《(江蘇專用)高考數(shù)學(xué) 考前三個月 必考題型過關(guān)練 第34練 雙曲線的漸近線和離心率 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專用)高考數(shù)學(xué) 考前三個月 必考題型過關(guān)練 第34練 雙曲線的漸近線和離心率 理(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第34練 雙曲線的漸近線和離心率
題型一 雙曲線的漸近線問題
例1 (2013·課標(biāo)全國Ⅰ)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,則C的漸近線方程為________.
破題切入點(diǎn) 根據(jù)雙曲線的離心率求出a和b的比例關(guān)系,進(jìn)而求出漸近線.
答案 y=±x
解析 由e==知,a=2k,c=k,k∈(0,+∞),
由b2=c2-a2=k2,知b=k.所以=.
即漸近線方程為y=±x.
題型二 雙曲線的離心率問題
例2 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,以O(shè)F為直徑作圓與雙曲線的漸近線交于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)A,B,若(+)·=0,則雙曲線的離心
2、率e為________.
破題切入點(diǎn) 數(shù)形結(jié)合,畫出合適圖形,找出a,b間的關(guān)系.
答案
解析 如圖,設(shè)OF的中點(diǎn)為T,由(+)·=0可知AT⊥OF,
又A在以O(shè)F為直徑的圓上,∴A,
又A在直線y=x上,∴a=b,∴e=.
題型三 雙曲線的漸近線與離心率綜合問題
例3 已知A(1,2),B(-1,2),動點(diǎn)P滿足⊥.若雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線與動點(diǎn)P的軌跡沒有公共點(diǎn),則雙曲線離心率的取值范圍是________.
破題切入點(diǎn) 先由直接法確定點(diǎn)P的軌跡(為一個圓),再由漸近線與該軌跡無公共點(diǎn)得到不等關(guān)系,進(jìn)一步列出關(guān)于離心率e的不等式進(jìn)行求解.
答案 (1,
3、2)
解析 設(shè)P(x,y),由題設(shè)條件,
得動點(diǎn)P的軌跡為(x-1)(x+1)+(y-2)·(y-2)=0,
即x2+(y-2)2=1,它是以(0,2)為圓心,1為半徑的圓.
又雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x,即bx±ay=0,
由題意,可得>1,即>1,
所以e=<2,
又e>1,故11的條件,常用到數(shù)形結(jié)合.
(2)在求雙曲線的漸近線方程時要掌握其簡易求法.由y=±x?±=0?-=0,所以可以把標(biāo)準(zhǔn)方程
4、-=1(a>0,b>0)中的“1”用“0”替換即可得出漸近線方程.雙曲線的離心率是描述雙曲線“張口”大小的一個數(shù)據(jù),由于==,當(dāng)e逐漸增大時,的值就逐漸增大,雙曲線的“張口”就逐漸增大.
1.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)以及雙曲線-=1的漸近線將第一象限三等分,則雙曲線-=1的離心率為________.
答案 2或
解析 由題意,可知雙曲線-=1的漸近線的傾斜角為30°或60°,則=或.
則e===
= =或2.
2.已知雙曲線C:-=1 (a>0,b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過F2作雙曲線C的一條漸近線的垂線,垂足為H,若F2H的中點(diǎn)M在雙曲線C上,則雙曲線
5、C的離心率為________.
答案
解析 取雙曲線的漸近線y=x,則過F2與漸近線垂直的直線方程為y=-(x-c),可解得點(diǎn)H的坐標(biāo)為,則F2H的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為,代入雙曲線方程-=1可得-=1,整理得c2=2a2,即可得e==.
3.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線均和圓C:x2+y2-6x+5=0相切,且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心,則該雙曲線的方程為________.
答案?。?
解析 ∵雙曲線-=1的漸近線方程為y=±x,
圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+y2=4,
∴圓心為C(3,0).
又漸近線方程與圓C相切,
即直線bx-ay=0與圓C相切,
∴
6、=2,∴5b2=4a2.①
又∵-=1的右焦點(diǎn)F2(,0)為圓心C(3,0),
∴a2+b2=9.②
由①②得a2=5,b2=4.
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.
4.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),若雙曲線上存在點(diǎn)P使=,則該雙曲線的離心率的取值范圍是________.
答案 (1,+1)
解析 根據(jù)正弦定理得=,
由=,
可得=,即==e,
所以PF1=ePF2.
因為e>1,
所以PF1>PF2,點(diǎn)P在雙曲線的右支上.
又PF1-PF2=ePF2-PF2=PF2(e-1)=2a,
解得PF2=.
因為PF2
7、>c-a(不等式兩邊不能取等號,否則題中的分式中的分母為0,無意義),
所以>c-a,即>e-1,
即(e-1)2<2,解得e<+1.
又e>1,所以e∈(1,+1).
5.(2014·湖北)已知F1,F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),P是它們的一個公共點(diǎn),且∠F1PF2=,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為________.
