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1、 第四章第四章 直線與平面、兩平面的相對位置直線與平面、兩平面的相對位置4-1 直線與平面平行直線與平面平行 兩平面平行兩平面平行4-2 直線與平面的交點直線與平面的交點 兩平面的交線兩平面的交線4-3 直線與平面垂直直線與平面垂直 兩平面垂直兩平面垂直 內(nèi)內(nèi) 容容 提提 要要4-4 點、線、面綜合題舉例點、線、面綜合題舉例本章重點討論的三個問題：本章重點討論的三個問題：1、在投影圖上如何繪制及判斷直線與平面和、在投影圖上如何繪制及判斷直線與平面和兩平面的平行問題。兩平面的平行問題。2、如果直線與平面及兩平面不平行，在投影、如果直線與平面及兩平面不平行，在投影圖上如何求其交點或交線。圖上如何求
2、其交點或交線。3、在投影圖上如何繪制及判斷直線與平面和、在投影圖上如何繪制及判斷直線與平面和兩平面的垂直問題。兩平面的垂直問題。返回ABCEFabcefDd4-1 直線與平面平行直線與平面平行 兩平兩平 面平行面平行一、一、直線與平面平行直線與平面平行 若一直線平行于某平面上的任一直線，則該若一直線平行于某平面上的任一直線，則該直線與平面直線與平面平行平行。據(jù)此可以解決據(jù)此可以解決:1.作直線平行于已知作直線平行于已知平面平面2.作平面平行于已知直線作平面平行于已知直線3.判斷直線是否于平面平行判斷直線是否于平面平行例題例題4.1 試過點試過點N作水平線作水平線MN平行于平行于ABC平面平面分
3、析分析作圖作圖babcnacnXO1.在在ABC平面上任作平面上任作一水平線一水平線BD2.過點過點N作直線作直線MN平行平行與直線與直線BDdmmd直線直線 MN 即為所求即為所求例題例題4.2 試過點試過點A作平面作平面ABC平行于直線平行于直線MN分析分析作圖作圖1.作直線作直線ACMN2.過點過點A任作直線任作直線ABABC 即為所求即為所求bccbmmannaXO例題例題4.3 試判斷直線試判斷直線EF是否平行于平面是否平行于平面ABCbabceaceXO分析分析作圖作圖1.在在ABC平面上任作平面上任作一輔助線一輔助線CD,且使且使cdef(或或cdef)2.求出求出ABC上的上的
4、CD直直線的另一投影線的另一投影cd(或或cd)因因ef不平行不平行cd故故EF不平行與不平行與 ABCffd dABCMNEFmnabce(f)當(dāng)直線與投影面垂直面平行當(dāng)直線與投影面垂直面平行時時,則該直線必有一個投影與平則該直線必有一個投影與平面具有積聚性的那個投影平行面具有積聚性的那個投影平行,且在平面有積聚性的那個投影且在平面有積聚性的那個投影面上反映直線與平面間的真實面上反映直線與平面間的真實距離。距離。當(dāng)直線與平面同時垂直與同當(dāng)直線與平面同時垂直與同一投影面時一投影面時,該直線必與該平面該直線必與該平面平行平行,且在它們垂直的那個投影且在它們垂直的那個投影面上反映它們之間的真實距離
5、。面上反映它們之間的真實距離。線面平行的特殊情況線面平行的特殊情況mnabce(f)mnabcefXO二、二、平面與平面平行平面與平面平行 若一平面內(nèi)兩相交直線對應(yīng)平行于另一平面若一平面內(nèi)兩相交直線對應(yīng)平行于另一平面上的相交兩直線，則這兩平面相互上的相交兩直線，則這兩平面相互平行平行。據(jù)此可以解決據(jù)此可以解決:1.作平面平行于已知平面作平面平行于已知平面2.判斷兩是否平面平行判斷兩是否平面平行4-1 直線與平面平行直線與平面平行 兩平兩平 面平行面平行一、一、直線與平面平行直線與平面平行ABCA1B1C1PQ例題例題4.4 試作試作EFGABC平面平面ebabceacXOffg分析分析作圖作圖
