概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：第3章連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布2

3.3常用連續(xù)型隨機(jī)變量常用連續(xù)型隨機(jī)變量下面介紹幾種常用的連續(xù)型隨機(jī)變量。下面介紹幾種常用的連續(xù)型隨機(jī)變量。一、一、均勻分布均勻分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為通常稱(chēng)這個(gè)隨機(jī)變量通常稱(chēng)這個(gè)隨機(jī)變量X服從區(qū)間服從區(qū)間(a,b)上的上的(連續(xù)連續(xù)型型)均勻分布，記作均勻分布，記作。一維情形下的幾何概率可以用均勻分布來(lái)描述。一維情形下的幾何概率可以用均勻分布來(lái)描述。均勻分布的分布函數(shù)為：均勻分布的分布函數(shù)為：在隨機(jī)模擬技術(shù)中，服從均勻分布在隨機(jī)模擬技術(shù)中，服從均勻分布R(0,1)的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量是最基本的一類(lèi)隨機(jī)變量。是最基本的一類(lèi)隨機(jī)變量。二、指數(shù)分布二、指數(shù)分布一般地，如果隨機(jī)變量一般地，如果隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為那么稱(chēng)這個(gè)隨機(jī)變量那么稱(chēng)這個(gè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的指數(shù)分布，的指數(shù)分布，記作記作，其中，其中。指數(shù)分布的分布函數(shù)為指數(shù)分布的分布函數(shù)為指數(shù)分布在可靠性理論及排隊(duì)論中有廣泛的應(yīng)指數(shù)分布在可靠性理論及排隊(duì)論中有廣泛的應(yīng)用，因?yàn)樵S多優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的壽命常常服從指數(shù)分布；用，因?yàn)樵S多優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的壽命常常服從指數(shù)分布；某一復(fù)雜系統(tǒng)中接連兩次故障的時(shí)間間隔服從指某一復(fù)雜系統(tǒng)中接連兩次故障的時(shí)間間隔服從指數(shù)分布。數(shù)分布。指數(shù)分布有一個(gè)性質(zhì)，稱(chēng)此性質(zhì)為無(wú)后效性：設(shè)指數(shù)分布有一個(gè)性質(zhì)，稱(chēng)此性質(zhì)為無(wú)后效性：設(shè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量，則對(duì)于任意的，則對(duì)于任意的，有，有因此，因此，假如把假如把X解釋為壽命，則上式表明，如果已知壽解釋為壽命，則上式表明，如果已知壽命長(zhǎng)于命長(zhǎng)于年，則再活年，則再活年的概率與年齡年的概率與年齡無(wú)關(guān)，所以無(wú)關(guān)，所以有人風(fēng)趣地稱(chēng)指數(shù)分布是有人風(fēng)趣地稱(chēng)指數(shù)分布是“永遠(yuǎn)年青永遠(yuǎn)年青”的分布。的分布。例例1根據(jù)歷史資料分析，某地連續(xù)兩次強(qiáng)地根據(jù)歷史資料分析，某地連續(xù)兩次強(qiáng)地震之間相隔的年數(shù)震之間相隔的年數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，它服從參數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，它服從參數(shù)為為的指數(shù)分布，現(xiàn)該地剛發(fā)生了一次強(qiáng)地震。的指數(shù)分布，現(xiàn)該地剛發(fā)生了一次強(qiáng)地震。試求試求(1)今后今后3年內(nèi)再次發(fā)生強(qiáng)地震的概率；年內(nèi)再次發(fā)生強(qiáng)地震的概率；(2)今后今后3年至年至5年再次發(fā)生強(qiáng)地震的概率。年再次發(fā)生強(qiáng)地震的概率。解解(1)所求概率為所求概率為(2)所求概率為所求概率為例例2假設(shè)顧客在銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間假設(shè)顧客在銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間（單位：分鐘）；如果某顧客在窗口等（單位：分鐘）；如果某顧客在窗口等待服務(wù)的時(shí)間超過(guò)待服務(wù)的時(shí)間超過(guò)10分鐘他就離開(kāi)，分鐘他就離開(kāi)，（1）求這位顧客某天去銀行未等到服務(wù)而離）求這位顧客某天去銀行未等到服務(wù)而離開(kāi)的概率；開(kāi)的概率；（2）假如他一個(gè)月要去銀行五次，求他五次）假如他一個(gè)月要去銀行五次，求他五次中至多有一次未等到服務(wù)而離開(kāi)的概率。中至多有一次未等到服務(wù)而離開(kāi)的概率。