2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.4《平面向量的數(shù)量積》教案 新人教A版必修4.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.4《平面向量的數(shù)量積》教案 新人教A版必修4 本章內(nèi)容介紹 向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來的,是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一,有深刻的幾何背景,是解決幾何問題的有力工具.向量概念引入后,全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可轉(zhuǎn)化為向量的加(減)法、數(shù)乘向量、數(shù)量積運(yùn)算,從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系. 向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具,有著極其豐富的實際背景.在本章中,學(xué)生將了解向量豐富的實際背景,理解平面向量及其運(yùn)算的意義,學(xué)習(xí)平面向量的線性運(yùn)算、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示、平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用五部分內(nèi)容.能用向量語言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問題. 本節(jié)從物理上的力和位移出發(fā),抽象出向量的概念,并說明了向量與數(shù)量的區(qū)別,然后介紹了向量的一些基本概念. (讓學(xué)生對整章有個初步的、全面的了解.) 2.4平面向量的數(shù)量積 第7課時 一、 平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義 教學(xué)目的: 1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義; 2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律; 3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題; 4.掌握向量垂直的條件. 教學(xué)重點:平面向量的數(shù)量積定義 教學(xué)難點:平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用 授課類型:新授課 教 具:多媒體、實物投影儀 內(nèi)容分析: 本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義,理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律,然后通過概念辨析題加深學(xué)生對于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識.主要知識點:平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義;平面向量數(shù)量積的5個重要性質(zhì);平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律. 教學(xué)過程: 一、復(fù)習(xí)引入: 1. 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是:有且只有一個非零實數(shù)λ,使=λ. 2.平面向量基本定理:如果,是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2使=λ1+λ2 3.平面向量的坐標(biāo)表示 分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量,由平面向量基本定理知,有且只有一對實數(shù)、,使得 把叫做向量的(直角)坐標(biāo),記作 4.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 若,,則,,. 若,,則 5.∥ ()的充要條件是x1y2-x2y1=0 6.線段的定比分點及λ P1, P2是直線l上的兩點,P是l上不同于P1, P2的任一點,存在實數(shù)λ, 使 =λ,λ叫做點P分所成的比,有三種情況: λ>0(內(nèi)分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0) 7. 定比分點坐標(biāo)公式: 若點P1(x1,y1) ,P2(x2,y2),λ為實數(shù),且=λ,則點P的坐標(biāo)為(),我們稱λ為點P分所成的比. 8. 點P的位置與λ的范圍的關(guān)系: ①當(dāng)λ>0時,與同向共線,這時稱點P為的內(nèi)分點. ②當(dāng)λ<0()時,與反向共線,這時稱點P為的外分點. 9.線段定比分點坐標(biāo)公式的向量形式: 在平面內(nèi)任取一點O,設(shè)=a,=b, 可得=. 10.力做的功:W = |F||s|cosq,q是F與s的夾角. 二、講解新課: 1.兩個非零向量夾角的概念 已知非零向量a與b,作=a,=b,則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a與b的夾角. 說明:(1)當(dāng)θ=0時,a與b同向; (2)當(dāng)θ=π時,a與b反向; (3)當(dāng)θ=時,a與b垂直,記a⊥b; (4)注意在兩向量的夾角定義,兩向量必須是同起點的.范圍0≤q≤180 C 2.平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義:已知兩個非零向量a與b,它們的夾角是θ,則數(shù)量|a||b|cosq叫a與b的數(shù)量積,記作ab,即有ab = |a||b|cosq, (0≤θ≤π).