高考數學二輪復習 第1部分 知識專題突破 專題限時集訓7 不等式-人教版高三數學試題

專題限時集訓(七)不等式(對應學生用書第95頁)(限時：120分鐘)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，請把答案填寫在題中橫線上)1(江蘇省泰州中學2017屆高三上學期第二次月考)設實數x，y滿足約束條件則z2x3y的最大值為_. 【導學號：56394049】26作出不等式對應的平面區(qū)域(陰影部分)，由z2x3y，得yx，平移直線yx，由圖象可知當直線yx經過點A時，直線yx的截距最大，此時z最大由解得即A(4,6)此時z的最大值為z2×43×626.2(無錫市普通高中2017屆高三上學期期中基礎性檢測)已知正實數x，y滿足2y2ln xln y，則xy_.由題設可得lnxy2y222(當且僅當x4y時取等號)，即ln xy22，也即所以xy.3(江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽高中2017屆高三下學期期中)已知動點P(x，y)滿足：則x2y26x的最小值為_由(x)(y)1，y>y|y|0，xy，函數f (x)x是減函數，xy，原不等式組化為該不等式組表示的平面區(qū)域如下圖陰影部分所示：x2y26x(x3)2y29.由圖象可得，P(3,0)到陰影區(qū)域中A的距離最小，所以x2y26x的最小值為.4(貴州遵義市2017屆高三第一次聯考)已知<<0，給出下列四個結論：a<b；ab<ab；|a|>|b|；ab<b2.其中正確結論的序號是_<<0b<a<0|a|<|b|，ab<0<ab，b2>ab.5設xR，x表示不超過x的最大整數，若存在實數t，使得t1，t22，tnn同時成立，則正整數n的最大值是_4由t1，得1t2；由t22，得t；由t33，得3t4；由t44，得t5；由t55，得5t6.因為(3)1535243，(6)1563216，所以36.同理可以得到15263542.以上每一個范圍在數軸上的示意圖如圖所示，由圖可知，當n1,2,3,4時，t1，t22，tnn能同時成立；當n5時，t33與t55不能同時成立，故n的最大值為4.6(2017·江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高考數學二模)已知a，b均為正數，且aba2b0，則b2的最小值為_7a，b均為正數，且aba2b0，1.則b2b21.b2224，當且僅當a4，b2時取等號(11)216，當且僅當a4，b2時取等號b28，b2b217.7某企業(yè)生產甲、乙兩種產品均需用A，B兩種原料已知生產1噸每種產品需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產1噸甲、乙產品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為_.甲乙原料限額(噸)3212(噸)12818萬元設該企業(yè)每天生產甲、乙兩種產品分別為x、y噸，則利潤z3x4y.由題意可列其表示如圖陰影部分區(qū)域：當直線3x4yz0過點A(2,3)時，z取得最大值，所以zmax3×24×318.8不等式|x1|x5|<2的解集是_x|x<4原不等式同解于如下三個不等式解集的并集；()()()解()得：x<1，解()得：1x<4，解()得：x，所以，原不等式的解集為x|x<49(江蘇省南京市、鹽城市2017屆高三第一次模擬)在ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a2b22c28，則ABC面積的最大值為_SABCabsin Cab，而2aba2b282c2ab4c2，所以SABC×，當且僅當ab，c2時取等號10(河南省豫北名校聯盟2017屆高三年級精英對抗賽)已知當1a1時，x2(a4)x42a>0恒成立，則實數x的取值范圍是_(，1)(3，)設f (a)(x2)a(x24x4)，則f (a)>0對a1,1成立等價于即解之得x<1或x>3，即實數x的取值范圍是(，1)(3，)11(江蘇省南京市2017屆高考三模)已知a，b，c為正實數，且a2b8c，則的取值范圍為_. 