專題一次函數(shù)與二次函數(shù)的實際應(yīng)用 解答重難點題型突破

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1、專題二　解答重難點題型突破 題型一　實際應(yīng)用問題 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 類型一　一次函數(shù)與二次函數(shù)的實際應(yīng)用 1．(2018·遼陽)某超市銷售櫻桃,已知櫻桃的進價為15元/千克,如果售價為20元/千克,那么每天可售出250千克,如果售價為25元/千克,那么每天可獲利2000元,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):每天的銷售量y(千克)與售價x(元/千克)之間存在一次函數(shù)關(guān)系． (1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)若櫻桃的售價不得高于28元/千克,請問售價定為多少時,該超市每天銷售櫻桃所獲的利潤最大？最大利潤是多少元？ 解:(1)當(dāng)x＝25時,y＝2000÷(25－15)＝200(千克

2、), 設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b,把(20,250)(25,200)代入得解得 ∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝－10x＋450； (2)設(shè)每天獲利W元,W＝(x－15)(－10x＋450)＝－10x2＋600x－6750＝－10(x－30)2＋2250, ∵a＝－10<0,對稱軸為直線x＝30, ∴在x≤28時,W隨x的增大而增大,∴當(dāng)x＝28時,W最大＝2210(元), 答:售價為28元時,每天獲最大利潤為2210元.2.(2018·安徽)某超市銷售一種商品,成本為每千克40元,規(guī)定每千克售價不低于成本,且不高于80元,經(jīng)市場調(diào)查,每天的銷售量y(千克)與每千克售價x(元)滿

3、足一次函數(shù)關(guān)系,部分數(shù)據(jù)如下表: 售價x(元/千克) 50 60 70 銷售量y(千克) 100 80 60 (1)求y與x之間的函數(shù)表達式； (2)設(shè)商品每天的總利潤為W(元),求W與x之間的函數(shù)表達式(利潤＝收入－成本)； (3)試說明(2)中總利潤W隨售價x的變化而變化的情況,并指出售價為多少元時獲得最大利潤,最大利潤是多少？ 解:(1)設(shè)y與x之間的函數(shù)表達式為y＝kx＋b, 解得 即y與x之間的函數(shù)表達式是y＝－2x＋200； (2)由題意可得, W＝(x－40)(－2x＋200)＝－2x2＋280x－8000, 即W與x之間的函數(shù)表達式是W＝－

4、2x2＋280x－8000； (3)∵W＝－2x2＋280x－8000＝－2(x－70)2＋1800,40≤x≤80, ∴當(dāng)40≤x≤70時,W隨x的增大而增大,當(dāng)70≤x≤80時,W隨x的增大而減小, 當(dāng)x＝70時,W取得最大值,此時W＝1800, 答:當(dāng)40≤x≤70時,W隨x的增大而增大,當(dāng)70≤x≤80時,W隨x的增大而減小,售價為70元時獲得最大利潤,最大利潤是1800元． 3．(2018·鐵嶺模擬)某賓館有50個房間供游客居住,當(dāng)每個房間定價120元時,房間會全部住滿,當(dāng)每個房間每天的定價每增加10元時,就會有一個房間空閑,如果游客居住房間,賓館需對每個房間每天支出20元

5、的各種費用,設(shè)每個房間定價增加10x元(x為整數(shù))． (1)直接寫出每天游客居住的房間數(shù)量y與x的函數(shù)關(guān)系式； (2)設(shè)賓館每天的利潤為W元,當(dāng)每個房間定價為多少元時,賓館每天所獲利潤最大,最大利潤是多少？ (3)某日,賓館了解當(dāng)天的住宿情況,得到以下信息:①當(dāng)日所獲利潤不低于5000元,②賓館為游客居住的房間共支出費用沒有超過600元,③每個房間剛好住滿2人．問:這天賓館入住的游客人數(shù)最少有多少人？(導(dǎo)學(xué)號　58824232) 解:(1)根據(jù)題意,得:y＝50－x(0≤x≤50,且x為整數(shù))； (2)W＝(120＋10x－20)(50－x)＝－10x2＋400x＋5000＝－10(

6、x－20)2＋9000, ∵a＝－10＜0∴當(dāng)x＝20時,W取得最大值,W最大值為9000元, 答:當(dāng)每個房間定價為320元時,賓館每天所獲利潤最大,最大利潤是9000元； (3)由－10(x－20)2＋9000≥5000,20(－x＋50)≤600,解得20≤x≤40, ∵房間數(shù)y＝50－x, 又∵－1＜0, y隨x的增大而減小, ∴當(dāng)x＝40時,y的值最小,這天賓館入住的游客人數(shù)最少, 最少人數(shù)為2y＝2(－x＋50)＝20(人), 答:這天賓館入住的游客人數(shù)最少有20人． 4．(2018·湖州)湖州素有魚米之鄉(xiāng)之稱,某水產(chǎn)養(yǎng)殖大戶為了更好地發(fā)揮技術(shù)優(yōu)勢,一次性收購了2

7、0000 kg淡水魚,計劃養(yǎng)殖一段時間后再出售．已知每天放養(yǎng)的費用相同,放養(yǎng)10天的總成本為30.4萬元；放養(yǎng)20天的總成本為30.8萬元(總成本＝放養(yǎng)總費用＋收購成本)． (1)設(shè)每天的放養(yǎng)費用是a萬元,收購成本為b萬元,求a和b的值； (2)設(shè)這批淡水魚放養(yǎng)t天后的質(zhì)量為m(kg),銷售單價為y元/kg.根據(jù)以往經(jīng)驗可知:m與t的函數(shù)關(guān)系為m＝y(tǒng)與t的函數(shù)關(guān)系如圖所示． ①分別求出當(dāng)0≤t≤50和50＜t≤100時,y與t的函數(shù)關(guān)系式； ②設(shè)將這批淡水魚放養(yǎng)t天后一次性出售所得利潤為W元,求當(dāng)t為何值時,W最大？并求出最大值．(利潤＝銷售總額－總成本) 解:(1)由題意,得:

8、解得 (2)①當(dāng)0≤t≤50時,設(shè)y與t的函數(shù)關(guān)系式為y＝k1t＋n1, 將(0,15)、(50,25)代入,得:解得:∴y與t的函數(shù)關(guān)系式為y＝t＋15； 當(dāng)50＜t≤100時,設(shè)y與t的函數(shù)關(guān)系式為y＝k2t＋n2, 將點(50,25)、(100,20)代入,得:解得: ∴y與t的函數(shù)關(guān)系式為y＝－t＋30； ②由題意,當(dāng)0≤t≤50時, W＝20000(t＋15)－(400t＋300000)＝3600t, ∵3600＞0,∴當(dāng)t＝50時,W最大＝180000(元)； 當(dāng)50＜t≤100時,W＝(100t＋15000)(－t＋30)－(400t＋300000)＝－10t2

