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1、一、極值二、 條件極值拉格朗日乘數(shù)法 一、極值若函數(shù) 在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)成立不等式),( yxf ),( 000 yxM ),(),( 00 yxfyxf 則稱 在點(diǎn) 取到極大值 ，點(diǎn) 稱為函數(shù) 的極大點(diǎn)；),( yxf 0M 0M),( 00 yxf),( yxf 類似地，若函數(shù) 在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)成立不等式),( yxf ),( 000 yxM ),(),( 00 yxfyxf 則稱 在點(diǎn) 取到極小值 ，點(diǎn) 稱為函數(shù) 的極小點(diǎn)；),( yxf 0M0M ),( 00 yxf),( yxf 極大值與極小值統(tǒng)稱為極值；極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。由定義可見，若 在點(diǎn) 取得極值，則當(dāng)固定 時(shí)，一
2、元函數(shù) 必定在 取相同的極值。),( yxf ),( 00 yx0yy ),( 0yxf 0 xx同理，一元函數(shù) 在 也取相同的極值。于是由一元函數(shù)極值的必要條件，可得),( 0 yxf 0yy 0),(,0),( 00 00 yyxx y yxfxyxf 上述條件不是充分的，例如函數(shù) 在原點(diǎn) （0，0）有xyz 0)0,0(,0)0,0( )0,0()0,0( xfyf yx但此函數(shù)的圖形是一馬鞍面，因而在原點(diǎn)沒有極值。0),(,0),( 0000 yxfyxf yx設(shè)二元函數(shù) 在點(diǎn) 的偏導(dǎo)數(shù)存在，若 在 取得極值，則),( yxf ),( 000 yxM0M ),( yxf于是得到二元函數(shù)
3、取得極值的必要條件如下：稱滿足上式的點(diǎn) 為 的駐點(diǎn)或穩(wěn)定點(diǎn)。),( yxf),( 00 yx 此外，函數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)仍然可能有極值，例如： 0, 0, xx xx這是交于 Y 軸的兩個(gè)平面。雖然， 的點(diǎn)都是函數(shù)的極小點(diǎn)，但是當(dāng) 時(shí)，偏導(dǎo)數(shù)不存在。0 x0 x綜上所述，函數(shù)的極值點(diǎn)只可能在偏導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)中產(chǎn)生。因此要求函數(shù)的極值，首先要求出所有使偏導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)（駐點(diǎn)）和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。然后考察該點(diǎn)周圍函數(shù)的變化情況，以進(jìn)一步判定是否有極值。 如何從駐點(diǎn)中找出極值點(diǎn)，關(guān)鍵在于判定表達(dá)式),(),( 00 yxfyxff 為此我們考察),(),(),(),( 00000
4、0 yxfyyxxfyxfyxff 當(dāng)點(diǎn) 在 附近變動時(shí)是否有恒定的符號。),( 00 yx),( yx的符號。 設(shè) 的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且 ，由泰勒公式有),( yxf 0 yx ff ),( ),(2 ),(21 ),( ),(2 ),(21 ),(),( ),(),( 200 00 200 200 00 200 0000 00002 22 2 yyyxxf yxyyxxf xyyxxf yyyxxf yxyyxxf xyyxxf yyxfxyxf yxfyyxxff y xyxy xyx yx 由于 的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，所以),( yxf )0,0(0,),( )0,0(0,),( )0,0
5、(0,),( 00 00 0022 yxCyyxxf yxByyxxf yxAyyxxfyxyx 記),(),(),( 000000 22 yxfAyxfByxfA yxyx ).,(),(lim ),(),(lim ),(),(lim 00000,0 00000,0 00000,0 22 22 yxfyyxxf yxfyyxxf yxfyyxxf yyyx xyxyyx xxyx 從而 于是)2(21)2(21 2222 yyxxyCyxBxAf 因?yàn)楫?dāng) 時(shí)， 都是無窮小量，所以當(dāng)0,0 yx , 02 22 yCyxBxAKf時(shí)，存在點(diǎn) 的一個(gè)鄰域，使得 的符號與 的符號相同，而當(dāng) ， 的
6、符號便取決于 的符號了。),( 000 yxM Kff0Kf f 22 2 yyxx 對于二次型22 2 yCyxBxAKf 它的判別式為2BACCB BAH 實(shí)二次型 為正定的必要條件是行列式AXX 0| A實(shí)二次型 為正定的充要條件是矩陣 A 的順序主子式都大于零。AXX實(shí)二次型 為負(fù)定的充要條件是矩陣 A 的奇數(shù)階順序主子式都小于零，偶數(shù)階順序主子式都大于零。AXX 那末有以下結(jié)論： 當(dāng) 時(shí)，函數(shù)有極值；0H若 ，則函數(shù)有極大值。0A若 ，則函數(shù)有極大值。0A 當(dāng) 時(shí)，函數(shù)沒有極值；0H 當(dāng) 時(shí)，函數(shù)有無極值還需進(jìn)一步考察判定。0H 例 1 求 的極值。61065),( 22 yxyxy