【導學號：56394050】27,30a2b8c，設x，y，則有作出平面區(qū)域如圖所示：令z3x8y，則yx，由圖象可知當直線yx經過點A時，截距最大，則z最大；當直線yx與曲線y相切時，截距最小，即z最小解方程組得A(2,3)，z的最大值為3×28×330，設直線yx與曲線y的切點為(x0，y0)，則，即，解得x03，切點坐標為，z的最小值為3×38×27.27z30.12(河北省“五個一名校聯盟” 2016屆高三教學質量監(jiān)測(一)已知p：xk，q：<1，如果p是q的充分不必要條件，則實數k的取值范圍是_(2，)由<1得，1<0，即(x2)(x1)>0，解得x<1或x>2，由p是q的充分不必要條件知，k>2.13(江蘇省揚州市2017屆高三上學期期末)在正項等比數列an中，若a4a32a22a16，則a5a6的最小值為_48設a2a1x，等比數列的公比為q，則a4a3xq2，a5a6xq4.再由a4a32a22a16，得xq262x，x>0，q>1.a5a6xq46·666(44)48，當且僅當q222時，等號成立，故a5a6的最小值為48.14(廣東省湛江市2017屆高三上學期期中調研考試)已知x，y滿足約束條件 若zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數a的值為_1或2在直角坐標系內作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖所示的三角形ABC，目標函數zyax可變形為yaxz，z的幾何意義為直線yaxz在y軸上的截距，因為zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，所以直線yaxz與區(qū)域三角形的某一邊平行，當直線yaxz與直線xy20平行時，a1符合題意，當直線yaxz與直線x2y20平行時，a不符合題意，直線yaxz與直線2xy20平行時，a2符合題意，綜上所述，實數a的值為1或2.二、解答題(本大題共6小題，共90分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15(本小題滿分14分)(貴州省遵義模擬)設函數f (x)|x1|xa|.(1)若a1，解不等式f (x)3；(2)如果xR, f (x)2恒成立，求a的取值范圍解(1)當a1時，f (x)|x1|x1|，由f (x)3得|x1|x1|3，2分x1時，不等式化為1x1x3即2x3，x.1x1時，不等式化為1xx13，此不等式不成立，解集為空集x1時，不等式化為x1x13，即2x3，x，此時不等式解集為.8分綜上得，f (x)3的解集為.9分(2)若a1，f (x)2|x1|，不滿足題設條件；若a<1，f (x)f (x)的最小值為1a.11分a>1，f (x)f (x)的最小值為a1，所以xR，f (x)2恒成立的充要條件是|a1|2，從而a的取值范圍為(，13，).14分16(本小題滿分14分)(泰州市調研測試)為豐富市民的文化生活，市政府計劃在一塊半徑為200 m，圓心角為120°的扇形地上建造市民廣場規(guī)劃設計如圖73：內接梯形ABCD區(qū)域為運動休閑區(qū)，其中A，B分別在半徑OP，OQ上，C，D在圓弧上，CDAB；OAB區(qū)域為文化展示區(qū)，AB長為50 m；其余空地為綠化區(qū)域，且CD長不得超過200 m.圖73(1)試確定A，B的位置，使OAB的周長最大；(2)當OAB的周長最大時，設DOC2，試將運動休閑區(qū)ABCD的面積S表示為的函數，并求出S的最大值. 