9、＋1100t＋150000＝－10(t－55)2＋180250, ∵－10＜0,∴當(dāng)t＝55時,W最大＝180250(元), 綜上所述,放養(yǎng)55天時,W最大,最大值為180250元． 5．(2018·丹東)某超市銷售一種成本為每臺20元的臺燈,規(guī)定銷售單價不低于成本價,又不高于每臺32元,銷售中平均每月銷售量y(臺)與銷售單價x(元)的關(guān)系可以近似地看作一次函數(shù),如下表所示: x 22 24 26 28 y 90 80 70 60 (1)請直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)為了實現(xiàn)平均每月375元的臺燈銷售利潤,這種臺燈的售價應(yīng)定為多少？這時每月應(yīng)購進臺

10、燈多少個？ (3)設(shè)超市每月臺燈銷售利潤為w(元),求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式,當(dāng)x取何值時,w的值最大？最大值是多少？ 解:(1)y＝－5x＋200； (2)根據(jù)題意可得:(x－20)(－5x＋200)＝375, 解得:x1＝35>32舍去,x2＝25, 代入y＝－5x＋200得y＝75, 答:這種臺燈的售價應(yīng)定為25元/臺,這時應(yīng)購進臺燈75臺； (3)w＝(x－20)(－5x＋200)＝－5x2＋300x－4000＝－5(x－30)2＋500, ∵a＝－5<0,∴當(dāng)x＝30時,w最大＝500元. 類型二　方程、不等式的實際應(yīng)用 1．(2018·益陽)我市南縣大力發(fā)展農(nóng)

11、村旅游事業(yè),全力打造“洞庭之心濕地公園”,其中羅文村的“花海、涂鴉、美食”特色游享譽三湘,游人如織．去年村民羅南洲抓住機遇,返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè),投入20萬元創(chuàng)辦農(nóng)家樂(餐飲＋住宿),一年時間就收回投資的80%,其中餐飲利潤是住宿利潤的2倍還多1萬元． (1)求去年該農(nóng)家樂餐飲和住宿的利潤各為多少萬元？ (2)今年羅南洲把去年的餐飲利潤全部用于繼續(xù)投資,增設(shè)了土特產(chǎn)的實體店銷售和網(wǎng)上銷售項目．他在接受記者采訪時說:“我預(yù)計今年餐飲和住宿的利潤比去年會有10%的增長,加上土特產(chǎn)銷售的利潤,到年底除收回所有投資外,還將獲得不少于10萬元的純利潤．”請問今年土特產(chǎn)銷售至少有多少萬元的利潤？ (導(dǎo)學(xué)號　58

12、824233) 解:(1)設(shè)去年餐飲利潤x萬元,住宿利潤y萬元, 依題意得: 解得: 答:去年餐飲利潤11萬元,住宿利潤5萬元； (2)設(shè)今年土特產(chǎn)利潤m萬元, 依題意得:16＋16×(1＋10%)＋m－20－11≥10,解得,m≥7.4, 答:今年土特產(chǎn)銷售至少有7.4萬元的利潤． 2．某工廠接受了20天內(nèi)生產(chǎn)1200臺GH型電子產(chǎn)品的總?cè)蝿?wù)．已知每臺GH型產(chǎn)品由4個G型裝置和3個H型裝置配套組成．工廠現(xiàn)有80名工人,每個工人每天能加工6個G型裝置或3個H型裝置．工廠將所有工人分成兩組同時開始加工,每組分別加工一種裝置,并要求每天加工的G,H型裝置數(shù)量

13、正好全部配套組成GH型產(chǎn)品． (1)按照這樣的生產(chǎn)方式,工廠每天能配套組成多少套GH型電子產(chǎn)品？ (2)為了在規(guī)定期限內(nèi)完成總?cè)蝿?wù),工廠決定補充一些新工人,這些新工人只能獨立進行G型裝置的加工,且每人每天只能加工4個G型裝置．請問至少需要補充多少名新工人？ 解:(1)設(shè)有x名工人加工G型裝置, 則有(80－x)名工人加工H型裝置, 根據(jù)題意,＝, 解得x＝32, 則6×32÷4＝48(套), 答:每天能組裝48套GH型電子產(chǎn)品； (2)設(shè)補充a名新工人加工G型裝置 仍設(shè)x名工人加工G型裝置,(80－x)名工人加工H型裝置, 根據(jù)題意,＝,整理可得, x＝, 另外,注意

14、到80－x≥,即x≤20, 于是≤20, 解得:a≥30, 答:至少需要補充30名新工人． 3．(2018·寧波)2018年5月14日至15日,“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京舉行,本屆論壇期間,中國同30多個國家簽署經(jīng)貿(mào)合作協(xié)議,某廠準備生產(chǎn)甲、乙兩種商品共8萬件銷往“一帶一路”沿線國家和地區(qū)．已知2件甲種商品與3件乙種商品的銷售收入相同,3件甲種商品比2件乙種商品的銷售收入多1500元． (1)甲種商品與乙種商品的銷售單價各多少元？ (2)若甲、乙兩種商品的銷售總收入不低于5400萬元,則至少銷售甲種商品多少萬件？ (導(dǎo)學(xué)號　58824234) 解:(1)

15、設(shè)甲種商品的銷售單價為x元,乙種商品的銷售單價為y元,依題意有 解得 答:甲種商品的銷售單價為900元,乙種商品的銷售單價為600元； (2)設(shè)銷售甲種商品a萬件,依題意有 900a＋600(8－a)≥5400,解得a≥2, 答:至少銷售甲種商品2萬件． 4．(2018·無錫)某地新建的一個企業(yè),每月將生產(chǎn)1960噸污水,為保護環(huán)境,該企業(yè)計劃購置污水處理器,并在如下兩個型號中選擇: 污水處理器型號 A型 B型 處理污水能力(噸/月) 240 180 已知商家售出的2臺A型、3臺B型污水處理器的總價為44萬元,售出的1臺A型、4臺B

16、型污水處理器的總價為42萬元． (1)求每臺A型、B型污水處理器的價格； (2)為確保將每月產(chǎn)生的污水全部處理完,該企業(yè)決定購買上述的污水處理器,那么他們至少要支付多少錢？ 解:(1)設(shè)每臺A型污水處理器的價格是x萬元,每臺B型污水處理器的價格是y萬元,依題意有 解得 答:每臺A型污水處理器的價格是10萬元,每臺B型污水處理器的價格是8萬元； (2)購買9臺A型污水處理器,費用為10×9＝90(萬元)； 購買8臺A型污水處理器、1臺B型污水處理器,費用為10×8＋8＝80＋8＝88(萬元)； 購買7臺A型污水處理器、2臺B型污水處理器,費用為10×7＋8×2＝70＋16＝8

