數(shù)學分析習題

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1、曲 線 積 分 與 曲 面 積 分 習 題 課 （ 一 ） 曲 線 積 分 與 曲 面 積 分（ 二 ） 各 種 積 分 之 間 的 聯(lián) 系（ 三 ） 場 論 初 步 曲線積分 曲面積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分定義計算定義計算聯(lián)系聯(lián)系（ 一 ） 曲 線 積 分 與 曲 面 積 分 曲 線 積 分對 弧 長 的 曲 線 積 分 對 坐 標 的 曲 線 積 分定義 ni iiiL sfdsyxf 10 ),(lim),( L dyyxQdxyxP ),(),( ),(),(lim 10 iiini iii yQxP 聯(lián)系 dsQPQdyPdx LL )cos

2、cos( 計算 dtf dsyxfL 22, ),(三 代 一 定 )( dtQP QdyPdxL ),(),(二 代 一 定 (與 方 向 有 關 ) 與 路 徑 無 關 的 四 個 等 價 命 題條件 在 單 連 通 開 區(qū) 域 D上 ),(),( yxQyxP 具 有 連 續(xù) 的 一 階 偏 導 數(shù) ,則 以 下 四 個 命 題 成 立 . L QdyPdxD 與 路 徑 無 關內(nèi)在)1( C DCQdyPdx 閉 曲 線,0)2( QdyPdxduyxUD 使內(nèi) 存 在在 ),()3( xQyPD ,)4( 內(nèi)在等價命題 曲 面 積 分對 面 積 的 曲 面 積 分 對 坐 標 的 曲

3、 面 積 分定義 ni iiii sfdszyxf 10 ),(lim),( xyini iii SRdxdyzyxR )(),(lim),( 10 聯(lián)系 RdxdyQdzdxPdydz計 算 一 代 ,二 換 ,三 投 (與 側 無 關 ) 一 代 ,二 投 ,三 定 向 (與 側 有 關 ) dSRQP )coscoscos( dszyxf ),( xyD yx dxdyzzyxzyxf 221),(, dxdyzyxR ),( xyD dxdyyxzyxR ),(, 定 積 分曲 線 積 分 重 積 分曲 面 積 分 計 算 計 算計 算G reen公 式Stokes公 式G uass公

4、 式（ 二 ） 各 種 積 分 之 間 的 聯(lián) 系 點 函 數(shù))(,)(lim)( 10 MfMfdMf ni i .)()( ,1 ba dxxfdMf baR 時上 區(qū) 間當 .),()( ,2 D dyxfdMf DR 時上 區(qū) 域當定 積 分二 重 積 分 dVzyxfdMf R ),()( ,3 時上 區(qū) 域當 .),()( ,3 dszyxfdMf R 時上 空 間 曲 線當 .),()( ,3 S dSzyxfdMf SR 時上 曲 面當曲 面 積 分曲 線 積 分三 重 積 分 .),()( ,2 L dsyxfdMf LR 時上 平 面 曲 線當曲 線 積 分 )(,),()

5、,( )( )(21 面 元 素 ddxdyyxfdyxf ba xy xyD )(,),(),( )( )( ),( ),(21 21 體 元 素dVdzzyxfdydxdVzyxf ba xy xy yxz yxz baL dsdxyxyxfdsyxf )(,1)(,),( 2 曲線 元 素 baL dxdxxyxfdxyxf )(,)(,),( 投 影線 元 素 xyD yx dxdyzzyxzyxfdszyxf 221),(,),( xyD dxdyyxzyxfdxdyzyxR ),(,),(其 中 dsRQP dxdyRQdzdxPdydz )coscoscos( dsQPQdyPd

6、xL )coscos( )( 曲面 元 素ds )( 投 影面 元 素dxdy 1.定 積 分 與 不 定 積 分 的 聯(lián) 系 )()()()()( xfxFaFbFdxxfba 牛 頓 -萊 布 尼 茨 公 式2.二 重 積 分 與 曲 線 積 分 的 聯(lián) 系 )()( 的 正 向沿 LQdyPdxdxdyyPxQ LD 格 林 公 式 3.三 重 積 分 與 曲 面 積 分 的 聯(lián) 系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP )( 高 斯 公 式4.曲 面 積 分 與 曲 線 積 分 的 聯(lián) 系 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR )()()( RdzQdyPdx 斯