解解（1）所求概率為）所求概率為(2)用用Y表示他離開(kāi)的次數(shù)，則表示他離開(kāi)的次數(shù)，則，所，所求概率為求概率為三、正態(tài)分布三、正態(tài)分布(高斯（高斯（Gauss）分布）分布)如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為那么稱(chēng)這個(gè)隨機(jī)變量那么稱(chēng)這個(gè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的正態(tài)分布的正態(tài)分布（或高斯分布），記作（或高斯分布），記作，其中，其中服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量統(tǒng)稱(chēng)為正態(tài)隨機(jī)變量。服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量統(tǒng)稱(chēng)為正態(tài)隨機(jī)變量。由高等數(shù)學(xué)的知識(shí)不難得到由高等數(shù)學(xué)的知識(shí)不難得到具有下列性質(zhì)：具有下列性質(zhì)：(1)關(guān)于關(guān)于對(duì)稱(chēng)；對(duì)稱(chēng)；(2)在在處有最大值處有最大值；(3)當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，。正態(tài)分布在理論上與實(shí)際應(yīng)用中都是一個(gè)極其正態(tài)分布在理論上與實(shí)際應(yīng)用中都是一個(gè)極其重要的分布，高斯在研究誤差理論時(shí)曾用它來(lái)刻重要的分布，高斯在研究誤差理論時(shí)曾用它來(lái)刻劃誤差的分布。經(jīng)驗(yàn)表明，當(dāng)一個(gè)變量受到大量劃誤差的分布。經(jīng)驗(yàn)表明，當(dāng)一個(gè)變量受到大量微小的、獨(dú)立的隨機(jī)因素影響時(shí)，這個(gè)變量一般微小的、獨(dú)立的隨機(jī)因素影響時(shí)，這個(gè)變量一般服從或近似服從正態(tài)分布。服從或近似服從正態(tài)分布。正態(tài)分布正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖像見(jiàn)下圖：的密度函數(shù)的圖像見(jiàn)下圖：上圖還給出了參數(shù)上圖還給出了參數(shù)的一個(gè)幾何解釋?zhuān)寒?dāng)?shù)囊粋€(gè)幾何解釋?zhuān)寒?dāng)較大時(shí)，函數(shù)曲線平坦；當(dāng)較大時(shí)，函數(shù)曲線平坦；當(dāng)較小時(shí)，曲線陡峭。較小時(shí)，曲線陡峭。四、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布四、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布參數(shù)參數(shù)且且的正態(tài)分布的正態(tài)分布N(0,1)稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布,它的密度函數(shù)為它的密度函數(shù)為它的分布函數(shù)記作它的分布函數(shù)記作，即，即由于由于N(0,1)的密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，因此，由的密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，因此，由推得：推得：當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，的值可以查附表四得到。的值可以查附表四得到。由概率計(jì)算過(guò)程可得如下公式：當(dāng)由概率計(jì)算過(guò)程可得如下公式：當(dāng)時(shí)時(shí),其中其中。當(dāng)當(dāng)時(shí)，由于時(shí)，由于X的分布函數(shù)的分布函數(shù)（令（令）因此因此通常稱(chēng)這個(gè)公式為正態(tài)概率計(jì)算公式。通常稱(chēng)這個(gè)公式為正態(tài)概率計(jì)算公式。例例2設(shè)設(shè)。查附表四可以得到。查附表四可以得到例例3設(shè)設(shè)，查附表四可以得到，查附表四可以得到例例4從南郊某地到北區(qū)火車(chē)站有兩條路可選，從南郊某地到北區(qū)火車(chē)站有兩條路可選，一條路線穿過(guò)市區(qū)，路程短，但交通擁堵，所需一條路線穿過(guò)市區(qū)，路程短，但交通擁堵，所需時(shí)間時(shí)間（單位：分鐘），另一條路線（單位：分鐘），另一條路線沿環(huán)線走，路程長(zhǎng)，但意外堵塞較少，所需時(shí)間沿環(huán)線走，路程長(zhǎng)，但意外堵塞較少，所需時(shí)間（單位：分鐘）。（單位：分鐘）。（1）假定有）假定有70分鐘可用，應(yīng)選哪一條路線？分鐘可用，應(yīng)選哪一條路線？（2）假定有）假定有65分鐘可用，應(yīng)選哪一條路線？分鐘可用，應(yīng)選哪一條路線？解解（1）由于由于所以，應(yīng)選第二條路線。所以，應(yīng)選第二條路線。（2）由于）由于所以，應(yīng)選第一條路線。所以，應(yīng)選第一條路線。