（課標通用）高考數學一輪復習 第四章 三角函數與解三角形大題沖關 理-人教版高三全冊數學試題

第四章 三角函數與解三角形高考中三角函數與解三角形問題的熱點題型從近幾年的高考試題看，新課標全國卷交替考查三角函數、解三角形該部分解答題是高考得分的基本組成部分，考查中難度屬于中低檔題，但考生得分不高，其主要原因是公式不熟導致運算錯誤，不能掉以輕心該部分的解答題考查的熱點題型有：一、考查三角函數的圖象變換以及單調性、最值等；二、考查解三角形問題；三、是考查三角函數、解三角形與平面向量的交匯性問題，在解題過程中抓住平面向量作為解決問題的工具，要注意三角恒等變換公式的多樣性和靈活性，注意題目中隱含的各種限制條件，選擇合理的解決方法，靈活地實現問題的轉化熱點一解三角形與三角恒等變換的綜合解三角形多與三角恒等變換相結合，主要涉及兩角和與差的正弦和余弦公式、二倍角公式以及正弦定理和余弦定理，考查題型既有選擇題、填空題，也有解答題 典題12016·浙江卷在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知bc2acos B.(1)證明：A2B；(2)若ABC的面積S，求角A的大小(1)證明由正弦定理，得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB)又A，B(0，)，故0 <AB<，所以，B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)解由S得absin C，故有sin Bsin Csin 2Bsin Bcos B，因為sin B0，所以sin Ccos B.又B，C(0，)，所以C±B.當BC時，A；當CB時，A.綜上，A或A.三角恒等變換和解三角形的結合，一般有兩種類型：一是先利用三角函數的平方關系、和角公式等求符合正、余弦定理中的邊與角，再利用正、余弦定理求值；二是先利用正、余弦定理確定三角形的邊與角，再代入到三角恒等變換中求值具體解題步驟如下：第一步：利用正(余)弦定理進行邊角轉化；第二步：利用三角恒等變換求邊與角；第三步：代入數據求值；第四步：查看關鍵點，易錯點2017·四川資陽高三上學期第一次診斷在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足，D是BC邊上的一點(1)求角B的大小；(2)若AC7，AD5，DC3，求AB的長解：(1)由，得ccos Bacos Bbcos A，即ccos Bacos Bbcos A，根據正弦定理，sin Ccos Bsin Acos Bsin Bcos Asin(AB)sin C，所以cos B，又0°<B<180°，所以B45°.(2)在ADC中，AC7，AD5，DC3，由余弦定理，得cosADC，所以ADC120°，ADB60°，在ABD中，AD5，B45°，ADB60°，由正弦定理，得，所以AB.熱點二解三角形與平面向量、三角函數性質的綜合 三角函數性質與解三角形的綜合問題多出現在解答題中，且第(1)問考查三角函數的性質，第(2)問考查解三角形問題 典題2已知向量m，n，函數f(x)m·n1.(1)求函數f(x)在0，上的最值，并求此時x的值；(2)將函數f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)，再將所得圖象向左平移個單位長度并向下平移個單位長度，得到函數g(x)的圖象若在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，g，a2，bc4，求ABC的面積解(1)f(x)sin cos cos21sin xcos xsin.x0，x，當x，即x0時，f(x)min0；當x，即x時，f(x)max.當x0時，f(x)min0，當x時，f(x)max.(2)將f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)，得到函數ysin的圖象，再將所得圖象向左平移個單位長度并向下平移個單位長度，得到函數g(x)sinsincos 2x的圖象gcos A，又0<A<，A.在ABC中，a2b2c22bccos A，22b2c22bc×，4(bc)22bcbc，即4423bc，bc4.SABCbcsin Abcsin bc×4.向量是一種解決問題的工具，是一個載體，通常是用向量的數量積運算或性質轉化成三角函數問題三角函數和解三角形的結合，一般可以利用三角變換化簡所給函數關系式，再結合正、余弦定理解三角形2017·廣東汕頭一模設a(2cos x，)，b(sin x，cos2xsin2x)(>0)，函數f(x)a·b，且函數f(x)圖象的一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為.(1)求函數f(x)的解析式；(2)在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足f(A)0，B，a2，求c的邊的長解：(1)f(x)a·b2sin xcos x(cos2xsin2x)sin 2xcos 2x22sin.又由題意知，T4×，所以1.(2)解法一：由(1)知，f(A)2sin0，所以sin0，又因為 0<A<，所以<2A<，所以2A，所以A，所以sin Csin(AB)sinsin cos cos sin ，所以由正弦定理，得c.解法二：由(1)知，f(A)2sin0，所以sin0.又因為0<A<，所以<2A<，所以2A，所以A，所以由正弦定理，得b.所以由余弦定理a2b2c22bccos A，得4c22×c×，整理，得3c22c40，解得，c或c(舍去) 熱點三解三角形中的最值問題解三角形中的最值問題也是高考考查的一個重點，主要以考查面積的最值、邊長(周長的取值范圍)、兩角三角函數和的取值范圍等典題32015·山東卷設f(x)sin xcos xcos2.(1)求f(x)的單調區(qū)間；(2)在銳角ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若f0，a1，求ABC面積的最大值解(1)由題意知，f(x)sin 2x.由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ；由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.所以f(x)的單調遞增區(qū)間是(kZ)；單調遞減區(qū)間是(kZ)(2)由fsin A0，得sin A，由題意，知A為銳角，所以cos A.由余弦定理a2b2c22bccos A，可得1bcb2c22bc，即bc2，當且僅當bc時等號成立因此bcsin A.所以ABC面積的最大值為.解三角形的最值問題常需結合基本不等式求解，關鍵是由余弦定理得到兩邊關系，再結合不等式求解最值問題，或者將所求轉化為某個角的三角函數，借助三角函數的值域求范圍2017·江西臨川一中模擬已知f(x)cos 2x2sinsin(x)，xR.(1)求f(x)的最小正周期及單調增區(qū)間；(2)已知銳角ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且f(A)，a3，求BC邊上的高的最大值解：(1)f(x)cos 2xsin 2x2sin，f(x)的最小正周期為，令2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，單調遞增區(qū)間為(kZ)(2)由f(A)，得sin，又A，2A(0，)，2A，A.由余弦定理得a2b2c22bccos A，得9b2c2bcbc，即bc9(當且僅當bc時等號成立)，設BC邊上的高為h，由三角形等面積法知ahbcsin A，得3hbc，h，即h的最大值為.