(課標(biāo)通用版)高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第2講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性檢測(cè) 文-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

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1、第2講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 [基礎(chǔ)題組練] 1.函數(shù)f(x)=1+x-sin x在(0,2π)上的單調(diào)情況是(  ) A.增函數(shù)         B.減函數(shù) C.先增后減 D.先減后增 解析:選A.在(0,2π)上有f′(x)=1-cos x>0恒成立,所以f(x)在(0,2π)上單調(diào)遞增. 2.函數(shù)f(x)=ex-ex,x∈R的單調(diào)遞增區(qū)間是(  ) A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(-∞,1) D.(1,+∞) 解析:選D.由題意知,f′(x)=ex-e,令f′(x)>0,解得x>1,故選D. 3.(2019·四川樂山一中期末)f(x)=x2-al

2、n x在(1,+∞)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(  ) A.a(chǎn)<1 B.a(chǎn)≤1 C.a(chǎn)<2 D.a(chǎn)≤2 解析:選D.由f(x)=x2-aln x,得f′(x)=2x-, 因?yàn)閒(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增, 所以2x-≥0在(1,+∞)上恒成立,即a≤2x2在(1,+∞)上恒成立, 因?yàn)閤∈(1,+∞)時(shí),2x2>2,所以a≤2故選D. 4.已知函數(shù)y=xf′(x)的圖象如圖所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)).則下面四個(gè)圖象中,y=f(x)的圖象大致是(  ) 解析:選C.由條件可知當(dāng)0

3、. 當(dāng)x>1時(shí),xf′(x)>0, 所以f′(x)>0,函數(shù)遞增,所以當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)取得極小值. 當(dāng)x<-1時(shí),xf′(x)<0,所以f′(x)>0,函數(shù)遞增. 當(dāng)-1

4、的大小關(guān)系為________(用“<”連接). 解析:由題意知,函數(shù)f(x)為偶函數(shù), 因此f(-3)=f(3). 又f′(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x, 當(dāng)x∈時(shí),f′(x)<0.所以f(x)在區(qū)間上是減函數(shù),所以f>f(2)>f(3)=f(-3). 答案:f(-3)

5、(x-a)(a>0), 當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f′(x)>0; 當(dāng)x∈(0,a)時(shí),f′(x)<0; 當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí),f′(x)>0. 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),(a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,a). 8.已知函數(shù)f(x)=x2-2aln x+(a-2)x,當(dāng)a<0時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性. 解:函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=x-+a-2=. ①當(dāng)-a=2,即a=-2時(shí),f′(x)=≥0,f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增. ②當(dāng)0<-a<2,即-2<a<0時(shí),因?yàn)?<x<-a或x>2時(shí),f′(x)>0;-a<x<2時(shí),f′(x)<0,

6、 所以f(x)在(0,-a),(2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在(-a,2)內(nèi)單調(diào)遞減. ③當(dāng)-a>2,即a<-2時(shí), 因?yàn)?<x<2或x>-a時(shí),f′(x)>0;2<x<-a時(shí),f′(x)<0, 所以f(x)在(0,2),(-a,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在(2,-a)內(nèi)單調(diào)遞減. 綜上所述,當(dāng)a=-2時(shí),f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)-2<a<0時(shí),f(x)在(0,-a),(2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在(-a,2)內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)a<-2時(shí),f(x)在(0,2),(-a,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在(2,-a)內(nèi)單調(diào)遞減. [綜合題組練] 1.若函數(shù)f(x)=x2+ln x-ax在(1,2)上不單調(diào),

7、則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(-∞,3)∪ B. C. D.(-∞,3]∪ 解析:選C.若f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,則f′(x)=2x+-a≥0恒成立,即a≤2x+恒成立,因?yàn)?x+>3,所以a≤3;若f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減,同理可得a≥.取補(bǔ)集得a的取值范圍是. 2.(創(chuàng)新型)若函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),且滿足f(x)<xf′(x),則下列關(guān)系成立的是(  ) A.2f(1)<f(2) B.2f(1)>f(2) C.2f(1)=f(2) D.f(1)=f(2) 解析:選A.設(shè)g(x)=,則g′(x)=.因?yàn)閒(x)<xf′(x),所以g′(x)

8、>0,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以<,即2f(1)<f(2).故選A. 3.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常數(shù)a>1,則f(x)的單調(diào)減區(qū)間為____________. 解析:f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a), 由a>1知,2a>2, 所以當(dāng)2<x<2a時(shí),f′(x)<0, 故f(x)在區(qū)間(2,2a)上單調(diào)遞減. 答案:(2,2a) 4.若函數(shù)f(x)=ax3+3x2-x恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析:由題意知f′(x)=3ax2+6x-1,由函數(shù)f(x)恰好有三

9、個(gè)單調(diào)區(qū)間,得f′(x)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn),所以3ax2+6x-1=0需滿足a≠0,且Δ=36+12a>0,解得a>-3,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-3,0)∪(0,+∞). 答案:(-3,0)∪(0,+∞) 5.已知函數(shù)g(x)=x3-x2+2x+5. (1)若函數(shù)g(x)在(-2,-1)內(nèi)為減函數(shù),求a的取值范圍; (2)若函數(shù)g(x)在(-2,-1)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍. 解:因?yàn)間(x)=x3-x2+2x+5, 所以g′(x)=x2-ax+2. (1)法一:因?yàn)間(x)在(-2,-1)內(nèi)為減函數(shù),所以g′(x)=x2-ax+2≤0在(-2,-1)內(nèi)恒成立.

10、所以 即 解得a≤-3. 即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,-3]. 法二:由題意知x2-ax+2≤0在(-2,-1)內(nèi)恒成立, 所以a≤x+在(-2,-1)內(nèi)恒成立, 記h(x)=x+, 則x∈(-2,-1)時(shí),-3

11、x+2y-1=0垂直. (1)求實(shí)數(shù)a的值; (2)求證:f(x)>x2+2. 解:(1)因?yàn)閒′(x)=(x+1)ex+2+, 所以曲線y=f(x)在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線斜率k=f′(1)=2e+2+a. 而直線x+2y-1=0的斜率為-, 由題意可得(2e+2+a)×(-)=-1, 解得a=-2e. (2)證明:由(1)知,f(x)=xex+2x-2eln x. 不等式f(x)>x2+2可轉(zhuǎn)化為xex+2x-2eln x-x2-2>0. 設(shè)g(x)=xex+2x-2eln x-x2-2, 則g′(x)=(x+1)ex+2--2x. 記h(x)=(x+1)ex

12、+2--2x(x>0),則h′(x)=(x+2)ex+-2, 因?yàn)閤>0,所以x+2>2,ex>1,故(x+2)ex>2, 又>0,所以h′(x)=(x+2)ex+-2>0, 所以函數(shù)h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增. 又h(1)=2e+2-2e-2=0, 所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h(x)<0,即g′(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減; 當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h(x)>0,即g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增; 所以g(x)≥g(1)=e+2-2eln 1-1-2=e-1, 顯然e-1>0, 所以g(x)>0,即xex+2x-2eln x>x2+2,也就是f(x)>x2+2.

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