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(江蘇專用)高考數(shù)學(xué) 考前三個月 必考題型過關(guān)練 第34練 雙曲線的漸近線和離心率 理

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(江蘇專用)高考數(shù)學(xué) 考前三個月 必考題型過關(guān)練 第34練 雙曲線的漸近線和離心率 理

第34練雙曲線的漸近線和離心率題型一雙曲線的漸近線問題例1(2013·課標全國)已知雙曲線C:1(a>0,b>0)的離心率為,則C的漸近線方程為_破題切入點根據(jù)雙曲線的離心率求出a和b的比例關(guān)系,進而求出漸近線答案y±x解析由e知,a2k,ck,k(0,),由b2c2a2k2,知bk.所以.即漸近線方程為y±x.題型二雙曲線的離心率問題例2已知O為坐標原點,雙曲線1(a>0,b>0)的右焦點為F,以O(shè)F為直徑作圓與雙曲線的漸近線交于異于原點的兩點A,B,若()·0,則雙曲線的離心率e為_破題切入點數(shù)形結(jié)合,畫出合適圖形,找出a,b間的關(guān)系答案解析如圖,設(shè)OF的中點為T,由()·0可知ATOF,又A在以O(shè)F為直徑的圓上,A,又A在直線yx上,ab,e.題型三雙曲線的漸近線與離心率綜合問題例3已知A(1,2),B(1,2),動點P滿足.若雙曲線1(a>0,b>0)的漸近線與動點P的軌跡沒有公共點,則雙曲線離心率的取值范圍是_破題切入點先由直接法確定點P的軌跡(為一個圓),再由漸近線與該軌跡無公共點得到不等關(guān)系,進一步列出關(guān)于離心率e的不等式進行求解答案(1,2)解析設(shè)P(x,y),由題設(shè)條件,得動點P的軌跡為(x1)(x1)(y2)·(y2)0,即x2(y2)21,它是以(0,2)為圓心,1為半徑的圓又雙曲線1(a>0,b>0)的漸近線方程為y±x,即bx±ay0,由題意,可得>1,即>1,所以e<2,又e>1,故1<e<2.總結(jié)提高(1)求解雙曲線的離心率的關(guān)鍵是找出雙曲線中a,c的關(guān)系,a,c關(guān)系的建立方法直接反映了試題的難易程度,最后在求得e之后注意e>1的條件,常用到數(shù)形結(jié)合(2)在求雙曲線的漸近線方程時要掌握其簡易求法由y±x±00,所以可以把標準方程1(a>0,b>0)中的“1”用“0”替換即可得出漸近線方程雙曲線的離心率是描述雙曲線“張口”大小的一個數(shù)據(jù),由于,當e逐漸增大時,的值就逐漸增大,雙曲線的“張口”就逐漸增大1已知雙曲線1(a>0,b>0)以及雙曲線1的漸近線將第一象限三等分,則雙曲線1的離心率為_答案2或解析由題意,可知雙曲線1的漸近線的傾斜角為30°或60°,則或.則e 或2.2已知雙曲線C:1 (a>0,b>0)的左,右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F2作雙曲線C的一條漸近線的垂線,垂足為H,若F2H的中點M在雙曲線C上,則雙曲線C的離心率為_答案解析取雙曲線的漸近線yx,則過F2與漸近線垂直的直線方程為y(xc),可解得點H的坐標為,則F2H的中點M的坐標為,代入雙曲線方程1可得1,整理得c22a2,即可得e.3已知雙曲線1(a>0,b>0)的兩條漸近線均和圓C:x2y26x50相切,且雙曲線的右焦點為圓C的圓心,則該雙曲線的方程為_答案1解析雙曲線1的漸近線方程為y±x,圓C的標準方程為(x3)2y24,圓心為C(3,0)又漸近線方程與圓C相切,即直線bxay0與圓C相切,2,5b24a2.又1的右焦點F2(,0)為圓心C(3,0),a2b29.由得a25,b24.雙曲線的標準方程為1.4已知雙曲線1(a>0,b>0)的左,右焦點分別為F1(c,0),F(xiàn)2(c,0),若雙曲線上存在點P使,則該雙曲線的離心率的取值范圍是_答案(1,1)解析根據(jù)正弦定理得,由,可得,即e,所以PF1ePF2.因為e>1,所以PF1>PF2,點P在雙曲線的右支上又PF1PF2ePF2PF2PF2(e1)2a,解得PF2.因為PF2>ca(不等式兩邊不能取等號,否則題中的分式中的分母為0,無意義),所以>ca,即>e1,即(e1)2<2,解得e<1.