2019-2020年高中數(shù)學(xué)4.1.2圓的一般方程教案新人教A版必修2.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)4.1.2圓的一般方程教案新人教A版必修2 (一)教學(xué)目標(biāo) 1.知識與技能 (1)在掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上,理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征,由圓的一般方程確定圓的圓心半徑,掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圓的條件. (2)能通過配方等手段,把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,能用待定系數(shù)法求圓的方程. (3)培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實(shí)際能力. 2.過程與方法 通過對方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圓的條件的探究,培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實(shí)際能力. 3.情感態(tài)度與價值觀 滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法,提高學(xué)生的整體素質(zhì),激勵學(xué)生創(chuàng)新,勇于探索. (二)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):圓的一般方程的代數(shù)特征,一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間的互化,根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù),D、E、F. 教學(xué)難點(diǎn):對圓的一般方程的認(rèn)識、掌握和運(yùn)用. (三)教學(xué)過程 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 師生互動 設(shè)計(jì)意圖 課題引入 問題:求過三點(diǎn)A (0,0),B (1,1),C (4,2)的圓的方程. 利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決此問題顯然有些麻煩,得用直線的知識解決又有其簡單的局限性,那么這個問題有沒有其它的解決方法呢?帶著這個問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式——圓的一般方程. 讓學(xué)生帶著問題進(jìn)行思考 設(shè)疑激趣導(dǎo)入課題. 概念形成與深化 請同學(xué)們寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(x – a)2 + (y – b)2 = r2,圓心(a,b),半徑r. 把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開,并整理: x2 + y2 –2ax – 2by + a2 + b2 –r2=0. 取D = –2a,E = –2b,F(xiàn) = a2 + b2 – r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0① 這個方程是圓的方程. 反過來給出一個形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的方程,它表示的曲線一定是圓嗎? 把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得 ②(配方過程由學(xué)生去完成)這個方程是不是表示圓? (1)當(dāng)D2 + E2 – 4F>0時,方程②表示以為圓心, 為半徑的圓; (2)當(dāng)D2 + E2 – 4F = 0時,方程只有實(shí)數(shù)解,即只表示一個點(diǎn); (3)當(dāng)D2 + E2 – 4F<0時,方程沒有實(shí)數(shù)解,因而它不表示任何圖形. 綜上所述,方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示的曲線不一定是圓. 只有當(dāng)D2 + E2 – 4F>0時,它表示的曲線才是圓,我們把形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的表示圓的方程稱為圓的一般方程. 整個探索過程由學(xué)生完成,教師只做引導(dǎo),得出圓的一般方程后再啟發(fā)學(xué)生歸納. 圓的一般方程的特點(diǎn): (1)①x2和y2的系數(shù)相同,不等于0. ②沒有xy這樣的二次項(xiàng). (2)圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F,因此只要求出這三個系數(shù),圓的方程就確定了. (3)與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較,它是一種特殊的二元二次方程,代數(shù)特征明顯,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小,幾何特征較明顯. 通過學(xué)生對圓的一般方程的探究,使學(xué)生親身體會圓的一般方程的特點(diǎn),及二元二次方程表示圓所滿足的條件. 應(yīng)用舉例 例1 判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程?如果是,請求出圓的圓心及半徑. (1)4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 9 = 0 (2)4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 11 = 0 解析:(1)將原方程變?yōu)? x2 + y2 – x + 3y += 0[D = –1,E =3,F(xiàn) =. ∵D2 + E2 – 4F = 1>0∴此方程表示圓,圓心(,),半徑r =. (2)將原方程化為x2 + y2 – x + 3y += 0 D = –1,E =3,F(xiàn) =. D2 + E2 – 4F = –1<0 ∴此方程不表示圓. 學(xué)生自己分析探求解決途徑:①用配方法將其變形化成圓的標(biāo)準(zhǔn)形式.②運(yùn)用圓的一般方程的判斷方法求解.但是,要注意對于(1)4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 9 = 0來說,這里的D = –1,E = 3,而不是D = –4,E = 12,F(xiàn) = 9.[ 通過例題講解使學(xué)生理解圓的一般方程的代數(shù)特征及與標(biāo)準(zhǔn)方程的相互轉(zhuǎn)化更進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的能力.] 例2 求過三點(diǎn)A (0,0),B (1,1),C (4,2)的圓的方程,并求這個圓的半徑長和圓心坐標(biāo). 