17、6(萬元)； 購買6臺A型污水處理器、3臺B型污水處理器,費用為10×6＋8×3＝60＋24＝84(萬元)； 購買5臺A型污水處理器、5臺B型污水處理器,費用為10×5＋8×5＝50＋40＝90(萬元)； 購買4臺A型污水處理器、6臺B型污水處理器,費用為10×4＋8×6＝40＋48＝88(萬元)； 購買3臺A型污水處理器、7臺B型污水處理器,費用為10×3＋8×7＝30＋56＝86(萬元)； 購買2臺A型污水處理器、9臺B型污水處理器,費用為10×2＋8×9＝20＋72＝92(萬元)； 購買1臺A型污水處理器、10臺B型污水處理器,費用為10×1＋8×10＝10＋80＝90(萬元

18、)； 購買11臺B型污水處理器,費用為8×11＝88(萬元)． 故購買6臺A型污水處理器、3臺B型污水處理器,費用最少． 答:他們至少要支付84萬元． 類型三　方程、不等式與函數(shù)結(jié)合的實際應(yīng)用 1．(2018·泰州)怡然美食店的A,B兩種菜品,每份成本均為14元,售價分別為20元、18元,這兩種菜品每天的營業(yè)額共為1120元,總利潤為280元． (1)該店每天賣出這兩種菜品共多少份？ (2)該店為了增加利潤,準備降低A種菜品的售價,同時提高B種菜品的售價,售賣時發(fā)現(xiàn),A種菜品售價每降0.5元可多賣1份；B種菜品售價每提高0.5元就少賣1份,如果這兩種菜品每天銷售總份數(shù)不變,那

19、么這兩種菜品一天的總利潤最多是多少？ 解:(1)設(shè)該店每天賣出A、B兩種菜品分別為x、y份, 根據(jù)題意得, 解得: 答:該店每天賣出這兩種菜品共60份； (2)設(shè)A種菜品售價降0.5a元,即每天賣(20＋a)份；總利潤為w元,因為兩種菜品每天銷售總份數(shù)不變,所以B種菜品每天賣(40－a)份,每份售價提高0.5a元． w＝(20－14－0.5a)(20＋a)＋(18－14＋0.5a)(40－a) ＝(6－0.5a)(20＋a)＋(4＋0.5a)(40－a) ＝(－0.5a2－4a＋120)＋(－0.5a2＋16a＋160) ＝－a2＋12a＋280 ＝－(a－6)2＋316,

20、 當(dāng)a＝6時,w最大,此時w＝316. 答:這兩種菜品一天的總利潤最多是316元, 2．(2016·本溪)某種商品的進價為40元/件,以獲利不低于25%的價格銷售時,商品的銷售單價y(元/件)與銷售數(shù)量x(件)(x是正整數(shù))之間的關(guān)系如下表: x(件) … 5 10 15 20 … y(元/件) … 75 70 65 60 … (1)由題意知商品的最低銷售單價是_50_元,當(dāng)銷售單價不低于最低銷售單價時,y是x的一次函數(shù),求出y與x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍； (2)在(1)的條件下,當(dāng)銷售單價為多少元時,所獲銷售利潤最大,最大利潤

21、是多少元？ (導(dǎo)學(xué)號　58824235) 解:(1)設(shè)y＝kx＋b,根據(jù)題意得:解得 根據(jù)題意得:∴1≤x≤30且x為整數(shù), ∴y＝－x＋80(0＜x≤30,且x為整數(shù))； (2)設(shè)所獲利潤為P元,根據(jù)題意得: P＝(y－40)x＝(－x＋80－40)x＝－(x－20)2＋400, ∵a＝－1＜0,∴P有最大值, ∴當(dāng)x＝20時,P最大＝400, 此時y＝60, ∴當(dāng)銷售單價為60元時,所獲最大利潤為400元． 3．(2018·鄂州)鄂州某個體商戶購進某種電子產(chǎn)品的進價是50元/個,根據(jù)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)售價是80元/個時,每周可賣出160個,若銷售單價每個

22、降低2元,則每周可多賣出20個．設(shè)銷售價格每個降低x元(x為偶數(shù)),每周銷售為y個． (1)直接寫出銷售量y個與降價x元之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)設(shè)商戶每周獲得的利潤為W元,當(dāng)銷售單價定為多少元時,每周銷售利潤最大,最大利潤是多少元？ (3)若商戶計劃下周利潤不低于5200元的情況下,他至少要準備多少元進貨成本？ 解:(1)依題意有:y＝10x＋160； (2)依題意有:W＝(80－50－x)(10x＋160)＝－10(x－7)2＋5290, ∵－10＜0,x為偶數(shù),∴x＝6或8時,W有最大值,W最大＝5280. 故當(dāng)銷售單價定為80－6＝74元或80－8＝72元時,每周銷售利潤

23、最大,最大利潤是5280元； (3)依題意有:－10(x－7)2＋5290≥5200, 解得4≤x≤10,則200≤y≤260, 200×50＝10000(元), 答:他至少要準備10000元進貨成本． 4．(2018·長春)甲、乙兩車間同時開始加工一批服裝．從開始加工到加工完這批服裝甲車間工作了9小時,乙車間在中途停工一段時間維修設(shè)備,然后按停工前的工作效率繼續(xù)加工,直到與甲車間同時完成這批服裝的加工任務(wù)為止．設(shè)甲、乙兩車間各自加工服裝的數(shù)量為y(件)．甲車間加工的時間為x(時),y與x之間的函數(shù)圖象如圖所示． (1)甲車間每小時加工服裝件數(shù)為_80_

24、件；這批服裝的總件數(shù)為_1140_件； (2)求乙車間維修設(shè)備后,乙車間加工服裝數(shù)量y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (3)求甲、乙兩車間共同加工完1000件服裝時甲車間所用的時間． 解:(2)乙車間每小時加工服裝件數(shù)為120÷2＝60(件), 乙車間修好設(shè)備的時間為9－(420－120)÷60＝4(時). ∴乙車間維修設(shè)備后,乙車間加工服裝數(shù)量y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝120＋60(x－4)＝60x－120(4≤x≤9)； (3)甲車間加工服裝數(shù)量y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝80x, 當(dāng)80x＋60x

25、－120＝1000時,x＝8. 答:甲、乙兩車間共同加工完1000件服裝時甲車間所用的時間為8小時． 5．(2018·咸寧)某公司開發(fā)出一款新的節(jié)能產(chǎn)品,該產(chǎn)品的成本價為6元/件,該產(chǎn)品在正式投放市場前通過代銷點進行了為期一個月(30天)的試營銷,售價為8元/件,工作人員對銷售情況進行了跟蹤記錄,并將記錄情況繪成圖象,圖中的折線ODE表示日銷售量y(件)與銷售時間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系,已知線段DE表示的函數(shù)關(guān)系中,時間每增加1天,日銷售量減少5件． (1)第24天的日銷售量是_330_件,日銷售利潤是_660_元； (2)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范