又e>1,所以e(1,1)5(2014·湖北)已知F1,F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且F1PF2,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為_答案解析設(shè)PF1r1,PF2r2(r1>r2),F(xiàn)1F22c,橢圓長半軸長為a1,雙曲線實半軸長為a2,橢圓、雙曲線的離心率分別為e1,e2,由(2c)2rr2r1r2cos ,得4c2rrr1r2.由得所以.令m,當時,mmax,所以()max,即的最大值為.6(2014·山東改編)已知a>b>0,橢圓C1的方程為1,雙曲線C2的方程為1,C1與C2的離心率之積為,則C2的漸近線方程為_答案x±y0解析由題意知e1,e2,e1·e2·.又a2b2c,ca2b2,ca2b2,1()4,即1()4,解得±,.令0,解得bx±ay0,x±y0.7若橢圓1(a>b>0)與雙曲線1的離心率分別為e1,e2,則e1e2的取值范圍為_答案(0,1)解析可知e1,e1,所以ee2>2e1e10<e1e2<1.8過雙曲線1 (a>0,b>0)的左焦點F作圓x2y2的切線,切點為E,延長FE交雙曲線的右支于點P,若E為PF的中點,則雙曲線的離心率為_答案解析設(shè)雙曲線的右焦點為F,由于E為PF的中點,坐標原點O為FF的中點,所以EOPF,又EOPF,所以PFPF,且PF2×a,故PF3a,根據(jù)勾股定理得FFa.所以雙曲線的離心率為.9(2014·浙江)設(shè)直線x3ym0(m0)與雙曲線1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于點A,B.若點P(m,0)滿足PAPB,則該雙曲線的離心率是_答案解析雙曲線1的漸近線方程為y±x.由得A(,),由得B(,),所以AB的中點C坐標為(,)設(shè)直線l:x3ym0(m0),因為PAPB,所以PCl,所以kPC3,化簡得a24b2.在雙曲線中,c2a2b25b2,所以e.10(2013·湖南)設(shè)F1,F(xiàn)2是雙曲線C:1(a>0,b>0)的兩個焦點,P是C上一點,若PF1PF26a,且PF1F2的最小內(nèi)角為30°,則雙曲線C的離心率為_答案解析不妨設(shè)PF1>PF2,則PF1PF22a,又PF1PF26a,PF14a,PF22a.又在PF1F2中,PF1F230°,由正弦定理得,PF2F190°,F(xiàn)1F22a,雙曲線C的離心率e.11P(x0,y0)(x0±a)是雙曲線E:1(a>0,b>0)上一點,M,N分別是雙曲線E的左,右頂點,直線PM,PN的斜率之積為.(1)求雙曲線的離心率;(2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A,B兩點,O為坐標原點,C為雙曲線上一點,滿足,求的值解(1)點P(x0,y0)(x0±a)在雙曲線1上,有1.由題意有·,可得a25b2,c2a2b26b2,則e.(2)聯(lián)立得4x210cx35b20.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)則設(shè)(x3,y3),即又C為雙曲線上一點,即x5y5b2,有(x1x2)25(y1y2)25b2.化簡得2(x5y)(x5y)2(x1x25y1y2)5b2.又A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線上,所以x5y5b2,x5y5b2.由(1)可知c26b2,由式又有x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2.得240,解得0或4.12(2014·江西)如圖,已知雙曲線C:y21(a>0)的右焦點為F.點A,B分別在C的兩條漸近線上,AFx軸,ABOB,BFOA(O為坐標原點)(1)求雙曲線C的方程;(2)過C上一點P(x0,y0)(y00)的直線l:y0y1與直線AF相交于點M,與直線x相交于點N.證明:當點P在C上移動時,恒為定值,并求此定值解(1)設(shè)F(c,0),直線OB方程為yx,直線BF的方程為y(xc),解得B(,)又直線OA的方程為yx,則A(c,),kAB.又因為ABOB,所以·()1,解得a23,故雙曲線C的方程為y21.(2)由(1)知a,則直線l的方程為y0y1(y00),即y.因為c2,所以直線AF的方程為x2,所以直線l與AF的交點為M(2,);直線l與直線x的交點為N(,)則·.因為P(x0,y0)是C上一點,則y1,代入上式得··,即為定值

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