6、1.在在ABC內(nèi)作直線內(nèi)作直線AMEF,MNFG(amef,mnfg)2.求出求出AM,MN的的正面正面投影投影mnmn3.過過f作作efam、fgmn,則則EFG即即為所求為所求 g例題例題4.5 判斷判斷EFG與與ABC平面是否平行平面是否平行g(shù)fabcegbcefaXObc平行平行g(shù)f但但bc 不平行不平行g(shù)f例題例題4.5 判斷判斷EFG與與ABC平面是否平行平面是否平行g(shù)fabcegbcefaXOba平行平行g(shù)e但但ba 不平行不平行g(shù)ebc平行平行g(shù)f但但bc 不平行不平行g(shù)f因此，因此，EFG與與ABC平面不平行平面不平行例題例題4.6 判斷兩平面是否平行判斷兩平面是否平行dfg
7、ecbaafgdbcehh例題例題4.7 判斷兩平面是否平行判斷兩平面是否平行dfecbaaf dbceac平行平行df但但ac 不平行不平行df例題例題4.7 判斷兩平面是否平行判斷兩平面是否平行dfecbaaf dbceac平行平行df但但ac 不平行不平行dfbc平行平行de但但bc 不平行不平行de因此兩平面不平行因此兩平面不平行ABCGHEFefacbh 若兩平行平面同時垂直于同若兩平行平面同時垂直于同一投影面一投影面,則它們在該平面上的則它們在該平面上的積聚性投影必然相互平行積聚性投影必然相互平行,且反且反映兩平行平面之間的真實距離。映兩平行平面之間的真實距離。面面平行的特殊情況面
8、面平行的特殊情況efacbhghfgebac4-2 直線與平面相交直線與平面相交 兩平兩平 面相交面相交 直線與平面相交直線與平面相交,必有一個交點必有一個交點,它是直線與它是直線與平面的共有點。平面的共有點。平面與平面相交平面與平面相交,必有一個交線必有一個交線,它是兩平面它是兩平面的共有線。的共有線。求解交線的方法求解交線的方法:1.作出交線上的兩個共有點作出交線上的兩個共有點 2.作出交線上的一個共有點及交線的方向作出交線上的一個共有點及交線的方向求作求作交點或交線的過程交點或交線的過程:1.求出交點或交線的投影求出交點或交線的投影2.判別可見性判別可見性4-2 直線與平面相交直線與平面
9、相交 兩平兩平 面相交面相交一、一、利用積聚性求交點和交線利用積聚性求交點和交線1.一般位置直線與特殊位置平面相交一般位置直線與特殊位置平面相交ABCabcFEKfekbacbacefefbacbacefefkk 作圖步驟作圖步驟 1.利用積聚性求出利用積聚性求出K點水平投點水平投影影k 2.利用點在線上的投影特性求利用點在線上的投影特性求出出K點點正面投影正面投影k 3.判別可見性判別可見性121(2)y1y2,即點即點在點在點前方，前方，EK正面投影可見正面投影可見121(2)a bcbacefefkk 作圖步驟作圖步驟 1.利用積聚性求出利用積聚性求出K點水平投點水平投影影k 2.利用點
10、在線上的投影特性求利用點在線上的投影特性求出出K點點正面投影正面投影k 3.判別可見性判別可見性y1y2,即點即點在點在點前方，前方，EK正面投影可見正面投影可見4-2 直線與平面相交直線與平面相交 兩平兩平 面相交面相交一、一、利用積聚性求交點和交線利用積聚性求交點和交線1.一般位置直線與特殊位置平面相交一般位置直線與特殊位置平面相交2.特殊位置直線與一般位置平面相交特殊位置直線與一般位置平面相交abcbace(f)efkkdd 分析分析 EF在正面的投影在正面的投影有積聚性，故交點有積聚性，故交點K的的正面投影必與正面投影必與EF的正的正面投影重合，利用面面投影重合，利用面上取點的方法可求