7、 托 克 斯 公 式 DL dxdykArotsdA )( DL dxdyAdivdsnA )( dSnArotdSA )( RQP zyx dxdydzdxdydz RdzQdyPdx dvAdivdsnA )( dvzRyQxP RdxdyQdzdxPdydz )( DL dxdyyPxQQdyPdx )( DL dxdyyQxPPdyQdx )(或推 廣 推 廣為 平 面 向 量 場)(MA 為 空 間 向 量 場)(MA 梯 度 kzujyuixugradu 通 量旋 度環(huán) 流 量 zRyQxPAdiv RdxdyQdzdxPdydz kyPxQjxRzPizQyRArot )()()

8、( RdzQdyPdx散 度（ 三 ） 場 論 初 步 例 1 計 算 L dyyxdxxyxI )()2( 422 , 其 中 L為 由 點 )0,0(O 到 點 )1,1(A 的 曲 線 xy 2sin .思 路 : L QdyPdxI xQyP xQyP 0 L QdyPdxI ),( ),( 00 yx yx QdyPdxI 閉 合非 閉 閉 合 D dxdyyPxQI )(非 閉 補 充 曲 線 或 用 公 式 解 xxyxyyP 2)2( 2 知 xyxxxQ 2)( 42 ,xQyP 即 10 410 2 )1( dyydxx故 原 式 .1523 xyo 11 A dyyxdx

9、xyxI )()2( 422由 例 2 計 算 L xx dymyedxmyyeI )cos()sin( , 其 中 L為 由 點 )0,(a 到 點 )0,0( 的 上 半 圓 周0,22 yaxyx .解 myemyyeyyP xx cos)sin( yemyexxQ xx cos)cos( xQyP 即 (如 下 圖 ) xyo )0,(aAMdxdyyPxQDAMOA )( D dxdym ,8 2am 0)(00 medx xaAO ,0 08 2 am .8 2am AMOA AOAOAOLI AMOA AOI 曲 面 面 積 的 計 算 法SDxy ),( yxfz x yoz

10、dSS xyD yx dxdyzz 221 dsyxfS BAL ),( ),( dxyyxfba 21),(zx o y),( yxfz sLA Ba b 曲 頂 柱 體 的 表 面 積 LD yxdsyxf dffS ),( )11( 22 x z yo ),( yxfz LD如 圖 曲 頂 柱 體 ， 例 3 求 柱 面 13 232 yx 在 球 面 1222 zyx 內(nèi) 的 側 面 積 .解 由 對 稱 性 LL dsyxzdsS 2218 ,1: 3232 yxL )20(,sin ,cos33 tty tx參 數(shù) 方 程 為 ,cossin3)()( 22 tdttdtyxds

11、tt tdttttS cossin3sincos18 20 66 tdtttt cossincossin324 20 22 20 22 cossin324 tdtt .233 在 第 一 卦 限 部 分 的 上 側為 平 面 為 連 續(xù) 函 數(shù)其 中計 算 1 ,),(,),( ),(2),( zyx zyxfdxdyzzyxf dzdxyzyxfdydzxzyxfI例 x yoz 111 解 利 用 兩 類 曲 面 積 分 之 間 的 關 系,1,1,1 n 的 法 向 量 為 .31cos,31cos,31cos dszzyxfyzyxf xzyxfI ),(31),(231 ),(31

12、dszyx )(31 xyD dxdy3131 .21 向 量 點 積 法 ,1,),(: yx ffyxfz 法 向 量 為設 RdxdyQdzdxPdydzI dxdyffRQP yx 1, dsnA 0, dxdydzdxdydzRQP .1, dxdyffRQPxoy yx 面 投 影在將 所 截 部 分 的 外 側 被 平 面錐 面 為其 中計 算 2,1 ,22 2 zzyxz dxdyzxdzdxydydzI例 解 , ,22 22 yx yf yx xfy x D 利 用 向 量 點 積 法 21 220 rdrrd .215 dxdyz2 xyD dxdyyx )( 22 d