答案
解析 設(shè)PF1=r1,PF2=r2(r1>r2),
F1F2=2c,橢圓長半軸長為a1,雙曲線實半軸長為a2,橢圓、雙曲線的離心率分別為e1,e2,
由(2c)2=r+r-2r1r2cos ,
得4c2=r+r-r1r2.
由得
所以+
8、==.
令m===
=,
當(dāng)=時,mmax=,
所以()max=,
即+的最大值為.
6.(2014·山東改編)已知a>b>0,橢圓C1的方程為+=1,雙曲線C2的方程為-=1,C1與C2的離心率之積為,則C2的漸近線方程為________.
答案 x±y=0
解析 由題意知e1=,e2=,
∴e1·e2=·==.
又∵a2=b2+c,c=a2+b2,
∴c=a2-b2,
∴==1-()4,
即1-()4=,
解得=±,∴=.
令-=0,解得bx±ay=0,
∴x±y=0.
7.若橢圓+=1(a>b>0)與雙曲線-=1的離心率分別為e1,e2,則e1e2的取值
9、范圍為________.
答案 (0,1)
解析 可知e==1-,
e==1+,
所以e+e=2>2e1e1?00,b>0)的左焦點(diǎn)F作圓x2+y2=的切線,切點(diǎn)為E,延長FE交雙曲線的右支于點(diǎn)P,若E為PF的中點(diǎn),則雙曲線的離心率為________.
答案
解析 設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F′,由于E為PF的中點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)O為FF′的中點(diǎn),所以EO∥PF′,又EO⊥PF,所以PF′⊥PF,且PF′=2×=a,故PF=3a,根據(jù)勾股定理得FF′=a.所以雙曲線的離心率為=.
9.(2014·浙江)設(shè)直線x-3y+m=0(m≠0)與雙曲線-=
10、1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A,B.若點(diǎn)P(m,0)滿足PA=PB,則該雙曲線的離心率是________.
答案
解析 雙曲線-=1的漸近線方程為y=±x.
由得A(,),
由得B(,),
所以AB的中點(diǎn)C坐標(biāo)為(,).
設(shè)直線l:x-3y+m=0(m≠0),
因為PA=PB,所以PC⊥l,
所以kPC=-3,化簡得a2=4b2.
在雙曲線中,c2=a2+b2=5b2,
所以e==.
10.(2013·湖南)設(shè)F1,F(xiàn)2是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的兩個焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),若PF1+PF2=6a,且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°,則雙曲線C的離心率
11、為________.
答案
解析 不妨設(shè)PF1>PF2,
則PF1-PF2=2a,
又∵PF1+PF2=6a,
∴PF1=4a,PF2=2a.
又在△PF1F2中,∠PF1F2=30°,
由正弦定理得,∠PF2F1=90°,∴F1F2=2a,
∴雙曲線C的離心率e==.
11.P(x0,y0)(x0≠±a)是雙曲線E:-=1(a>0,b>0)上一點(diǎn),M,N分別是雙曲線E的左,右頂點(diǎn),直線PM,PN的斜率之積為.
(1)求雙曲線的離心率;
(2)過雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為雙曲線上一點(diǎn),滿足=λ+,求λ的值.
解 (1)
12、點(diǎn)P(x0,y0)(x0≠±a)在雙曲線-=1上,
有-=1.
由題意有·=,
可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,
則e==.
(2)聯(lián)立得4x2-10cx+35b2=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
則①
設(shè)=(x3,y3),=λ+,
即
又C為雙曲線上一點(diǎn),即x-5y=5b2,
有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2.
化簡得λ2(x-5y)+(x-5y)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2.
又A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線上,
所以x-5y=5b2,x-5y=5b2.
由(1)可知c2=6b2,
由①式又有
13、x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2.
得λ2+4λ=0,解得λ=0或λ=-4.
12.(2014·江西)如圖,已知雙曲線C:-y2=1(a>0)的右焦點(diǎn)為F.點(diǎn)A,B分別在C的兩條漸近線上,AF⊥x軸,AB⊥OB,BF∥OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)過C上一點(diǎn)P(x0,y0)(y0≠0)的直線l:-y0y=1與直線AF相交于點(diǎn)M,與直線x=相交于點(diǎn)N.證明:當(dāng)點(diǎn)P在C上移動時,恒為定值,并求此定值.
解 (1)設(shè)F(c,0),
直線OB方程為y=-x,
直線BF的方程為y=(x-c),解得B(,-).
又直線OA的方程為y=x,
則A(c,),kAB==.
又因為AB⊥OB,所以·(-)=-1,
解得a2=3,
故雙曲線C的方程為-y2=1.
(2)由(1)知a=,則直線l的方程為
-y0y=1(y0≠0),即y=.
因為c==2,所以直線AF的方程為x=2,
所以直線l與AF的交點(diǎn)為M(2,);
直線l與直線x=的交點(diǎn)為N(,).
則==
=·.
因為P(x0,y0)是C上一點(diǎn),則-y=1,
代入上式得=·
=·=,
即==為定值.