《(課標(biāo)通用版)高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第2講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性檢測(cè) 文-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(課標(biāo)通用版)高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第2講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性檢測(cè) 文-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第2講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
[基礎(chǔ)題組練]
1.函數(shù)f(x)=1+x-sin x在(0,2π)上的單調(diào)情況是( )
A.增函數(shù) B.減函數(shù)
C.先增后減 D.先減后增
解析:選A.在(0,2π)上有f′(x)=1-cos x>0恒成立,所以f(x)在(0,2π)上單調(diào)遞增.
2.函數(shù)f(x)=ex-ex,x∈R的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
解析:選D.由題意知,f′(x)=ex-e,令f′(x)>0,解得x>1,故選D.
3.(2019·四川樂山一中期末)f(x)=x2-al
2、n x在(1,+∞)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A.a(chǎn)<1 B.a(chǎn)≤1
C.a(chǎn)<2 D.a(chǎn)≤2
解析:選D.由f(x)=x2-aln x,得f′(x)=2x-,
因?yàn)閒(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
所以2x-≥0在(1,+∞)上恒成立,即a≤2x2在(1,+∞)上恒成立,
因?yàn)閤∈(1,+∞)時(shí),2x2>2,所以a≤2故選D.
4.已知函數(shù)y=xf′(x)的圖象如圖所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)).則下面四個(gè)圖象中,y=f(x)的圖象大致是( )
解析:選C.由條件可知當(dāng)0
3、.
當(dāng)x>1時(shí),xf′(x)>0,
所以f′(x)>0,函數(shù)遞增,所以當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)取得極小值.
當(dāng)x<-1時(shí),xf′(x)<0,所以f′(x)>0,函數(shù)遞增.
當(dāng)-1
4、的大小關(guān)系為________(用“<”連接).
解析:由題意知,函數(shù)f(x)為偶函數(shù),
因此f(-3)=f(3).
又f′(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,
當(dāng)x∈時(shí),f′(x)<0.所以f(x)在區(qū)間上是減函數(shù),所以f>f(2)>f(3)=f(-3).
答案:f(-3)
5、(x-a)(a>0),
當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f′(x)>0;
當(dāng)x∈(0,a)時(shí),f′(x)<0;
當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí),f′(x)>0.
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),(a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,a).
8.已知函數(shù)f(x)=x2-2aln x+(a-2)x,當(dāng)a<0時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
解:函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=x-+a-2=.
①當(dāng)-a=2,即a=-2時(shí),f′(x)=≥0,f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
②當(dāng)0<-a<2,即-2<a<0時(shí),因?yàn)?<x<-a或x>2時(shí),f′(x)>0;-a<x<2時(shí),f′(x)<0,
6、
所以f(x)在(0,-a),(2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在(-a,2)內(nèi)單調(diào)遞減.
③當(dāng)-a>2,即a<-2時(shí),
因?yàn)?<x<2或x>-a時(shí),f′(x)>0;2<x<-a時(shí),f′(x)<0,
所以f(x)在(0,2),(-a,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在(2,-a)內(nèi)單調(diào)遞減.
綜上所述,當(dāng)a=-2時(shí),f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)-2<a<0時(shí),f(x)在(0,-a),(2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在(-a,2)內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)a<-2時(shí),f(x)在(0,2),(-a,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在(2,-a)內(nèi)單調(diào)遞減.
[綜合題組練]
1.若函數(shù)f(x)=x2+ln x-ax在(1,2)上不單調(diào),
7、則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-∞,3)∪ B.
C. D.(-∞,3]∪
解析:選C.若f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,則f′(x)=2x+-a≥0恒成立,即a≤2x+恒成立,因?yàn)?x+>3,所以a≤3;若f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減,同理可得a≥.取補(bǔ)集得a的取值范圍是.
2.(創(chuàng)新型)若函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),且滿足f(x)<xf′(x),則下列關(guān)系成立的是( )
A.2f(1)<f(2) B.2f(1)>f(2)
C.2f(1)=f(2) D.f(1)=f(2)
解析:選A.設(shè)g(x)=,則g′(x)=.因?yàn)閒(x)<xf′(x),所以g′(x)
8、>0,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以<,即2f(1)<f(2).故選A.
3.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常數(shù)a>1,則f(x)的單調(diào)減區(qū)間為____________.
解析:f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a),
由a>1知,2a>2,
所以當(dāng)2<x<2a時(shí),f′(x)<0,
故f(x)在區(qū)間(2,2a)上單調(diào)遞減.
答案:(2,2a)
4.若函數(shù)f(x)=ax3+3x2-x恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
解析:由題意知f′(x)=3ax2+6x-1,由函數(shù)f(x)恰好有三
9、個(gè)單調(diào)區(qū)間,得f′(x)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn),所以3ax2+6x-1=0需滿足a≠0,且Δ=36+12a>0,解得a>-3,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-3,0)∪(0,+∞).
答案:(-3,0)∪(0,+∞)
5.已知函數(shù)g(x)=x3-x2+2x+5.
(1)若函數(shù)g(x)在(-2,-1)內(nèi)為減函數(shù),求a的取值范圍;
(2)若函數(shù)g(x)在(-2,-1)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍.
解:因?yàn)間(x)=x3-x2+2x+5,
所以g′(x)=x2-ax+2.
(1)法一:因?yàn)間(x)在(-2,-1)內(nèi)為減函數(shù),所以g′(x)=x2-ax+2≤0在(-2,-1)內(nèi)恒成立.
10、所以
即
解得a≤-3.
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,-3].
法二:由題意知x2-ax+2≤0在(-2,-1)內(nèi)恒成立,
所以a≤x+在(-2,-1)內(nèi)恒成立,
記h(x)=x+,
則x∈(-2,-1)時(shí),-3
11、x+2y-1=0垂直.
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)求證:f(x)>x2+2.
解:(1)因?yàn)閒′(x)=(x+1)ex+2+,
所以曲線y=f(x)在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線斜率k=f′(1)=2e+2+a.
而直線x+2y-1=0的斜率為-,
由題意可得(2e+2+a)×(-)=-1,
解得a=-2e.
(2)證明:由(1)知,f(x)=xex+2x-2eln x.
不等式f(x)>x2+2可轉(zhuǎn)化為xex+2x-2eln x-x2-2>0.
設(shè)g(x)=xex+2x-2eln x-x2-2,
則g′(x)=(x+1)ex+2--2x.
記h(x)=(x+1)ex
12、+2--2x(x>0),則h′(x)=(x+2)ex+-2,
因?yàn)閤>0,所以x+2>2,ex>1,故(x+2)ex>2,
又>0,所以h′(x)=(x+2)ex+-2>0,
所以函數(shù)h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
又h(1)=2e+2-2e-2=0,
所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h(x)<0,即g′(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h(x)>0,即g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;
所以g(x)≥g(1)=e+2-2eln 1-1-2=e-1,
顯然e-1>0,
所以g(x)>0,即xex+2x-2eln x>x2+2,也就是f(x)>x2+2.