26、圍； (3)日銷售利潤不低于640元的天數(shù)共有多少天？試銷售期間,日銷售最大利潤是多少元？ (導(dǎo)學(xué)號　58824236) 解:(2)設(shè)線段OD所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx, 將(17,340)代入y＝kx中,340＝17k,解得:k＝20, ∴線段OD所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝20x； 根據(jù)題意得:線段DE所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝340－5(x－22)＝－5x＋450. 聯(lián)立兩線段所表示的函數(shù)關(guān)系式得, 解得 ∴交點D的坐標為(18,360), ∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為 y＝ (3)當(dāng)0≤x≤18時,根據(jù)題意得:(8－6)×20x

27、≥640,解得:18≥x≥16； 當(dāng)18＜x≤30時,根據(jù)題意得:(8－6)×(－5x＋450)≥640, 解得:18＜x≤26.∴16≤x≤26. 26－16＋1＝11(天),∴日銷售利潤不低于640元的天數(shù)共有11天； ∵點D的坐標為(18,360),∴日最大銷售量為360件, 360×2＝720(元), ∴試銷售期間,日銷售最大利潤是720元． 6．(2018·隨州)某水果店在兩周內(nèi),將標價為10元/斤的某種水果,經(jīng)過兩次降價后的價格為8.1元/斤,并且兩次降價的百分率相同． (1)求該種水果每次降價的百分率； (2)從第一次降價的第1天算起,第x天(x為整數(shù))

28、的售價、銷量及儲存和損耗費用的相關(guān)信息如表所示．已知該種水果的進價為4.1元/斤,設(shè)銷售該水果第x(天)的利潤為y(元),求y與x(1≤x＜15)之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出第幾天時銷售利潤最大？ 時間x(天) 1≤x＜9 9≤x＜15 x≥15 售價(元/斤) 第1次降價 后的價格 第2次降價 后的價格 銷量(斤) 80－3x 120－x 儲存和損 耗費用(元) 40＋3x 3x2－64x＋400 (3)在(2)的條件下,若要使第15天的利潤比(2)中最大利潤最多少127.5元,則第15天在第14天的價格基礎(chǔ)上

29、最多可降多少元？ 解:(1)設(shè)該種水果每次降價的百分率是x,依題意有10(1－x)2＝8.1, 解得x＝10%或x＝190%(舍去), 答:該種水果每次降價的百分率是10%； (2)當(dāng)1≤x＜9時,第1次降價后的價格:10×(1－10%)＝9,∴y＝(9－4.1)(80－3x)－(40＋3x)＝－17.7x＋352, ∵－17.7＜0, ∴y隨x的增大而減小,∴當(dāng)x＝1時,y有最大值, y最大＝－17.7×1＋352＝334.3(元), 當(dāng)9≤x＜15時,第2次降價后的價格為8.1元, ∴y＝(8.1－4.1)(120－x)－(3x2－64x＋400)＝－3x2＋60x＋80

30、＝－3(x－10)2＋380, ∵－3＜0, ∴當(dāng)9≤x≤10時,y隨x的增大而增大, 當(dāng)10＜x＜15時,y隨x的增大而減小, ∴當(dāng)x＝10時,y有最大值,y最大＝380(元), 綜上所述,y與x(1≤x＜15)之間的函數(shù)關(guān)系式為: y＝ 第10天時銷售利潤最大； (3)設(shè)第15天在第14天的價格基礎(chǔ)上最多可降a元, 由題意得:380－127.5≤(4－a)(120－15)－(3×152－64×15＋400), 252．5≤105(4－a)－115,解得a≤0.5. 答:第15天在第14天的價格基礎(chǔ)上最多可降0.5元． 　題型二　幾何圖形探究題 　　　　　　　　　　

31、　　　　　　　　 類型一　與三角形、四邊形有關(guān)的探究題 1．(2018·成都)問題背景:如圖①,等腰△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝120°,作AD⊥BC于點D,則D為BC的中點,∠BAD＝∠BAC＝60°,于是＝＝. 遷移應(yīng)用:如圖②,△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC＝∠DAE＝120°,D,E,C三點在同一條直線上,連接BD. ①求證:△ADB≌△AEC； ②請直接寫出線段AD,BD,CD之間的等量關(guān)系式； 拓展延伸:如圖③,在菱形ABCD中,∠ABC＝120°,在∠ABC內(nèi)作射線BM,作點C關(guān)于BM的對稱點E,連接AE并延長交BM于點F,連接CE,CF. ①證明

32、△CEF是等邊三角形； ②若AE＝5,CE＝2,求BF的長． 圖① 　　圖② 圖③ 遷移應(yīng)用:①證明:∵∠BAC＝∠DAE＝120°, ∴∠DAB＝∠CAE, 在△DAB和△EAC中, ∴△DAB≌△EAC； ②解:CD＝AD＋BD； 拓展延伸:①證明:如解圖,作BH⊥AE于點H,連接BE. ∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC＝120°, ∴△ABD,△BDC是等邊三角形,∴BA＝BD＝BC, ∵E、C關(guān)于BM對稱,∴BC＝BE＝BD＝BA,FE＝FC,∴A、D、E、C四點共圓, ∴∠ADC＝∠AEC＝120°,∴∠FEC＝60°, ∴△EFC是等邊三角形,

33、②解:∵AE＝5,EC＝EF＝2,∴AH＝HE＝2.5,FH＝4.5, 在Rt△BHF中,∵∠BFH＝30°, ∴＝cos30°,∴BF＝＝3. 2．(2018·沈陽)四邊形ABCD是邊長為4的正方形,點E在邊AD所在直線上,連接CE,以CE為邊,作正方形CEFG(點D,點F在直線CE的同側(cè)),連接BF. (1)如圖①,當(dāng)點E與點A重合時,請直接寫出BF的長； (2)如圖②,當(dāng)點E在線段AD上時,AE＝1； ①求點F到AD的距離； ②求BF的長； (3)若BF＝3,請直接寫出此時AE的長． (導(dǎo)學(xué)號　58824237) 解:(1)作FH⊥AB于點H,如解圖①所示: 則

34、∠FHE＝90°, ∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形, ∴AD＝CD＝4,EF＝CE,∠ADC＝∠DAH＝∠BAD＝∠CEF＝90°,∴∠FEH＝∠CED, 在△EFH和△CED中, ∴△EFH≌△CED(AAS), ∴FH＝CD＝4,AH＝AD＝4,∴BH＝AB＋AH＝8, ∴BF＝＝＝4； (2)過F作FH⊥AD交AD的延長線于點H,作FM⊥AB交BA延長線于點M,如解圖②所示: 則FM＝AH,AM＝FH, ①∵AD＝4,AE＝1,∴DE＝3, 同(1)得:△EFH≌△CED(AAS),∴FH＝DE＝3,EH＝CD＝4, 即點F到AD的距離為3； ②∴BM＝

