）。）。LC605.8 一轉(zhuǎn)臺(tái)繞豎直固定固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一轉(zhuǎn)臺(tái)繞豎直固定固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一周所需時(shí)，每轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間間 t=10s，轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J=1200kgm2。一一質(zhì)量為質(zhì)量為M=80kg 的人，的人，開(kāi)始站在轉(zhuǎn)臺(tái)中心，隨后沿半開(kāi)始站在轉(zhuǎn)臺(tái)中心，隨后沿半徑向外跑去徑向外跑去，當(dāng)人離，當(dāng)人離轉(zhuǎn)臺(tái)中心轉(zhuǎn)臺(tái)中心 r=2m 時(shí)時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度多大多大？解解：系統(tǒng)（系統(tǒng)（人人+轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)臺(tái)）沒(méi)有受到沿）沒(méi)有受到沿軸的軸的合外力矩合外力矩作用，因而其作用，因而其角動(dòng)量角動(dòng)量守恒守恒，即：，即：由此可得轉(zhuǎn)臺(tái)后來(lái)的角速度由此可得轉(zhuǎn)臺(tái)后來(lái)的角速度61