《高三數學二輪復習 專題限時集訓9 專題3 突破點9 隨機變量及其分布 理-人教高三數學試題》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《高三數學二輪復習 專題限時集訓9 專題3 突破點9 隨機變量及其分布 理-人教高三數學試題(8頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、專題限時集訓(九) 隨機變量及其分布
建議A、B組各用時:45分鐘]
A組 高考達標]
一、選擇題
1.已知變量X服從正態(tài)分布N(2,4),下列概率與P(X≤0)相等的是( )
A.P(X≥2) B.P(X≥4)
C.P(0≤X≤4) D.1-P(X≥4)
B 由變量X服從正態(tài)分布N(2,4)可知,x=2為其密度曲線的對稱軸,因此P(X≤0)=P(X≥4).故選B.]
2.(2016·廈門模擬)某種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現播種了1 000粒,對于沒有發(fā)芽的種子,每粒需要再補種2粒,補種的種子數記為X,則X的數學期望為( )
A.100 B.200
2、C.300 D.400
B 將“沒有發(fā)芽的種子數”記為ξ,則ξ=1,2,3,…,1 000,由題意可知ξ~B(1 000,0.1),所以E(ξ)=1 000×0.1=100,又因為X=2ξ,所以E(X)=2E(ξ)=200,故選B.]
3.現有甲、乙兩個靶,某射手向甲靶射擊一次,命中的概率為;向乙靶射擊兩次,每次命中的概率為.該射手每次射擊的結果相互獨立.假設該射手完成以上三次射擊,該射手恰好命中一次的概率為( )
A. B. C. D.
C ××+××+××=,故選C.]
4.(2016·合肥二模)某校組織由5名學生參加的演講比賽,采用抽簽法決定演講順序,在“
3、學生A和B都不是第一個出場,B不是最后一個出場”的前提下,學生C第一個出場的概率為( ) 【導學號:85952035】
A. B.
C. D.
A “A和B都不是第一個出場,B不是最后一個出場”的安排方法中,另外3人中任何一個人第一個出場的概率都相等,故“C第一個出場”的概率是.]
5.箱中裝有標號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個球.從箱中一次摸出兩個球,記下號碼并放回,如果兩球號碼之積是4的倍數,則獲獎.現在4人參與摸獎,恰好有3人獲獎的概率是( )
A. B.
C. D.
B 若摸出的兩球中含有4,必獲獎,有5種情形;若摸出的兩球是2,6,也能獲獎.故獲獎
4、的情形共6種,獲獎的概率為=.現有4人參與摸獎,恰有3人獲獎的概率是C3·=.]
二、填空題
6.隨機變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,則D(ξ)=________.
由題意設P(ξ=1)=p,
ξ的分布列如下:
ξ
0
1
2
P
p
-p
由E(ξ)=1,可得p=,
所以D(ξ)=12×+02×+12×=.]
7.某學校一年級共有學生100名,其中男生60人,女生40人.來自北京的有20人,其中男生12人,若任選一人是女生,則該女生來自北京的概率是________.
設事件A為“任選一人是女生”,B為“任選一人來自北京”,依題意
5、知,來自北京的女生有8人,這是一個條件概率,問題即計算P(B|A).
由于P(A)=,P(AB)=,
則P(B|A)===.]
8.(2016·黃岡一模)荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷
圖9-6
葉上跳來跳去(每次跳躍時,均從一葉跳到另一葉),而且逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的兩倍,如圖9-6所示,假設現在青蛙在A葉上,則跳三次后仍停在A葉上的概率是________.
設順時針跳的概率為p,則逆時針跳的概率為2p,則p+2p=1,即p=,由題意可知,青蛙三次跳躍 的方向應相同,即要么全為順時針方向,要么全為逆時針方向,故所求概率P=3+3=+=.]