35、AB＋AM＝4＋3＝7,FM＝AE＋EH＝5, ∴BF＝＝＝； (3)AE的長為1或2＋. 圖① 　　　　圖② 3．(2018·長春改編)【再現(xiàn)】如圖①,在△ABC中,點D,E分別是AB,AC的中點,可以得到:DE∥BC,且DE＝BC.(不需要證明) 【探究】如圖②,在四邊形ABCD中,點E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點,判斷四邊形EFGH的形狀,并加以證明； 【應(yīng)用】(1)在【探究】的條件下,四邊形ABCD中,滿足什么條件時,四邊形EFGH是菱形？你添加的條件是:_AC＝BD_(只添加一個條件)； (2)如圖③,在四邊形ABCD中,點E,F,G,H分別是AB,

36、BC,CD,DA的中點,對角線AC,BD相交于點O.若AO＝OC,四邊形ABCD面積為5,求陰影部分圖形的面積． 解:【探究】平行四邊形． 【應(yīng)用】(2)如解圖,由【探究】得,四邊形EFGH是平行四邊形, ∵F,G是BC,CD的中點, ∴FG∥BD,FG＝BD,∴△CFG∽△CBD, ∴＝,∴S△BCD＝4S△CFG, 同理:S△ABD＝4S△AEH, ∵四邊形ABCD面積為5,∴S△BCD＋S△ABD＝5, ∴S△CFG＋S△AEH＝,同理:S△DHG＋S△BEF＝, ∴S四邊形EFGH＝S四邊形ABCD－(S△CFG＋S△AEH＋S△DHG＋S△BEF)＝5－＝,

37、 設(shè)AC與FG,EH相交于點M,點N,EF與BD相交于點P, ∵FG∥BD,FG＝BD,∴CM＝OM＝OC,同理:AN＝ON＝OA, ∵OA＝OC,∴OM＝ON, 易知,四邊形ENOP,FMOP是平行四邊形, ∴S陰影＝S四邊形EFGH＝. 類型二　與圖形的變換結(jié)合的探究題 1．(2018·營口)在四邊形ABCD中,點E為AB邊上的一點,點F為對角線BD上的一點,且EF⊥AB. (1)若四邊形ABCD為正方形． ①如圖①,請直接寫出AE與DF的數(shù)量關(guān)系_DF＝AE_； ②將△EBF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)到圖②所示的位置,連接AE,DF,猜想AE,DF的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

38、(2)如圖③,若四邊形ABCD為矩形,BC＝mAB,其他條件都不變,將△EBF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜90°)得到△E′BF′,連接AE′,DF′,請在圖③中畫出草圖,并直接寫出AE′與DF′的數(shù)量關(guān)系． 解:(1)②DF＝AE.理由如下: ∵△EBF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn),∴∠ABE＝∠DBF, ∵＝,＝,∴＝,∴△ABE∽△DBF,∴＝＝, 即DF＝AE； (2)如解圖,∵四邊形ABCD為矩形,∴AD＝BC＝mAB,∴BD＝＝AB, ∵EF⊥AB,∴EF∥AD, ∴△BEF∽△BAD, ∴＝＝, ∵△EBF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜90°)得到△E′BF′,

39、 ∴∠ABE′＝∠DBF′,BE′＝BE,BF′＝BF, ∴＝＝,∴△ABE′∽△DBF′, ∴＝＝,即DF′＝AE′. 2．(2018·濰坊)邊長為6的等邊△ABC中,點D、E分別在AC、BC邊上,DE∥AB,EC＝2. (1)如圖①,將△DEC沿射線EC方向平移,得到△D′E′C′,邊D′E′與AC的交點為M,邊C′D′與∠ACC′的角平分線交于點N,當(dāng)CC′多大時,四邊形MCND′為菱形？并說明理由； (2)如圖②,將△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)∠α(0°＜α＜360°),得到△D′E′C,連接AD′,BE′.邊D′E′的中點為P. ①在旋轉(zhuǎn)過程中,AD′和BE′有怎樣的數(shù)量關(guān)

40、系？并說明理由； ②連接AP,當(dāng)AP最大時,求AD′的值．(結(jié)果保留根號) (導(dǎo)學(xué)號　58824238) 圖① 　　圖② 解:(1)當(dāng)CC′＝時,四邊形MCND′是菱形． 理由:由平移的性質(zhì)得,CD∥C′D′,DE∥D′E′, ∵△ABC是等邊三角形,∴∠B＝∠ACB＝60°, ∴∠ACC′＝180°－∠ACB＝120°, ∵CN是∠ACC′的角平分線,∴∠NCC′＝∠ACC′＝60°＝∠B＝∠D′E′C′,∴D′E′∥CN, ∴四邊形MCND′是平行四邊形, ∵∠ME′C′＝∠MCE′＝60°,∠NCC′＝∠NC′C＝60°,∴△MCE′和△NCC′是等邊三角形,∴MC

41、＝CE′,NC＝CC′, ∵四邊形MCND′是菱形,∴CN＝CM,∴CE′＝CC′.又∵E′C′＝EC＝2,∴CC′＝E′C′＝； (2)①AD′＝BE′. 理由:當(dāng)α≠180°時,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,∠ACD′＝∠BCE′, 由(1)知,AC＝BC,CD′＝CE′,∴△ACD′≌△BCE′,∴AD′＝BE′, 當(dāng)α＝180°時,AD′＝AC＋CD′,BE′＝BC＋CE′,即:AD′＝BE′,綜上可知:AD′＝BE′. ②如解圖①,連接CP,在△ACP中,由三角形三邊關(guān)系得,AP＜AC＋CP, ∴當(dāng)點A,C,P三點共線時,AP最大,如解圖②, 在△D′CE′中,由P為D′E′的中點

42、,得AP⊥D′E′,PD′＝,∴CP＝3,∴AP＝6＋3＝9, 在Rt△APD′中,由勾股定理得,AD′＝＝2. 圖① 　　圖② 3．(2018·葫蘆島)如圖,∠MAN＝60°,AP平分∠MAN,點B是射線AP上一定點,點C在直線AN上運動,連接BC,將∠ABC(0°<∠ABC<120°)的兩邊射線BC和BA分別繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)120°,旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線AM交于點D和點E. (1)如圖①,當(dāng)點C在射線AN上時． ①請判斷線段BC與BD的數(shù)量關(guān)系,直接寫出結(jié)論； ②請?zhí)骄烤€段AC、AD和BE的數(shù)量關(guān)系,寫出結(jié)論并證明； (2)如圖②,當(dāng)點C在射線AN的反向延長線上時,