【導學號：56394051】解(1)設OAm，OBn，m，n(0,200，在OAB中，AB2OA2OB22OA·OB·cos，即(50)2m2n2mn，2分所以，(50)2(mn)2mn(mn)2(mn)2，4分所以mn100，當且僅當mn50時，mn取得最大值，此時OAB周長取得最大值所以，當OA，OB都為50 m時，OAB的周長最大.6分(2)當AOB的周長最大時，梯形ABCD為等腰梯形過O作OFCD交CD于F，交AB于E，則E、F分別為AB，CD的中點，所以DOE，由CD200，得.8分在ODF中，DF200sin ，OF200cos .又在AOE中，OEOAcos25，故EF200cos 25.9分所以，S(50400sin )(200cos 25)625(8sin )(8cos 1)625(8cos 8sin 64sin cos )，.10分(一直沒有交代范圍扣2分)令f ()8cos 8sin 64sin cos ，f ()8sin 8cos 64cos 216sin64cos 2，又y16sin及ycos 2在上均為單調遞減函數，故f ()在上為單調遞減函數因f 160，故f ()0在上恒成立，于是，f ()在上為單調遞增函數.12分所以當時，f ()有最大值，此時S有最大值為625(815)所以當時，梯形ABCD面積有最大值，且最大值為625(815) m2.14分17(本小題滿分14分)(南通模擬) 已知函數f (x)x22ax1(aR)，f (x)是f (x)的導函數(1)若x2，1，不等式f (x)f (x)恒成立，求a的取值范圍；(2)解關于x的方程f (x)|f (x)|；(3)設函數g(x) 求g(x)在x2,4時的最小值解(1)因為f (x)f (x)，所以x22x12a(1x)，又因為2x1，所以a在x2，1時恒成立，因為，所以a.2分(2)因為f (x)|f (x)|，所以x22ax12|xa|，所以(xa)22|xa|1a20，則|xa|1a或|xa|1a.4分當a<1時，|xa|1a，所以x1或x12a；當1a1時，|xa|1a或|xa|1a，所以x±1或x12a或x(12a)；當a>1時，|xa|1a，所以x1或x(12a). 6分(3)因為f (x)f (x)(x1)x(12a)，g(x) 8分若a，則x2,4時，f (x)f (x)，所以g(x)f (x)2x2a，從而g(x)的最小值為g(2)2a4；若a<，則x2,4時，f (x)<f (x)，所以g(x)f (x)x22ax1，當2a<時，g(x)的最小值為g(2)4a5，當4<a<2時，g(x)的最小值為g(a)1a2，當a4時，g(x)的最小值為g(4)8a17.若a<，則x2,4時，g(x)12分當x2,12a)時，g(x)最小值為g(2)4a5；當x12a,4時，g(x)最小值為g(12a)22a.因為a<，(4a5)(22a)6a3<0，所以g(x)最小值為4a5，綜上所述，g(x)min14分 18(本小題滿分16分)(徐州市質量檢測)如圖74，在P地正西方向8 km的A處和正東方向1 km的B處各有一條正北方向的公路AC和BD，現計劃在AC和BD路邊各修建一個物流中心E和F. 為緩解交通壓力，決定修建兩條互相垂直的公路PE和PF.設EPA.(1)為減少周邊區(qū)域的影響，試確定E，F的位置，使PAE與PFB的面積之和最?。?2)為節(jié)省建設成本，試確定E，F的位置，使PEPF的值最小圖74解(1)在RtPAE中，由題意可知APE，AP8，則AE8tan .所以SPAEPA×AE32tan .2分同理在RtPBF中，PFB，PB1，則BF， 所以SPBFPB×BF.4分故PAE與PFB的面積之和為32tan 28, 5分當且僅當32tan ，即tan 時，取“”， 故當AE1 km, BF8 km時，PAE與PFB的面積之和最小.6分(2)在RtPAE中，由題意可知APE，則PE.同理在RtPBF中，PFB，則PF.令f ()PEPF，0<<，8分則f ()，10分令f ()0，得tan ，記tan 0，0<0<，當(0，0)時，f ()<0，f ()單調遞減；當時，f ()>0，f ()單調遞增所以tan 時，f ()取得最小值，14分此時AEAP·tan 8×4，BF2.