新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 課時(shí)作業(yè)45 空間向量及其運(yùn)算（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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1、課時(shí)作業(yè)45　空間向量及其運(yùn)算 一、選擇題 1．已知點(diǎn)A(－3,0，－4)，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，則|AB|等于(　D　) A．12 B．9 C．25 D．10 解析：點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0,4)，故 |AB|＝＝10. 2．已知向量a＝(2，－3,5)，b＝，且a∥b，則λ等于(　C　) A. B. C．－ D．－ 解析：a∥b?a＝kb?? 3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值為(　D　) A．1　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析：ka＋b＝(k－1，k,2)，2a

2、－b＝(3,2，－2)，由題意知，3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝. 4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)λ等于(　D　) A. B. C. D. 解析：由于a，b，c三個(gè)向量共面，所以存在實(shí)數(shù)m，n使得c＝ma＋nb，即有 解得m＝，n＝，λ＝. 5．設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四個(gè)點(diǎn)，且滿足·＝0，·＝0，·＝0，則△BCD的形狀是(　C　) A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．無法確定 解析：·＝(－)·(－) ＝·－·－·＋2＝2>0， 同理·>0，·>0，故△BC

3、D為銳角三角形．故選C. 6．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，＝，點(diǎn)N為B1B的中點(diǎn)，則|MN|等于(　A　) A.a B.a C.a D.a 解析：∵＝－＝－＝＋－(＋＋)＝＋－， ∴||＝＝a.故選A. 7．在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，四面體ABCD各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,2,1)，B(2,2，－1)，C(0,2,1)，D(0,0,1)，則該四面體外接球的表面積是(　B　) A．16π B．12π C．4π D．6π 解析：通過各點(diǎn)坐標(biāo)可知，A，B，C，D四點(diǎn)恰為棱長為2的正方體的四個(gè)頂點(diǎn)，故此四面體與對(duì)應(yīng)的正方體有共同的外接球，其半徑R為正

4、方體體對(duì)角線的一半，則R＝＝，故該四面體外接球的表面積是4πR2＝12π.故選B. 8．在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，則AF的最大值為(　B　) A. B．1 C. D．2 解析：以AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則C1(4,4,4)． 設(shè)E(0,0，z)，z∈[0,4]，F(xiàn)(x,0,0)，x∈[0,4]，設(shè)AF＝x.故＝(4,4,4－z)，＝(x,0，－z)．因?yàn)镃1E⊥EF，所以·＝0，即z2＋4x－4z＝0，則x＝z－z2＝－(z－2)2＋1，所以當(dāng)z

5、＝2時(shí)，x取得最大值1.所以AF的最大值為1.故選B. 二、填空題 9．已知點(diǎn)P在z軸上，且滿足|OP|＝1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1,1)的距離為或. 解析：由題意知，P(0,0,1)或P(0,0，－1)． ∴|PA|＝＝. 或|PA|＝＝. 10．已知空間四邊形OABC，點(diǎn)M、N分別是OA、BC的中點(diǎn)，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量＝(b＋c－a)． 解析：如圖，＝(＋) ＝[(－)＋(－)] ＝(＋－2) ＝(＋－)＝(b＋c－a)． 11．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)

6、，當(dāng)·取最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是. 解析：由題意，設(shè)＝λ，即OQ＝(λ，λ，2λ)，則＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， ∴·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－，當(dāng)λ＝時(shí)有最小值，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為. 三、解答題 12．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，點(diǎn)A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)． (1)求|2a＋b|； (2)在直線AB上，是否存在一點(diǎn)E，使得⊥b？(O為原點(diǎn)) 解：(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2，1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝＝5.

7、 (2)令＝t(t∈R)，所以＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，若⊥b，則·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.因此存在點(diǎn)E， 使得⊥b，此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)為(－，－，)． 13.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，設(shè)E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點(diǎn)． (1)求證：EF∥平面PAD； (2)求證：平面PAB⊥平面PDC. 證明：(1)如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接OP，OF. 因?yàn)镻A＝PD，所以PO⊥AD. 因?yàn)閭?cè)面

8、PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD. 又O，F(xiàn)分別為AD，BD的中點(diǎn)，所以O(shè)F∥AB. 又ABCD是正方形，所以O(shè)F⊥AD. 因?yàn)镻A＝PD＝AD，所以PA⊥PD，OP＝OA＝. 以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OF，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A，F(xiàn)，D，P，B，C. 因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以E.易知平面PAD的一個(gè)法向量為＝，因?yàn)椋剑摇ぃ健ぃ?， 又因?yàn)镋F?平面PAD，所以EF∥平面PAD. (2)因?yàn)椋?，?0，－a,0)， 所以·＝·(0，－a,0)＝0， 所以⊥，所以PA⊥CD. 又PA

9、⊥PD，PD∩CD＝D，PD，CD?平面PDC，所以PA⊥平面PDC. 又PA?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC. 14．如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，P是AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)M在側(cè)面AA1B1B內(nèi)．若D1M⊥CP，則△BCM面積的最小值為(　D　) A．8 B．4 C．8 D. 解析：以AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則P(0,0,2)，C(4,4,0)，D1(0,4,4)．設(shè)M(a,0，b)，則＝(a，－4，b－4)，＝(－4，－4,2)．∵D1M⊥CP，∴·＝－4a＋16＋2b－8＝0，即b

10、＝2a－4.取AB的中點(diǎn)N，連接B1N，則點(diǎn)M的軌跡即為線段B1N.過B作BQ⊥B1N于點(diǎn)Q，則BQ＝＝，又BC⊥平面ABB1A1，故BC⊥BQ，∴S△BCM的最小值為S△BCM＝×4×＝. 15．如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2DE＝2. (1)求證：EF⊥平面BAF； (2)若二面角A-BF-D的余弦值為，求AB的長． 解：(1)證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴BA⊥AD， ∵平面ABCD⊥平面ADEF，又平面ABCD∩平面ADEF＝AD，BA?平面ABCD，∴BA⊥平面ADEF. 又EF?平面ADEF，∴BA⊥EF. 又AF⊥EF，且AF∩BA＝A，∴EF⊥平面BAF. (2)設(shè)AB＝x(x>0)．以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，AF，F(xiàn)E所在直線分別為x軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系F-xyz，如圖． 則F(0,0,0)，E(0，，0)，D(－1，，0)，B(－2,0，x)， ∴＝(1，－，0)，＝(2,0，－x)． 由(1)知EF⊥平面ABF， ∴平面ABF的一個(gè)法向量可取n1＝(0,1,0)． 設(shè)n2＝(x1，y1，z1)為平面BFD的一個(gè)法向量， 則即 令y1＝1，則n2＝. ∵cos〈n1，n2〉＝＝＝， 解得x＝(負(fù)值舍去)，∴AB＝.