43、BC交射線AM于點F,若AB＝4,AC＝,請直接寫出AD和DF的長． 圖① 　　圖② 解:(1)①BC＝BD； ②AC＋AD＝BE,證明如下: 如解圖,過點 B作BH⊥AE于點H, ∵∠MAN＝60°,AP平分∠MAN, ∴∠1＝∠2＝∠MAN＝30°,∵將∠ABC繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)120°, ∴旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線AM交于點D和點E, ∴∠CBD＝∠ABE＝120°, ∴∠CBD－∠ABD＝∠ABE－∠ABD,即:∠3＝∠4, ∵∠ABE＝120°,∠1＝30° ∴∠5＝180°－∠ABE－∠1＝30°, ∵∠5＝∠1, ∴BA＝BE,∵∠5＝∠2＝30

44、°,∠3＝∠4, ∴△ABC≌△EBD,∴AC＝DE,∴AC＋AD＝DE＋AD＝AE, ∵BH⊥AE于點H,BA＝BE,∴AH＝EH＝AE, ∵∠5＝30°, ∴EH＝BE·cos30°＝BE, 即:AE＝BE,∴AE＝BE,∴AC＋AD＝BE； (2)AD＝5,DF＝. 4．(2018·河南)如圖①,在Rt△ABC中,∠A＝90°,AB＝AC,點D,E分別在邊AB,AC上,AD＝AE,連接DC,點M,P,N分別為DE,DC,BC的中點． (1)觀察猜想 圖①中,線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是_PM＝PN_,位置關(guān)系是_PM⊥PN_； (2)探究證明 把△ADE繞點A逆時

45、針方向旋轉(zhuǎn)到圖②的位置,連接MN,BD,CE,判斷△PMN的形狀,并說明理由； (3)拓展延伸 把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若AD＝4,AB＝10,請直接寫出△PMN面積的最大值． 解:(2)由旋轉(zhuǎn)知,∠BAD＝∠CAE, ∵AB＝AC,AD＝AE,∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴∠ABD＝∠ACE,BD＝CE, 同(1)的方法,利用三角形的中位線得,PN＝BD,PM＝CE,∴PM＝PN, ∴△PMN是等腰三角形, 同(1)的方法得,PM∥CE,∴∠DPM＝∠DCE, 同(1)的方法得,PN∥BD,∴∠PNC＝∠DBC, ∵∠DPN＝∠DCB＋∠PNC＝∠DC

46、B＋∠DBC, ∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCE＋∠DCB＋∠DBC＝∠BCE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ACE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABD＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABC, ∵∠BAC＝90°,∴∠ACB＋∠ABC＝90°,∴∠MPN＝90°, ∴△PMN是等腰直角三角形； (3)如解圖,同(2)的方法得,△PMN是等腰直角三角形, ∴MN最大時,△PMN的面積最大,在△AMN中,MN

47、在Rt△ABC中,AB＝AC＝10,AN＝5,∴MN最大＝2＋5＝7, ∴S△PMN最大＝PM2＝××MN2＝×(7)2＝ . 類型三 動點問題 1．(2018·撫順)如圖,OF是∠MON的平分線,點A在射線OM上,P,Q是直線ON上的兩動點,點Q在點P的右側(cè),且PQ＝OA,作線段OQ的垂直平分線,分別交直線OF,ON于點B,點C,連接AB,PB. (1)如圖①,當(dāng)P,Q兩點都在射線ON上時,請直接寫出線段AB與PB的數(shù)量關(guān)系； (2)如圖②,當(dāng)P,Q兩點都在射線ON的反向延長線上時,線段AB,PB是否還存在(1)中的數(shù)量關(guān)系？若存在,請寫出證明過程；若不存在,請說明理由； (

48、3)如圖③,∠MON＝60°,連接AP,設(shè)＝k,當(dāng)P和Q兩點都在射線ON上移動時,k是否存在最小值？若存在,請直接寫出k的最小值；若不存在,請說明理由． 解:(1)AB＝PB； (2)存在． 理由:如解圖,連接BQ,∵BC垂直平分OQ, ∴BQ＝OB, ∴∠BQC＝∠BOC, ∵OF平分∠MON,∴∠MOF＝∠NOF,∴∠NOF＝∠BOC, ∴∠BQC＝∠MOF, ∴180°－∠BQC＝180°－∠MOF, ∴∠AOB＝∠BQP, 又∵PQ＝AO,∴△BQP≌△BOA, ∴AB＝PB； (3)存在最小值,k最小值＝0.5. 2．(2018·宜

49、昌)正方形ABCD的邊長為1,點O是BC邊上的一個動點(與B,C不重合),以O(shè)為頂點在BC所在直線的上方作∠MON＝90°. (1)當(dāng)OM經(jīng)過點A時, ①請直接填空:ON_不可能_(可能,不可能)過D點；(圖①僅供分析) ②如圖②,在ON上截取OE＝OA,過E點作EF垂直于直線BC,垂足為點F,作EH⊥CD于點H,求證:四邊形EFCH為正方形； (2)當(dāng)OM不過點A時,設(shè)OM交邊AB于點G,且OG＝1.在ON上存在點P,過P點作PK垂直于直線BC,垂足為點K,使得S△PKO＝4S△OBG,連接GP,求四邊形PKBG的最大面積． (導(dǎo)學(xué)號　58824239) 解:(1)②∵EH⊥

50、CD,EF⊥BC, ∴∠EHC＝∠EFC＝90°,且∠HCF＝90°,∴四邊形EFCH為矩形, ∵∠MON＝90°,∴∠EOF＝90°－∠AOB, 在正方形ABCD中,∠BAO＝90°－∠AOB, ∴∠EOF＝∠BAO, 在△OFE和△ABO中, ∴△OFE≌△ABO(AAS),∴EF＝OB,OF＝AB, 又OF＝CF＋OC＝AB＝BC＝BO＋OC＝EF＋OC,∴CF＝EF, ∴四邊形EFCH為正方形； (2)如解圖,∵∠POK＝∠OGB,∠PKO＝∠OBG, ∴△PKO∽△OBG, ∵S△PKO＝4S△OBG, ∴＝()2＝4, ∴OP＝2, ∴S△POG＝O

51、G·OP＝×1×2＝1, 設(shè)OB＝a,BG＝b,則a2＋b2＝OG2＝1, ∴b＝, ∴S△OBG＝ab＝a＝＝. 當(dāng)a2＝時,△OBG面積有最大值,此時S△PKO＝4S△OBG＝1, ∴四邊形PKBG的最大面積為1＋1＋＝. 3．(2018·沈陽模擬)如圖,在矩形ABCD中,AB＝3,AD＝6,動點Q從點A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿AB向終點B運動,點Q運動秒后,點P從點D出發(fā)以與點Q相 同的速度沿DA向終點A運動,設(shè)點P運動的時間為t(秒),將△APQ沿直線PQ翻折,得到△EPQ. (1)用含t的代數(shù)式表示:AP＝_6－t_；AQ＝_t＋_； (2)連接BD,在運

