（課標(biāo)通用版）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第5講 數(shù)列的綜合應(yīng)用檢測 文-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題

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1、第5講 數(shù)列的綜合應(yīng)用 [基礎(chǔ)題組練] 1．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a2＋2，a4＋4，a6＋6構(gòu)成等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的公差d等于(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：選B.因?yàn)閍2＋2，a4＋4，a6＋6構(gòu)成等比數(shù)列，所以(a4＋4)2＝(a2＋2)(a6＋6)，化簡得d2＋2d＋1＝0，所以d＝－1. 2．設(shè)y＝f(x)是一次函數(shù)，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比數(shù)列，則f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于(　　) A．n(2n＋3) B．n(n＋4) C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4) 解析：選

2、A.由題意可設(shè)f(x)＝kx＋1(k≠0)，則(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2，f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n＋1)＝n(2n＋3)． 3．(2019·河南鄭州一中入學(xué)測試)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S5＝5a4－10，則數(shù)列{an}的公差為________． 解析：依題意得S5＝＝5a3＝5a4－10，即有a4－a3＝2，所以等差數(shù)列{an}的公差為2. 答案：2 4．某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于______

3、__． 解析：每天植樹的棵數(shù)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn＝＝＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102，由于26＝64，27＝128，則n＋1≥7，即n≥6. 答案：6 5．(2019·武漢市部分學(xué)校調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝3. (1)若a3＋b3＝7，求{bn}的通項(xiàng)公式； (2)若T3＝13，求Sn. 解：(1)設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q， 則an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1. 由a2＋b2＝3，得d＋q＝4，① 由a3＋b3

4、＝7，得2d＋q2＝8，② 聯(lián)立①②，解得q＝2或q＝0(舍去)，因此{(lán)bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1. (2)因?yàn)門3＝b1(1＋q＋q2)， 所以1＋q＋q2＝13， 解得q＝3或q＝－4， 由a2＋b2＝3得d＝4－q， 所以d＝1或d＝8. 由Sn＝na1＋n(n－1)d，得Sn＝n2－n或Sn＝4n2－5n. 6．(2019·遼寧五校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝，bn＋1＝(n－λ)，n∈N*，b1＝－λ. (1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列； (2)若數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍． 解：(1)證明：因?yàn)閿?shù)列{an}滿足an＋1＝，

5、所以＝＋1， 即＋1＝2， 又a1＝1，所以＋1＝2， 所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列． (2)由(1)可得＋1＝2n， 所以bn＝(n－1－λ)＝(n－1－λ)·2n－1(n≥2)， 因?yàn)閎1＝－λ符合上式，所以bn＝(n－1－λ)·2n－1(n∈N*)． 因?yàn)閿?shù)列{bn}是遞增數(shù)列，所以bn＋1>bn， 即(n－λ)·2n>(n－1－λ)·2n－1， 即λ0，則其前n項(xiàng)和取最小值時(shí)n的值為(　

6、　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：選C.由d>0可得等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，則a8＝－<0，a9＝>0，所以前8項(xiàng)和為前n項(xiàng)和的最小值，故選C. 2．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)an＝n，其前n項(xiàng)和為Sn，則S40為(　　) A．10 B．15 C．20 D．25 解析：選C.由題意得，an＝n＝ncos， 則a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4，a5＝0，a6＝－6，a7＝0，…， 于是a2n－1＝0，a2n＝(－1)n·2n， 則S40＝(a1＋a3＋…＋a3

7、9)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a40)＝－2＋4－…＋40＝20. 3．(應(yīng)用型)(2019·山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷測試)中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟．羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人應(yīng)償還a升，b升，c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是(　　) A．a(chǎn)，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列，且a

8、＝ B．a(chǎn)，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列，且c＝ C．a(chǎn)，b，c依次成公比為的等比數(shù)列，且a＝ D．a(chǎn)，b，c依次成公比為的等比數(shù)列，且c＝ 解析：選D.由題意可知b＝a，c＝b，所以＝，＝.所以a，b，c成等比數(shù)列且公比為.因?yàn)?斗＝10升，所以5斗＝50升，所以a＋b＋c＝50，又易知a＝4c，b＝2c，所以4c＋2c＋c＝50，所以7c＝50，所以c＝，故選D. 4．已知一列非零向量an滿足a1＝(x1，y1)，an＝(xn，yn)＝(xn－1－yn－1，xn－1＋yn－1)(n≥2，n∈N*)，則下列命題正確的是(　　) A．{|an|}是等比數(shù)列，且公比為 B．{|a

9、n|}是等比數(shù)列，且公比為 C．{|an|}是等差數(shù)列，且公差為 D．{|an|}是等差數(shù)列，且公差為 解析：選A.因?yàn)閨an|＝·＝·＝|an－1|(n≥2，n∈N*)，|a1|＝≠0，＝為常數(shù)，所以{|an|}是等比數(shù)列，且公比為，選A. 5．若數(shù)列{an}滿足－＝0，則稱{an}為“夢想數(shù)列”．已知正項(xiàng)數(shù)列{}為“夢想數(shù)列”，且b1＋b2＋b3＝1，則b6＋b7＋b8＝________. 解析：由－＝0可得an＋1＝an，故{an}是公比為的等比數(shù)列，故{}是公比為的等比數(shù)列，則{bn}是公比為2的等比數(shù)列，b6＋b7＋b8＝(b1＋b2＋b3)25＝32. 答案：32 6

10、．(2019·浙江鎮(zhèn)海中學(xué)摸底)已知數(shù)列{an}中，a1＝a，a2＝2－a，an＋2－an＝2，若數(shù)列{an}單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． 解析：因?yàn)閍n＋2－an＝2，所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)為公差為2的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)也為公差為2的等差數(shù)列，所以若使數(shù)列{an}單調(diào)遞增，只需a1

11、bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解：(1)因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列， 所以＝1＋2(n－1)＝2n－1， 所以Sn＝2n2－n. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1； 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－n)－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1也符合上式， 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝4n－3. (2)當(dāng)n＝1時(shí)，＝，所以b1＝2a1＝2. 當(dāng)n≥2時(shí)，由＋＋…＋＝5－(4n＋5)，① 得＋＋…＋＝5－(4n＋1).② ①－②，得＝(4n－3). 因?yàn)閍n＝4n－3，所以bn＝＝2n(當(dāng)n＝1時(shí)也符合)． 所以＝＝2， 所以

12、數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列， 所以Tn＝＝2n＋1－2. 8．(2019·安徽淮南二中、宿城一中聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對任意正整數(shù)n，都有4an＝3Sn＋2成立，記bn＝log2an. (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)cn＝，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：≤Tn＜. 解：(1)在4an＝3Sn＋2中，令n＝1得a1＝2. 因?yàn)閷θ我庹麛?shù)n，都有4an＝3Sn＋2成立， 所以當(dāng)n≥2時(shí)，4an－1＝3Sn－1＋2， 兩式作差得，4an－4an－1＝3an， 所以an＝4an－1， 又a1＝2，所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列， 所以an＝2×4n－1＝22n－1， 所以bn＝log2an＝log222n－1＝2n－1. (2)證明：因?yàn)閎n＝2n－1， 所以cn＝＝＝＝×， 所以Tn＝＋＋＋…＋＋ ＝ ＝－， 所以對任意的n∈N*，Tn<. 又cn>0，所以Tn為關(guān)于n的增函數(shù)， 所以Tn≥T1＝c1＝. 綜上，≤Tn＜.