所以當AE4 km，且BF2 km時，PEPF的值最小.16分19(本小題滿分16分)(鹽城市模擬考試)設函數f (x)ln x，g(x)(m>0)(1)當m1時，函數yf (x)與yg(x)在x1處的切線互相垂直，求n的值；(2)若函數yf (x)g(x)在定義域內不單調，求mn的取值范圍；(3)是否存在實數a，使得f ·f (eax)f 0對任意正實數x恒成立？若存在，求出滿足條件的實數a；若不存在，請說明理由解(1)當m1時，g(x)，yg(x)在x1處的切線斜率k，由f (x)，yf (x)在x1處的切線斜率k1，·11，n5.4分(2)易知函數yf (x)g(x)的定義域為(0，)，又yf (x)g(x)，由題意，得x2m(1n)的最小值為負，m(1n)>4(注：結合函數yx22m(1n)x1的圖象同樣可以得到)，m(1n)>4，m(1n)>4，mn>3.8分(3)法一：令(x)f ·f (eax)f ax·ln 2aax·ln xln xln 2a，其中x>0，a>0.則(x)a·ln 2aaln xa，設(x)a·ln 2aaln xa，(x)<0.(x)在(0，)單調遞減，(x)0在區(qū)間(0，)必存在實根，不妨設(x0)0，即(x0)a·ln 2aaln x0a0，可得ln x0ln 2a1，(*)(x)在區(qū)間(0，x0)上單調遞增，在(x0，)上單調遞減，所以(x)max(x0)，(x0)(ax01)·ln 2a(ax01)·ln x0，代入(*)式得(x0)ax02.12分根據題意(x0)ax020恒成立又根據基本不等式，ax02，當且僅當ax0時，等式成立，所以ax02，ax01.x0.代入(*)式得，lnln 2a，即2a，a.16分(以下解法供參考，請酌情給分)法二：(x)ax·ln 2aax·ln xln xln 2a(ax1)(ln 2aln x)，其中x>0，a>0，根據條件f ·f (eax)f 0對任意正數x恒成立，10分即(ax1)(ln 2aln x)0對任意正數x恒成立，或 解得x2a或2ax，即x2a時上述條件成立，此時a.16分法三：(x)ax·ln 2aax·ln xln xln 2a(ax1)(ln 2aln x)，其中x>0，a>0，設y1ax1，y2ln 2aln x，a>0，函數y1單調遞增，函數y2單調遞減，12分要使得(ax1)(ln 2aln x)0對任意正數x恒成立，只能是函數y1，y2與x軸的交點重合，即2a，所以a.16分20(本小題滿分16分)已知f (x).(1)求f (x)的單調區(qū)間；(2)令g(x)ax22ln x，若g(x)1時有兩個不同的根，求a的取值范圍；(3)存在x1，x2(1，)且x1x2，使|f (x1)f (x2)|k|ln x1ln x2|成立，求k的取值范圍. 【導學號：56394052】解(1)f (x).令f (x)0得x1，x(0,1)時，f (x)>0，f (x)單調遞增；x(1，)時，f (x)<0，f (x)單調遞減綜上，f (x)單調遞增區(qū)間為(0,1)，單調遞減區(qū)間為(1，).4分(2)g(x)2ax.當a0時，g(x)<0，單調遞減，故不可能有兩個根，舍去當a>0時，x時，g(x)<0，g(x)單調遞減，x時，g(x)>0，g(x)單調遞增所以g<1得0<a<1.綜上，0<a<1.8分(3)不妨設x1>x2>1，由(1)知x(1，)時，f (x)單調遞減|f (x1)f (x2)|k|ln x1ln x2|，等價于f (x2)f (x1)k(ln x1ln x2)，即f (x2)kln x2f (x1)kln x1，10分存在x1，x2(1，)且x1x2，使f (x2)kln x2f (x1)kln x1成立令h(x)f (x)kln x，h(x)在(1，)存在減區(qū)間，h(x)<0有解，即k<有解，即k<max.14分令t(x)，t(x)，x(0，)時，t(x)>0，t(x)單調遞增，x(，)時， t(x)<0，t(x)單調遞減，max，k<.16分