11、出上取點的方法可求出交點交點K的水平投影的水平投影 作圖作圖 abcace(f)efkkdd4-2 直線與平面相交直線與平面相交 兩平兩平 面相交面相交一、一、利用積聚性求交點和交線利用積聚性求交點和交線1.一般位置直線與特殊位置平面相交一般位置直線與特殊位置平面相交2.特殊位置直線與一般位置平面相交特殊位置直線與一般位置平面相交3.特殊位置平面與一般位置平面相交特殊位置平面與一般位置平面相交klabcbacefefddklVXOABCEDFcabefd 作圖步驟作圖步驟 1.利用積聚性求出利用積聚性求出KL的水平投的水平投影影kl 2.利用點在線上的投影特性求利用點在線上的投影特性求出出K點
12、點正面投影正面投影k，l 3.判別可見性判別可見性klKL121(2)klabcbacefefddkl4-2 直線與平面相交直線與平面相交 兩平兩平 面相交面相交一、一、利用積聚性求交點和交線利用積聚性求交點和交線1.一般位置直線與特殊位置平面相交一般位置直線與特殊位置平面相交2.特殊位置直線與一般位置平面相交特殊位置直線與一般位置平面相交3.特殊位置平面與一般位置平面相交特殊位置平面與一般位置平面相交二、二、利用輔助平面求交點和交線利用輔助平面求交點和交線 一般位置直線與一般位置平面相交一般位置直線與一般位置平面相交FEDMNddabfebaefBAMmnnmkk作圖作圖判別可見性判別可見性
13、11Z1ZM,AK的水平投影的水平投影ak可見可見2(3)2YY,AK的正面投影的正面投影ak不不可見可見3ddabfebaefFEDMNBAMmnnmkk作圖作圖判別可見性判別可見性11Z1ZM,AK的水平投影的水平投影ak可見可見2(3)2YY,AK的正面投影的正面投影ak不不可見可見34-2 直線與平面相交直線與平面相交 兩平兩平 面相交面相交一、一、利用積聚性求交點和交線利用積聚性求交點和交線1.一般位置直線與特殊位置平面相交一般位置直線與特殊位置平面相交2.特殊位置直線與一般位置平面相交特殊位置直線與一般位置平面相交3.特殊位置平面與一般位置平面相交特殊位置平面與一般位置平面相交二、
14、二、利用輔助平面求交點和交線利用輔助平面求交點和交線 一般位置直線與一般位置平面相交一般位置直線與一般位置平面相交 一般位置平面與一般位置平面相交一般位置平面與一般位置平面相交 三、三、利用輔助投影求交點和交線利用輔助投影求交點和交線abcbacefefddd1f1e1a1b1c1n1l1lnnl作圖步驟作圖步驟1.將將ABC變換為鉛垂面變換為鉛垂面2.求出交線的輔助投影求出交線的輔助投影l(fā)1 n13.求出交線的正面投影和水平求出交線的正面投影和水平投影投影4.判別可見性判別可見性abcbacefefddd1f1e1a1b1c1n1l1lnnl1(2)123(4)341.YY,AB的正面投影可
15、見的正面投影可見2.ZZ,DF的水平投影可見的水平投影可見nabcbacefefddd1f1e1a1b1c1n1k1knnk1(2)123(4)34kdfgecbaafgdbce12233hh例一 求作兩平面的交線并判斷可見性nmcbaabcmn12例二 求作兩平面的交線并判斷可見性4-3 直線與平面垂直直線與平面垂直 兩平兩平 面垂直面垂直一、直線與平面垂直一、直線與平面垂直 若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。據(jù)此可以解決據(jù)此可以解決:1.作直線垂直平面或平面作直線垂直平面或平面垂直直線垂直直線2.判斷線面是否垂直判斷
16、線面是否垂直作作 圖圖 舉舉 例例:若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。平線的正面投影。klkl 若一直線垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投若一直線垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影、則直線必垂直于該平面。影垂直于屬于平面的正平線的正面投影、則直線必垂直于該平面。hacac例題例題1：平面由平面由 BDF給定，試過定點給定，試過定點K作