13、xdyyx yyx xzxyI 1, 22222 41: 22 yxDxy 例 6 計 算 曲 面 積 分 yzdxdydzdxyxdydzyI 4)1(2)18( 2 , 其 中 是 由 曲 線 )31(0 1 yx yz 繞 y軸 旋 轉 一 周 所 成 的 曲 面 ,它 的 法 向 量 與 y軸 正 向 的 夾 角 恒 大 于 2 .解 221 0 1 xzy yx yz 軸 旋 轉 面 方 程 為繞 (如 下 圖 ) x yzo 1 32 * * *I且 有 dxdydzzRyQxP )(* dxdydzyyy )4418( yzdxdydzdxyxdydzyI 4)1(2)18( 2

14、 欲 求 dv xzD xz dydxdz 31 22 312020 2 dydd 20 3)2(2 d ,2 * * 2)31(2 dzdx ,32)32(2 I故 .34 .2,1 , .7 2222外側所圍成立體整個表面的和為錐面其中計算 zz yxzdxdyyxez解 ,0,0 22 yxeRQP z由高斯公式得到dxdyyxez 22 dvyxez )00( 22 rdrrdzed zz 0 2 1 2 0 1 .2 2e zD z dxdyyxedz 222 1 ):( 222 zyxDz O 2x z y32 1 ( cos cos cos ) ,3cos ,cos ,cos .

15、 V x y z ds 證 明 封 閉 曲 面 所 包 圍 的 體 積 為其 中 是 曲 面 的 外 法 向 量 的 方 向余 弦證明, zRyQxP dszyx )coscoscos( dvzRyQxP )( dv3 .)coscoscos(31 dszyxV 所以.3V由高斯公式，得到 例 8 . , .9 222的上側是上半球面其中計算yxRz xzdydz 解. 2221的下側平面上的圓域是設RyxxOy , 0,0, RQxzP 1xzdydz dvxzx )( zdxdydz drrdd R sincos 2 0 2 0 2 0 .4 4R xzdydz 所以 1xzdydz 1

16、xzdydz04 4 R ）（ 01 xzdydz.4 4R由高斯公式，得到 . )0( )()()( .10 22外側空間區(qū)域的整個邊界的所圍成的及平面為曲面其中計算 hhzyxz dxdyyxdzdxxzdydzzy解1 上的部分上側為在記hz上：在22 yxz .)(0 )(0 )(0 )(0 5432 為左側的部分，為右側的部分，為后側的部分，為前側的部分yyxx 4 y15 2x z O 3 dydzzy )( dydzzy 1 2 3 )( ;0)()(0 yzyz DD dydzzydydzzy同理可得;0)( dzdxxz而ydxdyx )( 321 )()( dxdyyxdx

17、dyyx .0)()( xyxy DD dxdyyxdxdyyx .0)()()( dxdyyxdzdxxzdydzzy所以（或由高斯公式得到所求積分值為0） 4 y15 2x z O 3 一 、 選 擇 題 : 1、 設 L為 230,0 yxx ,則 L ds4 的 值 為 ( ). (A) 04x ， (B) ,6 (C) 06x .2、 設 L為 直 線 0yy 上 從 點 ),0( 0yA 到 點 ),3( 0yB 的 有 向 直 線 段 ,則 L dy2 =( ). (A)6; (B) 06y ; (C)0. 3、 若 L是 上 半 橢 圓 ,sin ,costby tax 取 順

18、 時 針 方 向 ,則 L xdyydx 的 值 為 ( ). (A)0; (B) ab2 ; (C) ab . 測 驗 題 4、 設 ),(,),( yxQyxP 在 單 連 通 區(qū) 域 D內(nèi) 有 一 階 連 續(xù) 偏 導 數(shù) ,則 在 D內(nèi) 與 L QdyPdx 路 徑 無 關 的 條 件 DyxyPxQ ),(, 是 ( ). (A)充 分 條 件 ; (B)必 要 條 件 ; (C)充 要 條 件 . 5、 設 為 球 面 1222 zyx , 1 為 其 上 半 球 面 ,則 ( )式 正 確 . (A) 12 zdszds ; (B) 12 zdxdyzdxdy ; (C) 1 22