52、動過程中,當(dāng)△PQE∽△BDC時,求t的值； (3)在運動過程中,∠PQE能否等于∠ABD的一半？如果能,求出此時的t的值；如果不能,請說明理由(參考數(shù)據(jù):≈1.4,≈1.7,≈2.2)． 解:(2)∵將△APQ沿直線PQ翻折,得到△EPQ, ∴△PQA≌△PQE, 當(dāng)△PQE∽△BDC時, ∴△PQA∽△BDC, ∴＝,即＝,解得t＝； (3)不能． 理由如下: 如解圖,延長AB至點M,使BM＝BD,連接DM, ∵BM＝BD,∴∠BDM＝∠BMD, ∵∠ABD＝∠BDM＋∠BMD, ∴∠BDM＝∠BMD＝∠ABD, 當(dāng)∠PQE＝∠ABD時,∵∠PQE＝∠PQA,

53、 ∴∠PQA＝∠BMD＝∠ABD, ∴PQ∥DM,∴＝, 在Rt△BCD中,BD＝＝3, ∴BM＝BD＝3, ∴＝,解得t≈3.5,∵0≤t≤. 所以在運動過程中,∠PQE不能等于∠ABD的一半． 　題型三　二次函數(shù)與幾何圖形綜合題 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 類型一　與圖形判定結(jié)合 1．(2018·盤錦)如圖,直線y＝－2x＋4交y軸于點A,交拋物線y＝x2＋bx＋c于點B(3,－2),拋物線經(jīng)過點C(－1,0),交y軸于點D,點P是拋物線上的動點,作PE⊥DB交DB所在直線于點E. (1)求拋物線的解析式； (2)當(dāng)△PDE為等腰直角三角形時,求出PE的長

54、及P點坐標； (3)在(2)的條件下,連接PB,將△PBE沿直線AB翻折,直接寫出翻折后點E的對稱點坐標． 　備用圖 　備用圖 解:(1)拋物線的解析式為y＝x2－x－2； (2)∵點D是拋物線與y軸的交點,∴點D的坐標為(0,－2), ∴BD∥x軸, ∵點P是拋物線上一點,則設(shè)點P的坐標為(p,p2－p－2), ∵PE⊥BD,∴點E的坐標為(p,－2), ∴DE＝|p|,PE＝|p2－p－2－(－2)|＝ |p2－p|, ∵△PDE是等腰直角三角形,∴PE＝DE, ∴|p2－p|＝|p|, 當(dāng)p2－p＝p時,解得p＝0或p＝5, 當(dāng)p2－p＝－p時,解得p＝0或p

55、＝1, ∴這樣的點P有兩個,坐標分別為(5,3),此時PE＝5,或(1,－3),此時PE＝1； (3)當(dāng)點P的坐標為(5,3)時,點E的坐標為(5,－2),此時BE＝2, 如解圖①,過E作EF⊥AB于F,延長EF到R,使得FR＝EF,則點R為點E關(guān)于AB的對稱點,即為所求點．過R作RG⊥DE于G. ∵點A是直線與y軸的交點,∴點A的坐標為(0,4),∴AD＝6, ∵BD＝3,∴AB＝＝3, ∵＝,∴BF＝, ∵tan∠EBF＝＝tan∠ABD＝＝2, ∴EF＝,∴ER＝, 易得∠REG＝∠BAD,∴EG＝2GR, ∴GR＝,GE＝,∴DG＝5－＝,此時點R的坐標為(,－)；

56、 當(dāng)點P的坐標為(1,－3)時,點E的坐標為(1,－2),過點E作EF⊥AB于F,延長EF到R使得EF＝FR,過R作RG⊥BD于G, 同上,易得BE＝2,∴GR＝,GE＝,∴DG＝,∴點R的坐標為(,－)． 綜上可得,翻折后點E的對稱點坐標為(,－)或(,－)． 圖① 　　　圖② 2．(2018·本溪 )如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A,B兩點,點B(3,0),經(jīng)過點A的直線AC與拋物線的另一交點為C(4,),與y軸交點為D,點P是直線AC下方的拋物線上的一個動點(不與A,C重合)． (1)求該拋物線的解析式； (2)過點P作PE⊥AC,垂足為E,

57、作PF∥y軸交直線AC于點F,設(shè)點P的橫坐標為t,線段EF的長度為m,求m與t的函數(shù)關(guān)系式； (3)點Q在拋物線的對稱軸上運動,當(dāng)△OPQ是以O(shè)P為直角邊的等腰直角三角形時,請直接寫出符合條件的點P的坐標． (導(dǎo)學(xué)號　58824240) 解:(1)該拋物線解析式為y＝x2－x－； (2)令y＝0得x2－x－＝0,解得x1＝－1,x2＝3,∴點A的坐標為(－1,0)．C(4,), ∴直線AC的解析式為y＝x＋. ∵點D是直線AC與y軸的交點, ∴點D的坐標為(0,)． 在Rt△AOD中,OA＝1,OD＝,由勾股定理得AD＝,∴cos∠ADO＝＝. ∵PF∥y軸,點P的橫坐標

58、為t,且點P在拋物線上,點F在直線AC上, ∴點F的坐標為(t,t＋),點P的坐標為(t,t2－t－), ∵點F在點P的上方,∴PF＝t＋－(t2－t－)＝－t2＋t＋2. ∵PF∥y軸,∴∠PFE＝∠ODA, ∴cos∠PFE＝cos∠ODA＝, ∴m＝PF＝－t2＋t＋； (3)滿足條件的點P的坐標為(1＋,－1)或(1－,－1)或(1＋,1)或(2－,1－)或(,1－)． 類型二　與線段問題結(jié)合 1．(2018·武漢)已知點A(－1,1)、B(4,6)在拋物線y＝ax2＋bx上． (1)求拋物線的解析式； (2)如圖①,點F的坐標為(0,m)(m＞2),直線AF交拋物

59、線于另一點G,過點G作x軸的垂線,垂足為H.設(shè)拋物線與x軸的正半軸交于點E,連接FH、AE,求證:FH∥AE； (3)如圖②,直線AB分別交x軸,y軸于C,D兩點．點P從點C出發(fā),沿射線CD方向勻速運動,速度為每秒 個單位長度；同時點Q從原點O出發(fā),沿x軸正方向勻速運動,速度為每秒1個單位長度．點M是直線PQ與拋物線的一個交點,當(dāng)運動到t秒時,QM＝2PM,直接寫出t的值． 圖① 　圖② (1)解:拋物線的解析式為y＝x2－x； (2)證明:設(shè)直線AF的解析式為y＝kx＋m, 將點A(－1,1)代入y＝kx＋m中,即－k＋m＝1,∴k＝m－1, ∴直線AF的解析式為y＝(m－1)

