新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 課時(shí)作業(yè)45 空間向量及其運(yùn)算（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

課時(shí)作業(yè)45空間向量及其運(yùn)算一、選擇題1已知點(diǎn)A(3,0，4)，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，則|AB|等于(D)A12 B9C25 D10解析：點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0,4)，故|AB|10.2已知向量a(2，3,5)，b，且ab，則等于(C)A. B.C D解析：abakb3已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab與2ab互相垂直，則k的值為(D)A1B.C.D.解析：kab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，由題意知，3(k1)2k40，解得k.4已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a、b、c三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)等于(D)A. B.C. D.解析：由于a，b，c三個(gè)向量共面，所以存在實(shí)數(shù)m，n使得cmanb，即有解得m，n，.5設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四個(gè)點(diǎn)，且滿足·0，·0，·0，則BCD的形狀是(C)A鈍角三角形 B直角三角形C銳角三角形 D無(wú)法確定解析：·()·()···22>0，同理·>0，·>0，故BCD為銳角三角形故選C.6已知正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)N為B1B的中點(diǎn)，則|MN|等于(A)A.a B.aC.a D.a解析：()，|a.故選A.7在空間直角坐標(biāo)系O­xyz中，四面體ABCD各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,2,1)，B(2,2，1)，C(0,2,1)，D(0,0,1)，則該四面體外接球的表面積是(B)A16 B12C4 D6解析：通過(guò)各點(diǎn)坐標(biāo)可知，A，B，C，D四點(diǎn)恰為棱長(zhǎng)為2的正方體的四個(gè)頂點(diǎn)，故此四面體與對(duì)應(yīng)的正方體有共同的外接球，其半徑R為正方體體對(duì)角線的一半，則R，故該四面體外接球的表面積是4R212.故選B.8在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD­A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱AA1和AB上，且C1EEF，則AF的最大值為(B)A. B1C. D2解析：以AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則C1(4,4,4)設(shè)E(0,0，z)，z0,4，F(xiàn)(x,0,0)，x0,4，設(shè)AFx.故(4,4,4z)，(x,0，z)因?yàn)镃1EEF，所以·0，即z24x4z0，則xzz2(z2)21，所以當(dāng)z2時(shí)，x取得最大值1.所以AF的最大值為1.故選B.二、填空題9已知點(diǎn)P在z軸上，且滿足|OP|1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1,1)的距離為或.解析：由題意知，P(0,0,1)或P(0,0，1)|PA|.或|PA|.10已知空間四邊形OABC，點(diǎn)M、N分別是OA、BC的中點(diǎn)，且a，b，c，用a，b，c表示向量(bca)解析：如圖，()()()(2)()(bca)11已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)·取最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是.解析：由題意，設(shè)，即OQ(，2)，則(1，2，32)，(2，1，22)，·(1)(2)(2)(1)(32)(22)62161062，當(dāng)時(shí)有最小值，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為.三、解答題12已知a(1，3,2)，b(2,1,1)，點(diǎn)A(3，1,4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直線AB上，是否存在一點(diǎn)E，使得b？(O為原點(diǎn))解：(1)2ab(2，6,4)(2，1,1)(0，5,5)，故|2ab|5.(2)令t(tR)，所以t(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)，若b，則·b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t.因此存在點(diǎn)E，使得b，此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)13.如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)面PAD底面ABCD，且PAPDAD，設(shè)E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點(diǎn)(1)求證：EF平面PAD；(2)求證：平面PAB平面PDC.證明：(1)如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接OP，OF.因?yàn)镻APD，所以POAD.因?yàn)閭?cè)面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD.又O，F(xiàn)分別為AD，BD的中點(diǎn)，所以O(shè)FAB.又ABCD是正方形，所以O(shè)FAD.因?yàn)镻APDAD，所以PAPD，OPOA.以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OF，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A，F(xiàn)，D，P，B，C.因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以E.易知平面PAD的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，?#183;·0，又因?yàn)镋F平面PAD，所以EF平面PAD.(2)因?yàn)椋?0，a,0)，所以··(0，a,0)0，所以，所以PACD.又PAPD，PDCDD，PD，CD平面PDC，所以PA平面PDC.又PA平面PAB，所以平面PAB平面PDC.14如圖，已知正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，P是AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)M在側(cè)面AA1B1B內(nèi)若D1MCP，則BCM面積的最小值為(D)A8 B4C8 D.解析：以AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則P(0,0,2)，C(4,4,0)，D1(0,4,4)設(shè)M(a,0，b)，則(a，4，b4)，(4，4,2)D1MCP，·4a162b80，即b2a4.取AB的中點(diǎn)N，連接B1N，則點(diǎn)M的軌跡即為線段B1N.過(guò)B作BQB1N于點(diǎn)Q，則BQ，又BC平面ABB1A1，故BCBQ，SBCM的最小值為SBCM×4×.15如圖，平面ABCD平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形，AFDE，AFFE，AFAD2DE2.(1)求證：EF平面BAF；(2)若二面角A­BF­D的余弦值為，求AB的長(zhǎng)解：(1)證明：四邊形ABCD為矩形，BAAD，平面ABCD平面ADEF，又平面ABCD平面ADEFAD，BA平面ABCD，BA平面ADEF.又EF平面ADEF，BAEF.又AFEF，且AFBAA，EF平面BAF.(2)設(shè)ABx(x>0)以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，AF，F(xiàn)E所在直線分別為x軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系F­xyz，如圖則F(0,0,0)，E(0，0)，D(1，0)，B(2,0，x)，(1，0)，(2,0，x)由(1)知EF平面ABF，平面ABF的一個(gè)法向量可取n1(0,1,0)設(shè)n2(x1，y1，z1)為平面BFD的一個(gè)法向量，則即令y11，則n2.cosn1，n2，解得x(負(fù)值舍去)，AB.