分析:據(jù)已知條件,很難直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,而圓的一般方程則需確定三個系數(shù),而條件恰給出三點(diǎn)坐標(biāo),不妨試著先寫出圓的一般方程. 解:設(shè)所求的圓的方程為:x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ∵A (0,0),B (1,1),C (4,2)在圓上,所以它們的坐標(biāo)是方程的解.把它們的坐標(biāo)代入上面的方程,可以得到關(guān)于D、E、F的三元一次方程組: 即 解此方程組,可得:D= –8,E=6,F(xiàn) = 0 ∴所求圓的方程為:x2 + y2 – 8x + 6y = 0 ; . 得圓心坐標(biāo)為(4,–3). 或?qū)2 + y2 – 8x + 6y = 0左邊配方化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,(x – 4)2 + (y + 3)2 = 25,從而求出圓的半徑r = 5,圓心坐標(biāo)為(4,–3). 例2 講完后 學(xué)生討論交流,歸納得出使用待定系數(shù)法的一般步驟: 1.根據(jù)題設(shè),選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程. 2.根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程組; 3.解出a、b、r或D、E、F,代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程. 例3 已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓上(x + 1)2 + y2 = 4運(yùn)動,求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程. 解:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x,y),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(x0,y0)由于點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3)且M是線段AB中重點(diǎn),所以 ,① 于是有x0 = 2x – 4,y0 = 2y – 3 因?yàn)辄c(diǎn)A在圓(x + 1)2 + y2 = 4上運(yùn)動,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程(x + 1)2 + y2 = 4,即 (x0 + 1)2 + y02 = 4 ② 把①代入②,得 (2x – 4 + 1)2 + (2y – 3)2 = 4, 整理得 所以,點(diǎn)M的軌跡是以為圓心,半徑長為1的圓. M A x y O B 課堂練習(xí):課堂練習(xí)P130第1、2、3題. 教師和學(xué)生一起分析解題思路,再由教師板書. 分析:如圖點(diǎn)A運(yùn)動引起點(diǎn)M運(yùn)動,而點(diǎn)A在已知圓上運(yùn)動,點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程(x + 1)2 + y2 = 4.建立點(diǎn)M與點(diǎn)A坐標(biāo)之間的關(guān)系,就可以建立點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的條件,求出點(diǎn)M的軌跡方程. 歸納總結(jié) 1.圓的一般方程的特征 2.與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化 3.用待定系數(shù)法求圓的方程 4.求與圓有關(guān)的點(diǎn)的軌跡 教師和學(xué)生共同總結(jié) 讓學(xué)生更進(jìn)一步(回顧)體會知識的形成、發(fā)展、完善的過程. 課后作業(yè) 布置作業(yè):見習(xí)案4.1的第二課時 學(xué)生獨(dú)立完成 鞏固深化 備選例題 例1 下列各方程表示什么圖形?若表示圓,求出圓心和半徑. (1)x2 + y2 + x + 1 = 0; (2)x2 + y2 + 2ac + a2 = 0 (a≠0); (3)2x2 + 2y2 + 2ax – 2ay = 0 (a≠0). 【解析】(1)因?yàn)镈 = 1,E = 0,F(xiàn) = 1, 所以D2 + E2 – 4F<0 方程(1)不表示任何圖形; (2)因?yàn)镈 = 2a,E = 0,F(xiàn) = a2, 所以D2 + E2 – 4F = 4a2 – 4a2 = 0, 所以方程(2)表示點(diǎn)(–a,0); (3)兩邊同時除以2,得x2 + y2 + ax – ay = 0, 所以D = a,E = – a,F(xiàn) = 0. 所以D2 + E2 – 4F>0, 所以方程(3)表示圓,圓心為,半徑. 點(diǎn)評:也可以先將方程配方再判斷. 例2 已知一圓過P (4,–2)、Q(–1,3)兩點(diǎn),且在y軸上截得的線段長為,求圓的方程. 【分析】涉及與圓的弦長有關(guān)的問題時,為簡化運(yùn)算,則利用垂徑直徑定理和由半弦長、弦心距、半徑所構(gòu)成的三角形解之. 【解析】法一:設(shè)圓的方程為: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ① 將P、Q的坐標(biāo)分別代入①得 ② ③ 令x = 0,由①,得y2 + Ey + F = 0 ④ 由已知|y1 – y2| = ,其中y1,y2是方程④的兩根. ∴(y1 – y2)2 = (y1 + y2) – 4y1y2 = E2 – 4F = 48 ⑤ 解②③⑤聯(lián)立成的方程組,得 故所求方程為:x2 + y2 – 2x – 12 = 0或x2 + y2 – 10x – 8y + 4 = 0. 法二:求得PQ的中垂線方程為x – y – 1 = 0 ① ∵所求圓的圓心C在直線①上,故設(shè)其坐標(biāo)為(a,a – 1), 又圓C的半徑 ② 由已知圓C截y軸所得的線段長為,而圓C到y(tǒng)軸的距離為|a|. 代入②并將兩端平方,得a2 – 5a + 5 = 0, 解得a1 = 1,a2 = 5. ∴ 故所求的圓的方程為:(x – 1)2 + y2 = 13或(x – 5)2 + (y – 4)2 = 37. 【評析】(1)在解本題時,為簡化運(yùn)算,要避開直接去求圓和y軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo),否則計(jì)算要復(fù)雜得多. (2)涉及與圓的弦長有關(guān)問題,常用垂徑定理和由半弦長、弦心距及半徑所構(gòu)成的直角三角形解之,以簡化運(yùn)算. 例3 已知方程x2 + y2 – 2(t + 3)x + 2(1 – t2)y + 16t4 + 9 = 0表示一個圓,求 (1)t的取值范圍; (2)該圓半徑r的取值范圍. 【解析】原方程表示一個圓的條件是 D2 + E2 – 4F = 4(t + 3)2 + 4(1 – t2)2 – 4(16t 4 + 9)>0 即7t2 – 6t – 1<0,∴ (2) ∴ 來源:- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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