（課標通用版）高考數(shù)學大一輪復習 第九章 平面解析幾何 第5講 第2課時 直線與橢圓檢測 文-人教版高三全冊數(shù)學試題

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1、第5講 第2課時 直線與橢圓 [基礎題組練] 1．已知橢圓＋y2＝1與直線y＝x＋m交于A，B兩點，且|AB|＝，則實數(shù)m的值為(　　) A．±1　　　　 B．± C. D．± 解析：選A.由消去y并整理， 得3x2＋4mx＋2m2－2＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝. 由題意，得＝， 解得m＝±1. 2．過橢圓＋＝1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.由題意知橢圓的右焦點F的坐標為(1，0)，則直線AB的方程為y＝2x－2

2、.聯(lián)立解得交點A(0，－2)，B，所以S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝，故選B. 3．已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3，0)，過點F的直線交橢圓于A，B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：選D.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則兩式相減，得＋＝0.因為線段AB的中點坐標為(1，－1)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2.將其代入上式，得＝.因為直線AB的斜率為＝，所以＝，所以a2＝2b2.因為右焦點為F(3，0)，所以a2－b2＝c2＝9，解得a2＝18，b2＝9.

3、所以橢圓E的方程為＋＝1.故選D. 4．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)與直線y＝x＋3只有一個公共點，且橢圓的離心率為，則橢圓C的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：選B.將直線方程y＝x＋3代入C的方程并整理得(a2＋b2)x2＋6a2x＋9a2－a2b2＝0，由橢圓與直線只有一個公共點得，Δ＝(6a2)2－4(a2＋b2)(9a2－a2b2)＝0，化簡得a2＋b2＝9.又由橢圓的離心率為，所以＝＝，則＝，解得a2＝5，b2＝4，所以橢圓方程為＋＝1. 5．已知點M在橢圓G：＋＝1(a>b>0)上，且點M到兩焦點的距離之和為4. (1)求橢

4、圓G的方程； (2)若斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點，以AB為底作等腰三角形，頂點為P(－3，2)，求△PAB的面積． 解：(1)因為2a＝4，所以a＝2. 又點M在橢圓G上， 所以＋＝1，解得b2＝4. 所以橢圓G的方程為＋＝1. (2)設直線l的方程為y＝x＋m， 由 得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.① 設A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1

5、－3，x2＝0， 所以|AB|＝|x1－x2|＝3. 此時，點P(－3，2)到直線AB：x－y＋2＝0的距離d＝＝， 所以△PAB的面積S＝|AB|·d＝. 6．已知橢圓＋y2＝1， (1)過A(2，1)的直線l與橢圓相交，求l被截得的弦的中點軌跡方程； (2)求過點P且被P點平分的弦所在直線的方程． 解：(1)設弦的端點為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中點是M(x，y)． ①－②得＝－＝－， 所以－＝， 化簡得x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在橢圓＋y2＝1內(nèi)部的部分)． (2)由(1)可得弦所在直線的斜率為k＝－＝－，因此所求直線方程是y－＝－，化簡得2

6、x＋4y－3＝0. [綜合題組練] 1．已知F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)為橢圓＋＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為橢圓上一點，且·＝c2，則此橢圓離心率的取值范圍是________． 解析：設P(x，y)，則·＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，① 將y2＝b2－x2代入①式解得 x2＝＝， 又x2∈[0，a2]，所以2c2≤a2≤3c2， 所以e＝∈. 答案： 2．(綜合型)設直線l：2x＋y＋2＝0關于原點對稱的直線為l′，若l′與橢圓x2＋＝1的交點為A，B，點P為橢圓上的動點，則使△PAB的面積為的點P的個數(shù)為________．　 解

7、析：直線l′的方程為2x＋y－2＝0，所以交點分別為橢圓頂點(1，0)和(0，2)，則|AB|＝，由△PAB的面積為，得點P到直線AB的距離為，而平面上到直線2x＋y－2＝0的距離為的點都在直線2x＋y－1＝0和2x＋y－3＝0上，而直線2x＋y－1＝0與橢圓相交，2x＋y－3＝0與橢圓相離，所以滿足題意的點P有2個． 答案：2 3．(2019·洛陽市第一次統(tǒng)考)已知短軸的長為2的橢圓E：＋＝1(a>b>0)，直線n的橫、縱截距分別為a，－1，且原點O到直線n的距離為. (1)求橢圓E的方程； (2)直線l經(jīng)過橢圓E的右焦點F且與橢圓E交于A，B兩點，若橢圓E上存在一點C滿足＋－2＝0

8、，求直線l的方程． 解：(1)因為橢圓E的短軸的長為2，故b＝1. 依題意設直線n的方程為－y＝1，由＝，解得a＝，故橢圓E的方程為＋y2＝1. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 當直線l的斜率為0時，顯然不符合題意． 當直線l的斜率不為0或直線l的斜率不存在時，F(xiàn)(，0)，設直線l的方程為x＝ty＋， 由得(t2＋3)y2＋2ty－1＝0， 所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，① 因為＋－2＝0，所以x3＝x1＋x2，y3＝y(tǒng)1＋y2，又點C在橢圓E上， 所以＋y＝＋＝ ＋＋＝1， 又＋y＝1，＋y＝1，所以x1x2＋y1y2＝0，② 將x

9、1＝ty1＋，x2＝ty2＋及①代入②得t2＝1，即t＝1或t＝－1. 故直線l的方程為x＋y－＝0或x－y－＝0. 4．(2019·遼寧鞍山一中模擬)已知過點A(0，1)的橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，B為橢圓C上的任意一點，且|BF1|，|F1F2|，|BF2|成等差數(shù)列． (1)求橢圓C的標準方程； (2)直線l：y＝k(x＋2)交橢圓C于P，Q兩點，若點A始終在以PQ為直徑的圓外，求實數(shù)k的取值范圍． 解：(1)因為|BF1|，|F1F2|，|BF2|成等差數(shù)列，所以2|F1F2|＝|BF1|＋|BF2|＝ (|BF1|＋|BF2|)， 由橢圓

10、定義得2×2c＝×2a，所以c＝a.又橢圓C：＋＝1(a>b>0)過點A(0，1)，所以b＝1，所以c2＝a2－b2＝a2－1＝a2， 得a＝2，c＝. 所以橢圓C的標準方程為＋y2＝1. (2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯(lián)立方程得消去y得，(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0. 因為直線l：y＝k(x＋2)恒過點(－2，0)，且此點為橢圓C的左頂點，所以不妨設x1＝ －2，y1＝0. 由一元二次方程根與系數(shù)的關系可得，x1＋x2＝， 所以x2＝， 又y1＋y2＝k(x1＋2)＋k(x2＋2)＝k(x1＋x2)＋4k， 所以y2＝. 由點A在以PQ為直徑的圓外，得∠PAQ為銳角，即·>0， 因為＝(－2，－1)， ＝(x2，y2－1)， 所以·＝－2x2－y2＋1>0，即＋－1<0，整理得，20k2－4k－3>0， 解得k<－或k>. 所以實數(shù)k的取值范圍是∪.