例例4某人上班所需的時(shí)間某人上班所需的時(shí)間(單單位：分位：分)，已知上班時(shí)間為早晨，已知上班時(shí)間為早晨8時(shí)，他每天時(shí)，他每天7時(shí)出時(shí)出門(mén)。試求，門(mén)。試求，(1)某天遲到的概率；某天遲到的概率；(2)某周某周(以五天計(jì)以五天計(jì))最多遲到一次的概率。最多遲到一次的概率。解解(1)所求概率為所求概率為(2)設(shè)一周內(nèi)遲到次數(shù)為設(shè)一周內(nèi)遲到次數(shù)為Y，則，則Y為離散型隨機(jī)為離散型隨機(jī)變量，且變量，且，所求概率為，所求概率為當(dāng)當(dāng)時(shí)，附表四對(duì)每一個(gè)時(shí)，附表四對(duì)每一個(gè)，給出，給出了了的值。反過(guò)來(lái)，給定的值。反過(guò)來(lái)，給定也可以從也可以從附表四查得附表四查得，使得由，使得由，稱(chēng)，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量正態(tài)隨機(jī)變量X的的p分位數(shù)分位數(shù)(見(jiàn)下圖見(jiàn)下圖)，即，即.當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，可以直接查表得到。當(dāng)可以直接查表得到。當(dāng)時(shí)，由時(shí)，由的性質(zhì)知道的性質(zhì)知道。例如，當(dāng)例如，當(dāng)時(shí)，時(shí)，有時(shí)候，需要對(duì)給定的有時(shí)候，需要對(duì)給定的求出常數(shù)求出常數(shù)c，使得使得，由于，由于即即因此因此，例如，當(dāng)，例如，當(dāng)時(shí)，相應(yīng)的時(shí)，相應(yīng)的 3.4二維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量及其分布如果一個(gè)二維隨機(jī)變量的值域是平面上的一個(gè)如果一個(gè)二維隨機(jī)變量的值域是平面上的一個(gè)區(qū)域，那么稱(chēng)它為二維連續(xù)型隨機(jī)變（向）量，類(lèi)區(qū)域，那么稱(chēng)它為二維連續(xù)型隨機(jī)變（向）量，類(lèi)似地有似地有n維連續(xù)型隨機(jī)變（向）量。維連續(xù)型隨機(jī)變（向）量。本節(jié)主要研究二維連續(xù)型隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計(jì)本節(jié)主要研究二維連續(xù)型隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性（即分布）。規(guī)律性（即分布）。一、聯(lián)合密度函數(shù)一、聯(lián)合密度函數(shù)定義定義3.4給定二維連續(xù)型隨機(jī)變量給定二維連續(xù)型隨機(jī)變量，如果存在一個(gè)定義域?yàn)檎麄€(gè)平面的二元非負(fù)實(shí)值函如果存在一個(gè)定義域?yàn)檎麄€(gè)平面的二元非負(fù)實(shí)值函數(shù)數(shù)，使得，使得的分布函數(shù)的分布函數(shù)可以表可以表達(dá)成達(dá)成那么稱(chēng)那么稱(chēng)為連續(xù)性隨機(jī)變量為連續(xù)性隨機(jī)變量的的(概率概率)密密度函數(shù)度函數(shù)(或分布或分布)，或者稱(chēng)它為隨機(jī)變量，或者稱(chēng)它為隨機(jī)變量X與與Y的聯(lián)合的聯(lián)合(概率概率)密度函數(shù)密度函數(shù)(或聯(lián)合分布或聯(lián)合分布)。按照分布函數(shù)的定義與性質(zhì)，聯(lián)合密度函數(shù)必按照分布函數(shù)的定義與性質(zhì)，聯(lián)合密度函數(shù)必須滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：須滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：(1)；(2)。這兩個(gè)條件刻劃了聯(lián)合密度函數(shù)的特征。這兩個(gè)條件刻劃了聯(lián)合密度函數(shù)的特征。定理定理3.5設(shè)設(shè)是任意一個(gè)二維連續(xù)型隨機(jī)是任意一個(gè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量，變量，與與分別是它的分布函數(shù)與密度分別是它的分布函數(shù)與密度函數(shù)，那么函數(shù)，那么(1)為連續(xù)函數(shù)，且在為連續(xù)函數(shù)，且在的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn)處，處，有有 (2)對(duì)任意一條平面曲線對(duì)任意一條平面曲線L，；(3)對(duì)任意一個(gè)平面上的集合對(duì)任意一個(gè)平面上的集合D：例例1設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)的聯(lián)合密度函數(shù)為為求求（1）常數(shù)）常數(shù)A的值；的值；（2）概率）概率解解(1)由由可得可得(2)概率概率一、均勻分布：一、均勻分布：設(shè)設(shè)的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為其中，其中，G是平面上某個(gè)區(qū)域，通常稱(chēng)這個(gè)隨機(jī)變量是平面上某個(gè)區(qū)域，通常稱(chēng)這個(gè)隨機(jī)變量服從區(qū)域服從區(qū)域G上的上的(二維連續(xù)型二維連續(xù)型)均勻分布。