19、 2 dxdyzdxdyz . 6、 若 為 )(2 22 yxz 在 xoy面 上 方 部 分 的 曲 面 , 則 ds等 于 ( ). (A) r rdrrd 0 220 41 ;(B) 20 220 41 rdrrd ; (C) 20 220 41 rdrrd . 7、 若 為 球 面 2222 Rzyx 的 外 側 ,則 zdxdyyx 22 等 于 ( ). (A) xyD dxdyyxRyx 22222 ; (B) 2 xyD dxdyyxRyx 22222 ; (C) 0 . 8、 曲 面 積 分 dxdyz2 在 數(shù) 值 上 等 于 ( ). (A) 向 量 iz2 穿 過 曲

20、 面 的 流 量 ；(B) 面 密 度 為 2z 的 曲 面 的 質(zhì) 量 ； (C) 向 量 kz2 穿 過 曲 面 的 流 量 .9、 設 是 球 面 2222 Rzyx 的 外 側 , xyD 是 xoy面 上 的 圓 域 222 Ryx ,下 述 等 式 正 確 的 是 ( ). (A) xyD dxdyyxRyxzdsyx 2222222 ； (B) xyD dxdyyxdxdyyx )()( 2222 ； (C) xyD dxdyyxRzdxdy 2222 . 10、 若 是 空 間 區(qū) 域 的 外 表 面 ,下 述 計 算 中 運 用 奧 -高 公 式 正 確 的 是 ( ). (

21、A) 外 側 dxdyyzdydzx )2(2 = dxdydzx )22( ； (B) 外 側 zdxdyydzdxxdydzyzx 23 2)( = dxdydzxx )123( 22 ； (C) 內(nèi) 側 dxdyyzdydzx )2(2 = dxdydzx )12( . 二 、 計 算 下 列 各 題 : 1、 求 zds,其 中 為 曲 線 , ,sin ,costz tty ttx )0( 0tt ； 2、 求 L xx dyyedxyye )2cos()2sin( ,其 中 L 為 上 半 圓 周 222)( ayax , 0y ,沿 逆 時 針 方 向 . 三 、 計 算 下 列

22、 各 題 :1、 求 222 zyx ds 其 中 是 界 于 平 面 Hzz 及0 之 間 的 圓 柱 面 222 Ryx ； 2、 求 dxdyyxdzdxxzdydzzy )()()( 222 ， 其 中 為 錐 面 )0(22 hzyxz 的 外 側 ； 3、 3222 )( zyx zdxdyydzdxxdydz 其 中 為 曲 面9 )1(16 )2(51 22 yxz )0( z 的 上 側 . 四 、 證 明 : 22 yx ydyxdx 在 整 個 xoy平 面 除 去 y的 負 半 軸 及 原 點 的 開 區(qū) 域 G 內(nèi) 是 某 個 二 元 函 數(shù) 的 全 微 分 ,并 求

23、 出 一 個 這 樣 的 二 元 函 數(shù) . 五 、 求 均 勻 曲 面 222 yxaz 的 重 心 的 坐 標 . 六 、 求 向 量 kzjyixA 通 過 區(qū) 域 : ,10 x10,10 zy 的 邊 界 曲 面 流 向 外 側 的 通 量 . 七 、 流 體 在 空 間 流 動 ,流 體 的 密 度 處 處 相 同 ( 1 ), 已 知 流 速 函 數(shù) kzyjyxixzV 222 ,求 流 體 在 單位 時 間 內(nèi) 流 過 曲 面 zzyx 2: 222 的 流 量 (流 向 外 側 )和 沿 曲 線 :L zzyx 2222 , 1z 的 環(huán) 流量 (從 z軸 正 向 看 去 逆 時 針 方 向 ) . 測 驗 題 答 案 一 、 1、 B； 2、 C； 3、 C； 4、 C； 5、 B； 6、 C； 7、 B； 8、 C； 9、 C； 10、 B. 二 、 1、 3 22)2( 2 320 t ； 2、 2a . 三 、 1、 RHarctan2 ； 2、 44 h ； 3、 0. 四 、 )ln(21),( 22 yxyxu . 五 、 )2,0,0( a . 六 、 3. 七 、 0,1532 .