（課標(biāo)專用）天津市高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 思想方法訓(xùn)練1 函數(shù)與方程思想-人教版高三數(shù)學(xué)試題

思想方法訓(xùn)練1函數(shù)與方程思想思想方法訓(xùn)練第2頁(yè) 一、能力突破訓(xùn)練1.已知橢圓x24+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,過(guò)F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交,其一個(gè)交點(diǎn)為P,則|PF2|=()A.32B.3C.72D.4答案:C解析:如圖,令|F1P|=r1,|F2P|=r2,則r1+r2=2a=4,r22-r12=(2c)2=12,化簡(jiǎn)得r1+r2=4,r2-r1=3,解得r2=72.2.已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若f(x+2)為偶函數(shù),且f(1)=1,則f(8)+f(9)=()A.-2B.-1C.0D.1答案:D解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x).又因?yàn)閒(x+2)是偶函數(shù),則f(-x+2)=f(x+2),所以f(8)=f(6+2)=f(-6+2)=f(-4)=-f(4),而f(4)=f(2+2)=f(-2+2)=f(0)=0,所以f(8)=0;同理f(9)=f(7+2)=f(-7+2)=f(-5)=-f(5),而f(5)=f(3+2)=f(-3+2)=f(-1)=-f(1)=-1,所以f(9)=1,所以f(8)+f(9)=1.故選D.3.已知函數(shù)f(x)=x2+ex-12(x<0)與g(x)=x2+ln(x+a)的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn),則a的取值范圍是()A.-,1eB.(-,e)C.-1e,eD.-e,1e答案:B解析:由已知得,與函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象的函數(shù)解析式為h(x)=x2+e-x-12(x>0).令h(x)=g(x),得ln(x+a)=e-x-12.作函數(shù)M(x)=e-x-12(x>0)的圖象,顯然當(dāng)a0時(shí),函數(shù)y=ln(x+a)的圖象與M(x)的圖象一定有交點(diǎn).當(dāng)a>0時(shí),若函數(shù)y=ln(x+a)的圖象與M(x)的圖象有交點(diǎn),則lna<12,則0<a<e.綜上a<e.故選B.4.已知an是等差數(shù)列,a1=1,公差d0,Sn為其前n項(xiàng)和.若a1,a2,a5成等比數(shù)列,則S8的值為()A.16B.32C.64D.62答案:C解析:因?yàn)閍1,a2,a5成等比數(shù)列,則a22=a1·a5,即(1+d)2=1×(1+4d),解得d=2.所以an=1+(n-1)×2=2n-1,S8=(a1+a8)×82=4×(1+15)=64.5.(2019北京,理13)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+ae-x(a為常數(shù)).若f(x)為奇函數(shù),則a=;若f(x)是R上的增函數(shù),則a的取值范圍是. 答案:-1(-,0解析:若函數(shù)f(x)=ex+ae-x為奇函數(shù),則f(-x)=-f(x),e-x+aex=-(ex+ae-x),(a+1)(ex+e-x)=0對(duì)任意的x恒成立,則a=-1.若函數(shù)f(x)=ex+ae-x是R上的增函數(shù),則f'(x)=ex-ae-x0恒成立,即ae2x,故a0.6.已知直線y=a交拋物線y=x2于A,B兩點(diǎn).若該拋物線上存在點(diǎn)C,使得ACB為直角,則a的取值范圍為. 答案:1,+)解析:以AB為直徑的圓的方程為x2+(y-a)2=a.由y=x2,x2+(y-a)2=a,得y2+(1-2a)y+a2-a=0,即(y-a)y-(a-1)=0.則由題意得a>0,a-10,解得a1.7.(2019北京,理14)李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷:一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會(huì)得到支付款的80%.(1)當(dāng)x=10時(shí),顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒,需要支付元; (2)在促銷活動(dòng)中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折,則x的最大值為. 答案:(1)130(2)15解析:(1)當(dāng)x=10時(shí),顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各一盒,需要支付(60+80)-10=130元.(2)設(shè)顧客一次購(gòu)買水果的促銷前總價(jià)為y元,當(dāng)y<120時(shí),李明得到的金額為y·80%元,符合要求.當(dāng)y120元時(shí),有(y-x)·80%y·70%成立,即8(y-x)7y,xy8,即xy8min=15.所以x的最大值為15.8.已知函數(shù)f(x)=cos2x+sin x+a-1,不等式1f(x)174對(duì)一切xR恒成立,求a的取值范圍.解:f(x)=cos2x+sinx+a-1=1-sin2x+sinx+a-1=-sinx-122+a+14.因?yàn)?1sinx1,所以當(dāng)sinx=12時(shí),函數(shù)有最大值f(x)max=a+14,當(dāng)sinx=-1時(shí),函數(shù)有最小值f(x)min=a-2.因?yàn)?f(x)174對(duì)一切xR恒成立,所以f(x)max174,且f(x)min1,即a+14174,a-21,解得3a4,故a的取值范圍是3,4.9.在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且c=2,C=3.