高等數(shù)學方明亮33 洛必達法則

返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄在第一章求極限時，在第一章求極限時，我們遇到過許多我們遇到過許多無窮小量之比無窮小量之比 或或無窮大量之比的極限無窮大量之比的極限 我們稱這類極限為我們稱這類極限為未定式未定式（Indeterminate Form)例如，例如，都是都是無窮無窮小小量之比量之比 的極限。的極限。又如，又如，都是都是無窮無窮大大量之比量之比 的極限。的極限。它們不能用它們不能用“商的極限等于極限的商商的極限等于極限的商”的規(guī)則進行運算，的規(guī)則進行運算，但可用下面介紹的但可用下面介紹的洛必達法則洛必達法則來求這類極限來求這類極限.1/10/20241返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 第三章第三章（LHospitals Rule）三、其他類型的未定式三、其他類型的未定式 二、二、型未定式的洛必達法則型未定式的洛必達法則一、一、型未定式的洛必達法則型未定式的洛必達法則四、小結與思考練習四、小結與思考練習 1/10/20242返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄一、一、型未定式洛必達法則型未定式洛必達法則存在存在(或為或為 )定理定理 1(洛必達法則洛必達法則)1/10/20243返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄(在在 x,a 之間之間)無妨假設無妨假設在指出的鄰域內任取在指出的鄰域內任取則則在以在以 x,a 為端點的區(qū)間上滿足柯為端點的區(qū)間上滿足柯故故定理條件定理條件:西定理條件西定理條件,存在存在(或為或為 )證證:1/10/20244返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄定理定理 1 中中換為換為之一之一,推論推論 2 若若理理1條件條件,則則條件條件 2)作相應的修改作相應的修改,定理定理 1 仍然成立仍然成立.洛必達法則洛必達法則推論推論1 1/10/20245返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄解解:原式原式注意注意:不是未定式不能用洛必達法則不是未定式不能用洛必達法則!例例1 求求1/10/20246返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄解解:原式原式 思考思考:如何求如何求(n 為正整數(shù)為正整數(shù))?例例2 求求1/10/20247返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄二、二、型未定式的洛必達法則型未定式的洛必達法則存在存在(或為或為)定理定理 2.（證明略）（證明略）(洛必達法則洛必達法則)1/10/20248返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄說明說明:定理中換為之一,條件 2)作相應的修改,定理仍然成立.1/10/20249返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄解解:原式原式例例4 求求解解:(1)n 為正整數(shù)的情形為正整數(shù)的情形.原式原式例例3 求求1/10/202410返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄(2)n 不為正整數(shù)的情形不為正整數(shù)的情形.從而從而由由(1)用夾逼準則用夾逼準則存在正整數(shù)存在正整數(shù) k,使當使當 x 1 時時,例例4 求求1/10/202411返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄例例3.例例4.1)例例3,例例4 表明表明時時,后者比前者趨于后者比前者趨于更快更快.例如例如,而而用洛必達法則用洛必達法則2)在滿足定理條件的某些情況下洛必達法則不能解決在滿足定理條件的某些情況下洛必達法則不能解決 計算問題計算問題.說明說明:1/10/202412返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄例如例如,極限不存在極限不存在3)若若1/10/202413返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄三、其他類型的未定式三、其他類型的未定式:解決方法解決方法:通分通分轉化轉化取倒數(shù)取倒數(shù)轉化轉化取對數(shù)取對數(shù)轉化轉化例例5 求解解:原式1/10/202414返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄解解:原原式式通分通分轉化轉化取倒數(shù)取倒數(shù)轉化轉化取對數(shù)取對數(shù)轉化轉化例例6 求求1/10/202415返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄解解:利用利用 例例5通分通分轉化轉化取倒數(shù)取倒數(shù)轉化轉化取對數(shù)取對數(shù)轉化轉化例例7 求求1/10/202416返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄解解:注意到注意到原式原式例例8 求求（補充題）（補充題）說明說明:這到題告訴我們，這到題告訴我們，洛必達法則是求未定式極限洛必達法則是求未定式極限的一種有效方法，的一種有效方法，但最好能與其他求極限的方法結合使用，但最好能與其他求極限的方法結合使用，這樣可以使運算簡捷這樣可以使運算簡捷.1/10/202417返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄分析分析:為用洛必達法則為用洛必達法則,必須改必須改求求法法1 用洛必達法則用洛必達法則但對本題用此法計算很繁但對本題用此法計算很繁!法法2原式原式例例9 求求1/10/202418返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄洛必達法則洛必達法則令令取對數(shù)取對數(shù)內容小結內容小結1/10/202419返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄習題習題33 1（偶數(shù)題）；（偶數(shù)題）；2（2）；）；3課后練習課后練習思考練習思考練習1.設設是是未定式極限未定式極限,如果如果不存在不存在,是否是否的極限也不存在的極限也不存在?舉例說明舉例說明.極限極限原式分析分析:1/10/202420返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄分析分析:原式原式3.1/10/202421返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄則則解解:令令原式原式4.求求1/10/202422返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄5.求下列極限求下列極限:解解:1/10/202423返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄令令則則原式原式=解解:(用洛必達法則用洛必達法則)(繼續(xù)用洛必達法則繼續(xù)用洛必達法則)1/10/202424返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄解解:原式=1/10/202425