并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0. 探究:兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別 (1)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù),不是向量,符號由cosq的符號所決定. (2)兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積,寫成ab;今后要學(xué)到兩個向量的外積ab,而ab是兩個向量的數(shù)量的積,書寫時要嚴(yán)格區(qū)分.符號“ ”在向量運(yùn)算中不是乘號,既不能省略,也不能用“”代替. (3)在實數(shù)中,若a0,且ab=0,則b=0;但是在數(shù)量積中,若a0,且ab=0,不能推出b=0.因為其中cosq有可能為0. (4)已知實數(shù)a、b、c(b0),則ab=bc a=c.但是ab = bc a = c 如右圖:ab = |a||b|cosb = |b||OA|,bc = |b||c|cosa = |b||OA| ab = bc 但a c (5)在實數(shù)中,有(ab)c = a(bc),但是(ab)c a(bc) 顯然,這是因為左端是與c共線的向量,而右端是與a共線的向量,而一般a與c不共線. 3.“投影”的概念:作圖 定義:|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影. 投影也是一個數(shù)量,不是向量;當(dāng)q為銳角時投影為正值;當(dāng)q為鈍角時投影為負(fù)值;當(dāng)q為直角時投影為0;當(dāng)q = 0時投影為 |b|;當(dāng)q = 180時投影為 -|b|. 4.向量的數(shù)量積的幾何意義: 數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積. 5.兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì): 設(shè)a、b為兩個非零向量,e是與b同向的單位向量. 1 ea = ae =|a|cosq 2 a^b ab = 0 3 當(dāng)a與b同向時,ab = |a||b|;當(dāng)a與b反向時,ab = -|a||b|. 特別的aa = |a|2或 4 cosq = 5 |ab| ≤ |a||b| 三、講解范例: 例1 已知|a|=5, |b|=4, a與b的夾角θ=120o,求ab. 例2 已知|a|=6, |b|=4, a與b的夾角為60o求(a+2b)(a-3b). 例3 已知|a|=3, |b|=4, 且a與b不共線,k為何值時,向量a+kb與a-kb互相垂直. 例4 判斷正誤,并簡要說明理由. ①a0=0;②0a=0;③0-=;④|ab|=|a||b|;⑤若a≠0,則對任一非零b有ab≠0;⑥ab=0,則a與b中至少有一個為0;⑦對任意向量a,b,с都有(ab)с=a(bс);⑧a與b是兩個單位向量,則a2=b2. 解:上述8個命題中只有③⑧正確; 對于①:兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù),應(yīng)有0a=0;對于②:應(yīng)有0a=0; 對于④:由數(shù)量積定義有|ab|=|a||b||cosθ|≤|a||b|,這里θ是a與b的夾角,只有θ=0或θ=π時,才有|ab|=|a||b|; 對于⑤:若非零向量a、b垂直,有ab=0; 對于⑥:由ab=0可知a⊥b可以都非零; 對于⑦:若a與с共線,記a=λс. 則ab=(λс)b=λ(сb)=λ(bс), ∴(ab)с=λ(bс)с=(bс)λс=(bс)a 若a與с不共線,則(ab)с≠(bс)a. 評述:這一類型題,要求學(xué)生確實把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律. 例6 已知|a|=3,|b|=6,當(dāng)①a∥b,②a⊥b,③a與b的夾角是60時,分別求ab. 解:①當(dāng)a∥b時,若a與b同向,則它們的夾角θ=0, ∴ab=|a||b|cos0=361=18; 若a與b反向,則它們的夾角θ=180, ∴ab=|a||b|cos180=36(-1)=-18; ②當(dāng)a⊥b時,它們的夾角θ=90, ∴ab=0; ③當(dāng)a與b的夾角是60時,有 ab=|a||b|cos60=36=9 評述:兩個向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān),其范圍是[0,180],因此,當(dāng)a∥b時,有0或180兩種可能. 四、課堂練習(xí): 1.已知|a|=1,|b|=,且(a-b)與a垂直,則a與b的夾角是( ) A.60 B.30 C.135 D.45 2.已知|a|=2,|b|=1,a與b之間的夾角為,那么向量m=a-4b的模為( ) A.2 B.2 C.6 D.12 3.已知a、b是非零向量,則|a|=|b|是(a+b)與(a-b)垂直的( ) A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 4.已知向量a、b的夾角為,|a|=2,|b|=1,則|a+b||a-b|= . 5.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量,那么ab= . 6.已知a⊥b、c與a、b的夾角均為60,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,則(a+2b-c)2=______. 7.已知|a|=1,|b|=,(1)若a∥b,求ab;(2)若a、b的夾角為60,求|a+b|;(3)若a-b與a垂直,求a與b的夾角. 8.設(shè)m、n是兩個單位向量,其夾角為60,求向量a=2m+n與b=2n-3m的夾角. 9.對于兩個非零向量a、b,求使|a+tb|最小時的t值,并求此時b與a+tb的夾角. 五、小結(jié)(略) 六、課后作業(yè)(略) 七、教學(xué)后記:- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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