(1)若ABC的面積等于3,求a,b的值;(2)若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求ABC的面積.解:(1)由余弦定理及已知條件,得a2+b2-ab=4.因?yàn)锳BC的面積等于3,所以12absinC=3,得ab=4.聯(lián)立a2+b2-ab=4,ab=4,解得a=2,b=2.(2)由題意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA.當(dāng)cosA=0時(shí),A=2,B=6,a=433,b=233.當(dāng)cosA0時(shí),得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a.聯(lián)立a2+b2-ab=4,b=2a,解得a=233,b=433.故ABC的面積S=12absinC=233.10.某地區(qū)要在如圖所示的一塊不規(guī)則用地上規(guī)劃建成一個(gè)矩形商業(yè)樓區(qū),余下的作為休閑區(qū),已知ABBC,OABC,且|AB|=|BC|=2|OA|=4,曲線OC是以O(shè)為頂點(diǎn)且開口向上的拋物線的一段.如果矩形的兩邊分別落在AB,BC上,且一個(gè)頂點(diǎn)在曲線段OC上,應(yīng)當(dāng)如何規(guī)劃才能使矩形商業(yè)樓區(qū)的用地面積最大?并求出最大的用地面積.解:以點(diǎn)O為原點(diǎn),OA所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(-2,0),B(-2,4),C(2,4),設(shè)拋物線的方程為x2=2py(p>0),把C(2,4)代入拋物線方程得p=12,所以曲線段OC的方程為y=x2(x0,2).設(shè)P(x,x2)(x0,2)在OC上,過(guò)點(diǎn)P作PQAB于點(diǎn)Q,PNBC于點(diǎn)N,故|PQ|=2+x,|PN|=4-x2,則矩形商業(yè)樓區(qū)的面積S=(2+x)(4-x2)(x0,2).整理,得S(x)=-x3-2x2+4x+8.令S'(x)=-3x2-4x+4=0,得x=23或x=-2(舍去),當(dāng)x0,23時(shí),S'(x)>0,S(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x23,2時(shí),S'(x)<0,S(x)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=23時(shí),S取得最大值,此時(shí)|PQ|=2+x=83,|PN|=4-x2=329,Smax=83×329=25627.故該矩形商業(yè)樓區(qū)規(guī)劃成長(zhǎng)為329,寬為83時(shí),用地面積最大,且為25627.二、思維提升訓(xùn)練11.已知數(shù)列an是等差數(shù)列,a1=1,a2+a3+a10=144.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an;(2)設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng)bn=1anan+1,記Sn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和,若n3時(shí),有Snm恒成立,求m的最大值.解:(1)an是等差數(shù)列,a1=1,a2+a3+a10=144,S10=145.S10=10(a1+a10)2,a10=28,公差d=3.an=3n-2(nN*).(2)由(1)知bn=1anan+1=1(3n-2)(3n+1)=1313n-2-13n+1,Sn=b1+b2+bn=131-13n+1,Sn=n3n+1.Sn+1-Sn=n+13n+4n3n+1=1(3n+4)(3n+1)>0,數(shù)列Sn是遞增數(shù)列.當(dāng)n3時(shí),(Sn)min=S3=310.依題意,得m310,故m的最大值為310.12.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0),離心率為22.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N.(1)求橢圓C的方程;(2)當(dāng)AMN的面積為103時(shí),求k的值.解:(1)由題意得a=2,ca=22,a2=b2+c2,解得b=2.所以橢圓C的方程為x24+y22=1.(2)由y=k(x-1),x24+y22=1,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2-41+2k2.所以|MN|=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=2(1+k2)(4+6k2)1+2k2.因?yàn)辄c(diǎn)A(2,0)到直線y=k(x-1)的距離d=|k|1+k2,所以AMN的面積為S=12|MN|·d=|k|4+6k21+2k2.由|k|4+6k21+2k2=103,解得k=±1.所以k的值為1或-1.13.已知直線m:y=kx+1和雙曲線x2-y2=1的左支交于A,B兩點(diǎn),直線l過(guò)點(diǎn)P(-2,0)和線段AB的中點(diǎn)M,求直線l在y軸上的截距b的取值范圍.解:由y=kx+1,x2-y2=1消去y,得(k2-1)x2+2kx+2=0.直線m與雙曲線的左支有兩個(gè)交點(diǎn),方程有兩個(gè)不相等的小于等于-1的負(fù)實(shí)數(shù)根.=4k2+8(1-k2)>0,x1+x2=2k1-k2<0,x1·x2=-21-k2>0,解得1<k<2.設(shè)M(x0,y0),則x0=x1+x22=k1-k2,y0=kx0+1=11-k2.由P(-2,0),Mk1-k2,11-k2,Q(0,b)三點(diǎn)共線,得出b=2-2k2+k+2,設(shè)f(k)=-2k2+k+2=-2k-142+178,則f(k)在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)遞減,f(2)<f(k)<f(1),且f(k)0.-(2-2)<f(k)<0或0<f(k)<1.b<-2-2或b>2.故b的取值范圍是(-,-2-2)(2,+).