新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)6 直線與圓、拋物線 橢圓 雙曲線（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

《新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)6 直線與圓、拋物線 橢圓 雙曲線（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)6 直線與圓、拋物線 橢圓 雙曲線（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題（35頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題限時集訓(xùn)(六)　直線與圓、拋物線　橢圓　雙曲線 1．[多選](2020·新高考全國卷Ⅰ)已知曲線C：mx2＋ny2＝1(　　) A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上 B．若m＝n>0，則C是圓，其半徑為 C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±x D．若m＝0，n>0，則C是兩條直線 ACD　[對于選項A，∵m>n>0，∴0<<，方程mx2＋ny2＝1可變形為＋＝1，∴該方程表示焦點在y軸上的橢圓，正確；對于選項B，∵m＝n>0，∴方程mx2＋ny2＝1可變形為x2＋y2＝，該方程表示半徑為的圓，錯誤；對于選項C，∵mn<0，∴該方程表示雙曲線，令mx2

2、＋ny2＝0?y＝±x，正確；對于選項D，∵m＝0，n>0，∴方程mx2＋ny2＝1變形為ny2＝1?y＝±，該方程表示兩條直線，正確．綜上選ACD．] 2．(2020·全國卷Ⅱ)若過點(2，1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2x－y－3＝0的距離為(　　) A．　 B．　　　C．　　　D． B　[因為圓與兩坐標(biāo)軸都相切，點(2，1)在該圓上，所以可設(shè)該圓的方程為(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，所以圓心的坐標(biāo)為(1，1)或(5，5)，所以圓心到直線2x－y－3＝0的距離為＝或＝，故選B．]

3、 3．(2020·全國卷Ⅰ)已知A為拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p＝(　　) A．2 B．3 C．6 D．9 C　[法一：因為點A到y(tǒng)軸的距離為9，所以可設(shè)點A(9，yA)，所以y＝18p.又點A到焦點的距離為12，所以＝12，所以＋18p＝122，即p2＋36p－252＝0，解得p＝－42(舍去)或p＝6.故選C． 法二：根據(jù)拋物線的定義及題意得，點A到C的準(zhǔn)線x＝－的距離為12，因為點A到y(tǒng)軸的距離為9，所以＝12－9＝3，解得p＝6.故選C．] 4．(2016·全國卷Ⅰ)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，

4、交C的準(zhǔn)線于D，E兩點．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 C　[設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，圓的方程為x2＋y2＝r2. ∵|AB|＝4，|DE|＝2， 拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－， ∴不妨設(shè)A，D. ∵點A，D在圓x2＋y2＝r2上， ∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(負(fù)值舍去)． ∴C的焦點到準(zhǔn)線的距離為4.] 5．(2020·全國卷Ⅰ)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直線l：2x＋y＋2＝0，P為l上的動點．過點P作⊙M的切線PA，PB，切點為A，B，當(dāng)|PM|·|AB|最小時，直線AB的

5、方程為(　　) A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0 D　[法一：由⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0?、伲? 得⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圓心M(1，1)．如圖，連接AM，BM，易知四邊形PAMB的面積為|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四邊形PAMB的面積最小，即只需△PAM的面積最小．因為|AM|＝2，所以只需|PA|最小．又|PA|＝＝，所以只需直線2x＋y＋2＝0上的動點P到M的距離最小，其最小值為＝，此時PM⊥l，易求出直線PM的方程為x－2y＋1＝0.由得所以P(－1，0)．易知P，A，M

6、，B四點共圓，所以以PM為直徑的圓的方程為x2＋＝，即x2＋y2－y－1＝0?、冢散佗诘?，直線AB的方程為2x＋y＋1＝0，故選D． 法二：因為⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圓心M(1，1)． 連接AM，BM，易知四邊形PAMB的面積為|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四邊形PAMB的面積最小，即只需△PAM的面積最?。驗閨AM|＝2，所以只需|PA|最?。? 又|PA|＝＝，所以只需|PM|最小，此時PM⊥l.因為PM⊥AB，所以l∥AB，所以kAB＝－2，排除A，C． 易求出直線PM的方程為x－2y＋1＝0，由得所以P(－1，0)．因為點M到直線x＝