17、平面的法線。作平面的法線。h返回KCFDBA1.在在BDF上作正平線上作正平線DC和和水平線水平線AB2.作作kh dc;kh ab H例題例題2：平面由兩平行線平面由兩平行線AB、CD給定，試判斷直線給定，試判斷直線MN是否垂直是否垂直于定平面。于定平面。efef1.DC為正平線為正平線,判判斷斷mn是否垂直是否垂直dc2.在平面內(nèi)作水平在平面內(nèi)作水平線線EF,判斷判斷mn是是否垂直否垂直ef 直線直線MN不垂不垂直給定平面直給定平面例題例題3：試過定點試過定點S作一平面垂直于已知直線作一平面垂直于已知直線EF。esOXeffsSFENM 過過S點分別作正平線點分別作正平線 SN、水平線水平
18、線SM,使使 水平水平SNEF SMEFnnmm4-3 直線與平面垂直直線與平面垂直 兩平兩平 面垂直面垂直一、直線與平面垂直一、直線與平面垂直二、平面與平面垂直二、平面與平面垂直 若一直線垂直于定平面若一直線垂直于定平面則包含該直線的所有平面都則包含該直線的所有平面都垂直于該平面垂直于該平面。據(jù)此可以解決據(jù)此可以解決:1.作平面垂直平面作平面垂直平面2.判斷面面是否垂直判斷面面是否垂直實質(zhì)問題是作面垂實質(zhì)問題是作面垂直直例題例題4：平面由平面由 BDF給定，試過定點給定，試過定點K作平面垂直作平面垂直 BDF。hacahcmm例題例題5：判斷判斷 DEF、GHK是否與是否與 ABC垂直。垂直
19、。ghcabfdekhgfedcbamhm DEF ABC GHK ABC 4-4 點線面綜合題舉例點線面綜合題舉例畫法幾何問題，歸納起來大體分為畫法幾何問題，歸納起來大體分為定位問題定位問題和和度量問題度量問題兩大類。兩大類。（2）空間分析空間分析 軌跡分析法軌跡分析法 逆推法逆推法（4）解答分析解答分析（3）投影作圖投影作圖（1）題意分析題意分析 分析有哪些幾何條件，有無幾何元素在空間處于特殊位置，分析有哪些幾何條件，有無幾何元素在空間處于特殊位置，明確求解的幾何元素或幾何量。明確求解的幾何元素或幾何量。EF例題例題1 過點過點K作直線作直線KS平行于三角形平行于三角形ABC并與直線并與直
20、線EF相交。相交。ecbakfeafkcbSACBK(1)過過K作作平面平平面平行三角形行三角形ABC(2)求出求出EF與輔助與輔助平面的交點平面的交點Sss(3)連連KS即為所求即為所求例題例題1 過點過點K作直線作直線KS平行于三角形平行于三角形ABC并與直線并與直線EF相交。相交。ecbakfeafkcbACBEFMNKS例題例題2：求交叉兩直線求交叉兩直線AB和和CD的公垂線的公垂線MN。dcbaadbc分分 析析EDCBAKMNdcbaadbcABCDmnNMabc(d)c1d1a1b1a2b2(d2)c2m2n2n1m1mnnmdcbaadbcXX1X2例題例題3：求三角形求三角形ABC及及BCD兩平面之間的夾角兩平面之間的夾角。dbadcbacXABCDdbadcbacXX1a1c1(b1)d1c1(d1)b1(a1)abcdcbdaXX2例題例題4 以以DC為為直角邊作等腰直角直角邊作等腰直角CDE(CDE=90)且與且與ABCD平平面垂直。面垂直。e1HV例題例題5：已知等邊三角形已知等邊三角形ABC,點點C在在H面上面上,求此三角求此三角形的兩面投影形的兩面投影。babaXabcABCbabaXabcc1.求邊求邊AB的實長的實長2.求邊求邊AC的的水平投影水平投影3.求邊求邊BC的的水平投影水平投影4.求求c,c并連線并連線
機械制圖課件 04