均勻分布。二、二維正態(tài)分布：二、二維正態(tài)分布：如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為那么稱(chēng)隨機(jī)變量那么稱(chēng)隨機(jī)變量服從參數(shù)為服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布，記作的二維正態(tài)分布，記作,其中其中.例例1設(shè)設(shè)服從區(qū)域服從區(qū)域G上的均勻分布，其中上的均勻分布，其中G為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域試求關(guān)于試求關(guān)于t的一元二次方程的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根無(wú)實(shí)數(shù)根的概率。的概率。解解由于由于G的面積為的面積為1，因此，因此的密度函數(shù)的密度函數(shù)于是，所求概率為于是，所求概率為思考：思考：概率概率二、邊緣密度函數(shù)二、邊緣密度函數(shù)設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)為為，對(duì)于任意一個(gè)，對(duì)于任意一個(gè)，稱(chēng)稱(chēng)為為的邊緣分布函數(shù)。類(lèi)似地，稱(chēng)的邊緣分布函數(shù)。類(lèi)似地，稱(chēng)為為的邊緣分布函數(shù)。即的邊緣分布函數(shù)。即例例1設(shè)設(shè)的聯(lián)合分布函數(shù)為的聯(lián)合分布函數(shù)為求求與與邊緣分布函數(shù)。邊緣分布函數(shù)。解解由邊緣分布函數(shù)的計(jì)算公式可知由邊緣分布函數(shù)的計(jì)算公式可知當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，所以，所以，的邊緣分的邊緣分布函數(shù)為布函數(shù)為同理可得，同理可得，的邊緣分布函數(shù)為的邊緣分布函數(shù)為思考：三個(gè)分布函數(shù)之間有什么關(guān)系？思考：三個(gè)分布函數(shù)之間有什么關(guān)系？設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為稱(chēng)稱(chēng)為為的邊緣密度函數(shù)。類(lèi)似地，稱(chēng)的邊緣密度函數(shù)。類(lèi)似地，稱(chēng)為為的邊緣密度函數(shù)。的邊緣密度函數(shù)。事實(shí)上，由事實(shí)上，由的邊緣分布函數(shù)的定義的邊緣分布函數(shù)的定義,可得可得例例2設(shè)設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為求求X與與Y的邊緣密度函數(shù)。的邊緣密度函數(shù)。解解由公式由公式可知，當(dāng)可知，當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，所以所以的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為同理，當(dāng)同理，當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，所以所以，所以，的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為例例3設(shè)設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為其中其中，試求，試求X與與Y的邊的邊緣密度函數(shù)。緣密度函數(shù)。解解當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，其余的取值對(duì)應(yīng)其余的取值對(duì)應(yīng)。所以，所以，X的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為同理，當(dāng)同理，當(dāng)時(shí)，時(shí)，因此，因此，Y的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為例例4設(shè)設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布，它的聯(lián)合密度服從二維正態(tài)分布，它的聯(lián)合密度函數(shù)為函數(shù)為求求X與與Y的邊緣密度函數(shù)。的邊緣密度函數(shù)。解解:X的邊緣密度函數(shù)的邊緣密度函數(shù)作代換作代換，利用利用便得便得同理可得同理可得定理定理3.6設(shè)設(shè)，則，則X的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為Y的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為即即