60、x＋m. 聯(lián)立直線AF和拋物線解析式得, 解得 ∴點G的坐標為(2m,2m2－m)． ∵GH⊥x軸,∴點H的坐標為(2m,0)． ∵拋物線的解析式為y＝x2－x＝x(x－1),∴點E的坐標為(1,0)． ∴直線AE的解析式為y＝－x＋. 設(shè)直線FH的解析式為y＝k2x＋b2,將F(0,m)、H(2m,0)代入y＝k2x＋b2中, 解得: ∴直線FH的解析式為y＝－x＋m.∴FH∥AE； (3)解:當(dāng)運動時間為秒或秒或秒或秒時,QM＝2PM. 2．(2015·錦州)如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y＝ax2＋bx＋2經(jīng)過點A(－1,0)和點B(4,0),且與y軸交于點C,點

61、D的坐標為(2,0),點P(m,n)是該拋物線上的一個動點,連接CA,CD,PD,PB. (1)求該拋物線的解析式； (2)當(dāng)△PDB的面積等于△CAD的面積時,求點P的坐標； (3)當(dāng)m＞0,n＞0時,過點P作直線PE⊥y軸于點E交直線BC于點F,過點F作FG⊥x軸于點G,連接EG,請直接寫出隨著點P的運動,線段EG的最小值． 解:(1)拋物線的解析式為:y＝－x2＋x＋2； (2)∵拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋2, ∴點C的坐標是(0,2), ∵點A(－1,0)、點D(2,0),∴AD＝2－(－1)＝3,∴S△CAD＝×3×2＝3,∴S△PDB＝3, ∵點B(4,0

62、)、點D(2,0),∴BD＝2, ∴S△PDB＝×2×|n|＝3,∴n＝3或n－3, ①當(dāng)n＝3時,－m2＋m＋2＝3,解得m＝1或m＝2,∴點P的坐標是(1,3)或(2,3)． ②當(dāng)n＝－3時,－m2＋m＋2＝－3,解得m＝5或m＝－2, ∴點P的坐標是(5,－3)或(－2,－3)． 綜上,可得點P的坐標為(1,3)或(2,3)或(5,－3)或(－2,－3)； (3)線段EG的最小值是. 3．(2018·哈爾濱)如圖,在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,拋物線y＝x2＋bx＋c交x軸于A,B兩點,交y軸于點C,直線y＝x－3經(jīng)過B,C兩點． (1)求拋物線的解析式； (2)

63、過點C作直線CD⊥y軸交拋物線于另一點D,點P是直線CD下方拋物線上的一個動點,且在拋物線對稱軸的右側(cè),過點P作PE⊥x軸于點E,PE交CD于點F,交BC于點M,連接AC,過點M作MN⊥AC于點N,設(shè)點P的橫坐標為t,線段MN的長為d,求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量t的取值范圍)； (3)在(2)的條件下,連接PC,過點B作BQ⊥PC于點Q(點Q在線段PC上),BQ交CD于點T,連接OQ交CD于點S,當(dāng)ST＝TD時,求線段MN的長． 解:(1)拋物線的解析式為y＝x2－2x－3； 圖① (2)如解圖①, y＝x2－2x－3, 當(dāng)y＝0時,x2－2x－3＝0,解得

64、x1＝－1,x2＝3, ∴A(－1,0), ∴OA＝1,OB＝OC＝3, ∴∠ABC＝45°,AC＝,AB＝4, ∵PE⊥x軸, ∴∠EMB＝∠EBM＝45°, ∵點P的橫坐標為t,∴EM＝EB＝3－t, 連接AM,∵S△ABC＝S△AMC＋S△AMB, ∴AB·OC＝AC·MN＋AB·EM, ∴×4×3＝×MN＋×4(3－t), ∴MN＝t； 圖② (3)如解圖②,∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4,∴對稱軸為x＝1, 由拋物線對稱性可得D(2,－3),∴CD＝2, 過點B作BK⊥CD交直線CD于點K,∴四邊形OCKB為正方形, ∴∠OBK＝90°,CK

65、＝OB＝BK＝3,∴DK＝1, ∵BQ⊥CP,∴∠CQB＝90°, 過點O作OH⊥PC交PC的延長線于點H,OR⊥BQ交BQ于點I,交BK于點R,OG⊥OS交KB于G,連接SR, ∴∠OHC＝∠OIQ＝∠OIB＝90°,∴四邊形OHQI為矩形, ∵∠OCQ＋∠OBQ＝180°,∴∠OBG＝∠OCS, ∵OB＝OC,∠BOG＝∠COS,∴△OBG≌△OCS, ∴OG＝OS,CS＝GB,∠GOB＝∠SOC,∴∠SOG＝90°,∴∠ROG＝45°,∵OR＝OR,∴△OSR≌△OGR,∴SR＝GR,∴SR＝CS＋BR,∵∠BOR＋∠OBI＝90°,∠IBO＋∠TBK＝90°,∴∠BOR＝∠

66、TBK, ∴tan∠BOR＝tan∠TBK,∴＝,∴BR＝TK, ∵∠CTQ＝∠BTK,∴∠QCT＝∠TBK, ∴tan∠QCT＝tan∠TBK, 設(shè)ST＝TD＝m, ∴SK＝2m＋1,CS＝2－2m,TK＝m＋1＝BR, SR＝3－m,RK＝2－m, 在Rt△SKR中, ∵SK2＋RK2＝SR2,∴(2m＋1)2＋(2－m)2＝(3－m)2,解得m1＝－2(舍去),m2＝； ∴ST＝TD＝,TK＝, ∴tan∠TBK＝＝÷3＝,∴tan∠PCD＝, ∵CF＝OE＝t,∴PF＝t,∴PE＝t＋3,∴P(t,－t－3),∴－t－3＝t2－2t－3, 解得t1＝0(舍去),t2＝. ∴MN＝d＝t＝×＝. 類型三　與面積問題結(jié)合 1．(2018·恩施州)如圖,已知拋物線y＝ax2＋c過點(－2,2),(4,5),過定點F(0,2)的直線l:y＝kx＋2與拋物線交于A,B兩點,點B在點A的右側(cè),過點B作x軸的垂線,垂足為C. (1)求拋物線的解析式； (2)當(dāng)點B在拋物線上運動時,判斷線段BF與BC的數(shù)量關(guān)系(＞、＜、＝),并證明你的判斷； (3)P為y軸