三、解
6、答題
9. (2016·合肥三模)從某校的一次學科知識競賽成績中,隨機抽取了50名同學的成績,統(tǒng)計如下:
組別
30,40)
40,50)
50,60)
60,70)
70,80)
80,90)
90,100]
頻數
3
10
12
15
6
2
2
(1)求這50名同學成績的樣本平均數(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)由頻數分布表可以認為,本次學科知識競賽的成績Z服從正態(tài)分布N(μ,196),其中μ近似為樣本平均數.
①利用該正態(tài)分布,求P(Z>74);
②某班級共有20名同學參加此次學科知識比賽,記X表示這20名同學中成績超過74
7、分的人數,利用①的結果,求E(X).
附:若Z~N(μ,σ2),則P(μ-σ74)==0.158 7.8分
②由①知,某位同學參加學科知識比賽的成績Z超過74分的概率為0.158 7,依題意可知X~B(20,0.158 7),
所以E(X)=20×0.158 7=3.174.12分
10.甲、乙兩班進行消防安全知識競賽,每班出3人組成甲、乙兩支代表隊,首輪
8、比賽每人一道必答題,答對則為本隊得1分,答錯或不答都得0分.已知甲隊3人每人答對的概率分別為,,,乙隊每人答對的概率都是.設每人回答正確與否相互之間沒有影響,用ξ表示甲隊總得分.
(1)求隨機變量ξ的分布列及其數學期望E(ξ);
(2)求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下,甲隊比乙隊得分高的概率.
解] (1)ξ的可能取值為0,1,2,3.
P(ξ=0)=××=;1分
P(ξ=1)=××+××+××=;2分
P(ξ=2)=××+××+××=;3分
P(ξ=3)=××=.4分
所以ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
6分
所以E(ξ)=0×+1×+
9、2×+3×=.8分
(2)設“甲隊和乙隊得分之和為4”為事件A,“甲隊比乙隊得分高”為事件B,
則P(A)=×C3+×C2×+×C1×2=.10分
P(AB)=×C1×2=.11分
P(B|A)===.12分
B組 名校沖刺]
一、選擇題
1.(2016·河北第二次聯考)已知袋子中裝有大小相同的6個小球,其中有2個紅球、4個白球.現從中隨機摸出3個小球,則至少有2個白球的概率為( )
A. B.
C. D.
C 所求問題有兩種情況:1紅2白或3白,則所求概率P==.]
圖9-7
2.如圖9-7,△ABC和△DEF是同一個圓的內接正三角形,且BC∥EF.將一顆豆
10、子隨機地扔到該圓內,用M表示事件“豆子落在△ABC內”,N表示事件“豆子落在△DEF內”,則P(|M)=( )
A. B.
C. D.
C 如圖,作三條輔助線,根據已知條件知這些小三角形都全等,△ABC包含9個小三角形,滿足事件M的有3個小三角形,所以P(|M)===,故選C.]
3.設隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,9),若P(X>c+1)=P(X
11、行學習,記兩人所選課程相同的門數為X,則E(X)為( )
A.1 B.1.5
C.2 D.2.5
B X可取0,1,2,3,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)=,P(X=3)==,
故E(X)=0×+1×+2×+3×=1.5.]
二、填空題
5.現有10道題,其中6道甲類題,4道乙類題,張同學從中任選3道題作答.已知所選的3道題中有2道甲類題,1道乙類題.設張同學答對每道甲類題的概率都是,答對每道乙類題的概率都是,且各題答對與否相互獨立,則張同學恰好答對2道題的概率為________.
設張同學答對甲類題的數目為x,答對乙類題的數目為y,答對題的總數為X,則
12、X=x+y.所以P(X=2)=P(x=2,y=0)+P(x=1,y=1)=C×2×+C×××=.]