7、xf解分別對 和 求偏導(dǎo)數(shù)并令其等于零，得方程組x y 01010 062 yf xfyx解方程組得 的穩(wěn)定點(diǎn)f )1,3( 再求 的二階偏導(dǎo)數(shù)在 的值：f )1,3( 10,0,2 yyxyxx fff 02001022 xyyyxx fff因?yàn)榍?2 xxf所以 有極小值：f 8)1,3( f 例 2 討論 是否存在極值。xyxyxf 2),(解分別對 和 求偏導(dǎo)數(shù)并令其等于零，得方程組x y 0 02xf yxfyx解方程組得 的穩(wěn)定點(diǎn)為原點(diǎn)：f )0,0(0,1,2 yyxyxx fff再求 的二階偏導(dǎo)數(shù)在 的值：f )0,0( 011022 xyyyxx fff因?yàn)樗?無極值。f
8、最大值、最小值問題設(shè)函數(shù) 在某一有界閉區(qū)域 中連續(xù)且可導(dǎo)，則必在 上達(dá)到最大值（或最小值）。若這樣的點(diǎn) 位于區(qū)域的內(nèi)部，那末在這點(diǎn)函數(shù)顯然有極大值（或極小值）。因此在這種情形，函數(shù)取到最大值（或最小值）的點(diǎn)必是極值點(diǎn)之一。然而函數(shù)的最大值（或最小值）也可能在區(qū)域的邊界上達(dá)到。 因此，為了找出函數(shù)在區(qū)域 上的最大值（或最小值），必需要找出所有有極值的內(nèi)點(diǎn)，算出這些點(diǎn)的函數(shù)值，再與區(qū)域邊界上的函數(shù)極值相比較，這些數(shù)值中的最大者（或最小者）就是函數(shù)在閉域 上的最大值（或最小值）),( yxfz DD D 0MD 例 3 有一塊薄鐵皮，寬 24 厘米，把兩邊折起，做成一槽，求 和傾角 ，使槽的梯形截面
9、的面積最大。x 解厘米24x x x xx224槽的梯形截面面積為 cossinsin2sin24 sin)cos224( sin)cos2224()224(21),( 22 xxx xxx xxxxxS 問題歸結(jié)為求 的最大值，先求穩(wěn)定點(diǎn) 0cossincos2cos24 0cossin2sin4sin24 22222 xxxxS xxxxS解方程組，得符合題意的唯一一組穩(wěn)定點(diǎn)S 3,8 x由于在這個(gè)問題中，最大值必達(dá)到，因此當(dāng) 060,8 厘米x時(shí)，槽的梯形截面積最大，這時(shí)截面積為2833482396厘米S 條 件 極 值 ： 對 自 變 量 有 附 加 條 件 的 極 值 二 條件極值拉
10、格朗日乘數(shù)法 .0),( ,0),( ,0),( ,0),( ,0),( ,0),( tzyx tzyx tzyxF tzyxF tzyxF tzyxFtzyx求 解 方 程 組 解 出 x, y, z, t 即 得可 能 極 值 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) . 解 )22( )22( )22( xyxyF zxxzF zyyzFzyx 則例 4 求 表 面 積 為 a2 而 體 積 為 最 大 的 長 方 體 的 體 積 . 設(shè) 長 方 體 的 長 、 寬 、 高 為 x , y， z. 體 積 為 V .則 問 題 就 是 條 件求 函 數(shù) 的 最 大 值 .)0,0,0( zyxxyzV令 ),22
11、2(),( 2axzyzxyxyzzyxF ,0 ,0 ,0 .0222 2 axzyzxy 0222 2 axzyzxy 下 ， )22( )22( )22( xyxyF zxxzF zyyzFzyx 則令 ),222(),( 2axzyzxyxyzzyxF ,0 ,0 ,0 .0222 2 axzyzxy即 )4( 0222 )3( )(2 )2( )(2 )1( )(2 2axzyzxy yxxy zxxz zyyz ,0 ,0 ,0 zyx因 由 (2), (1)及 (3), (2)得,zy zxyx ,zx yxzy ,0 ,0 ,0 zyx因 由 (2), (1)及 (3), (2
12、)得,zy zxyx ,zx yxzy 于 是 ， .zyx 代 入 條 件 ， 得 .0222 2 axxxxxx ,6 22 ax 解 得 ,66 ax ,66 ay .66 az .366666666 3max aaaaV 這 是 唯 一 可 能 的 極 值 點(diǎn) 。 因 為 由 問 題 本 身 可 知 ，所 以 ， 最 大 值 就 在 此 點(diǎn) 處 取 得 。故 ， 最 大 值最 大 值 一 定 存 在 ， 解 12 0 02 03 233 22zyx yxF yzxF zyxFzyx 則 )4( ,12 )3( , )2( ,2 )1( ,3 23 3 22 zyx yx yzx zyx
13、 由 (1)， (2) 得 (5) ,32 xy 由 (1)， (3) 得 (6) ,31 xz .6912246 23max u將 (5)， (6) 代 入 (4)： 123132 xxx于 是 ， 得 ,6x ,4y .2z這 是 唯 一 可 能 的 極 值 點(diǎn) 。因 為 由 問 題 本 身 可 知 ， 最 大 值 一 定 存 在 ， 所 以 ，最 大 值 就 在 這 個(gè) 可 能 的 極 值 點(diǎn) 處 取 得 。故 ， 最 大 值 解 01 024 02222 yx yyF xxFyx 則2 22 26 ( , ) 21 f x y x yx y 例求函數(shù)在方程約束條件下的最大與最小值。)1(2),( 2222 yxyxyxF 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，），（），（），（），（解得可能條件極值點(diǎn)為01,01,10,10 ,1)0,1()0,1( ,2)1,0()1,0( ff ff計(jì)算出。，最小值為所以所求得的最大值為上必有最值，在有界閉集由于連續(xù)函數(shù)121/),( 2 22 22 yxyx yx 多元函數(shù)的極值拉格朗日乘數(shù)法（取得極值的必要條件、充分條件）多元函數(shù)的最值三 小 結(jié) 條件極值無條件極值
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