6.某商場在兒童節(jié)舉行回饋顧客活動,凡在商場消費滿100元者即可參加射擊贏玩具活動,具體規(guī)則如下:每人最多可射擊3次,一旦擊中,則可獲獎且不再繼續(xù)射擊,否則一直射擊到3次為止.設甲每次擊中的概率為p(p≠0),射擊次數為η,若η的數學期望E(η)>,則p的取值范圍是________.
【導學號:85952036】
由已知得P(η=1)=p,P(η=2)=(1-p)p,P(η=3)=(1-p)2,則E(η)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>,解得p>或p<,又p∈(0
13、,1),所以p∈.]
三、解答題
7.(2016·鄭州模擬)已知從A地到B地共有兩條路徑L1和L2,據統(tǒng)計,經過兩條路徑所用的時間互不影響,且經過L1與L2所用時間落在各時間段內的頻率分布直方圖分別如圖9-8(1)和圖(2).
(1) (2)
圖9-8
現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于從A地到B地.
(1)為了盡最大可能在各自允許的時間內趕到B地,甲和乙應如何選擇各自的路徑?
(2)用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內能趕到B地的人數,針對(1)的選擇方案,求X的分布列和數學期望.
解] (1)用Ai表示事件“甲選擇路徑Li時
14、,40分鐘內趕到B地”,B i表示事件“乙選擇路徑Li時,50分鐘內趕到B地”,i=1,2.1分
由頻率分布直方圖及頻率估計相應的概率可得
P(A1)=(0.01+0.02+0.03)×10=0.6,
P(A2)=(0.01+0.04)×10=0.5.
∵P(A1)>P(A2),故甲應選擇L1.3分
P(B1)=(0.01+0.02+0.03+0.02)×10=0.8,
P(B2)=(0.01+0.04+0.04)×10=0.9.
∵P(B2)>P(B1),故乙應選擇L2.5分
(2)用M,N分別表示針對(1)的選擇方案,甲、乙在各自允許的時間內趕到B地,
由(1)知P(M)
15、=0.6,P(N)=0.9,又由題意知,M,N相互獨立,7分
∴P(X=0)=P()=P()P()=0.4×0.1=0.04;
P(X=1)=P(N+M)=P()P(N)+P(M)P()
=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42;
P(X=2)=P(MN)=P(M)P(N)=0.6×0.9=0.54.9分
∴X的分布列為
X
0
1
2
P
0.04
0.42
0.54
∴E(X)=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5.12分
8.氣象部門提供了某地區(qū)今年六月份(30天)的日最高氣溫的統(tǒng)計表如下:
日最高氣溫t/℃
t≤22
22
16、2832
天數
6
12
Y
Z
由于工作疏忽,統(tǒng)計表被墨水污染,Y和Z數據不清楚,但氣象部門提供的資料顯示,六月份的日最高氣溫不高于32℃的頻率為0.9.某水果商根據多年的銷售經驗,六月份的日最高氣溫t(單位:℃)對西瓜的銷售影響如下表:
日最高氣溫t/℃
t≤22
2232
日銷售額
X/千元
2
5
6
8
(1)求Y,Z的值;
(2)若視頻率為概率,求六月份西瓜日銷售額X的期望和方差;
(3)在日最高氣溫不高于32℃時,求日銷售額不低于5千元的概率.
解] (1)由已知得P(t≤
17、32)=0.9,所以P(t>32)=1-P(t≤32)=0.1,所以Z=30×0.1=3,Y=30-(6+12+3)=9. 3分
(2)由題意,知X的所有可能取值為2,5,6,8.
易知P(X=2)=P(t≤22)==0.2,P(X=5)=P(2232)==0.1.
所以六月份西瓜日銷售額X的分布列為
X
2
5
6
8
P
0.2
0.4
0.3
0.1
6分
所以E(X)=2×0.2+5×0.4+6×0.3+8×0.1=5, 7分
D(X)=(2-5)2×0.2+(5-5)2×0.4+(6-5)2×0.3+(8-5)2×0.1=3. 8分
(3)因為P(t≤32)=0.9,P(22