7、－1的距離為2，所以直線x＝－1過點P且與⊙M相切，所以A(－1，1)．因為點A(－1，1)在直線AB上，故排除B．故選D．] 6．(2018·全國卷Ⅰ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點(－2，0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則·＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 D　[法一：過點(－2，0)且斜率為的直線的方程為y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨設(shè)M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以＝(0，2)，＝(3，4)，所以·＝8.故選D． 法二：過點(－2，0)且斜率為的直線的方程為y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4

8、＝0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1＞0，y2＞0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1，0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝4－5＋1＋8＝8.故選D．] 7．(2020·全國卷Ⅰ)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2－＝1的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，點P在C上且|OP|＝2，則△PF1F2的面積為(　　) A． B．3 C． D．2 B　[法一：設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點，則由題意可知F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，又|OP|＝2，所以|O

9、P|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16.不妨令點P在雙曲線C的右支上，則有|PF1|－|PF2|＝2，兩邊平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，又|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝6，則S＝|PF1|·|PF2|＝×6＝3，故選B． 法二：設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點，則由題意可知F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以S＝＝＝3(其中θ＝∠F1PF2)，故選B．] 8．

10、(2020·全國卷Ⅲ)若直線l與曲線y＝和圓x2＋y2＝都相切，則l的方程為(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋ C．y＝x＋1 D．y＝x＋ D　[易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b，則＝①，設(shè)直線l與曲線y＝的切點坐標(biāo)為(x0，)(x0＞0)，則y′|x＝x0＝x0－＝k②，＝kx0＋b③，由②③可得b＝，將b＝，k＝x0－代入①得x0＝1或x0＝－(舍去)，所以k＝b＝，故直線l的方程為y＝x＋.] 9．(2016·全國卷Ⅰ)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：－＝1的左，右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則E的離心率為(　　) A． B

11、． C． D．2 A　[法一：如圖，因為MF1與x軸垂直，所以|MF1|＝.又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|.由雙曲線的定義得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以離心率e＝＝. 法二：如圖，因為MF1⊥x軸，所以|MF1|＝. 在Rt△MF1F2中，由sin∠MF2F1＝得 tan∠MF2F1＝. 所以＝，即＝，即＝， 整理得c2－ac－a2＝0， 兩邊同除以a2得e2－e－1＝0. 解得e＝(負(fù)值舍去)．] 10．(2018·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－y2＝1，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為C的右

12、焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝(　　) A． B．3 C．2 D．4 B　[因為雙曲線－y2＝1的漸近線方程為y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨設(shè)過點F的直線與直線y＝x交于點M，由△OMN為直角三角形，不妨設(shè)∠OMN＝90°，則∠MFO＝60°，又直線MN過點F(2，0)，所以直線MN的方程為y＝－(x－2)， 由得所以M，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3，故選B．] 11．(2019·全國卷Ⅱ)設(shè)F為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩

13、點．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為(　　) A． B． C．2 D． A　[ 如圖，由題意，知以O(shè)F為直徑的圓的方程為＋y2＝①，將x2＋y2＝a2記為②式，①－②得x＝，則以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2的相交弦所在直線的方程為x＝，所以|PQ|＝2.由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故選A．] 12．(2020·全國卷Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線x＝a與雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點．若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為(　　) A．4 B．8 C．16

14、 D．32 B　[由題意知雙曲線C的漸近線方程為y＝±x.因為D，E分別為直線x＝a與雙曲線C的兩條漸近線的交點，所以不妨設(shè)D(a，b)，E(a，－b)，所以S△ODE＝×a×|DE|＝×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時，等號成立，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值為8，故選B．] 13．(2016·全國卷Ⅲ)已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點，A，B分別為C的左、右頂點．P為C上一點，且PF⊥x軸．過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為(　　) A．

15、B． C． D． A　[如圖所示，由題意得 A(－a，0)，B(a，0)，F(xiàn)(－c，0)． 由PF⊥x軸得P. 設(shè)E(0，m)， 又PF∥OE，得＝， 則|MF|＝. ① 又由OE∥MF，得＝， 則|MF|＝. ② 由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，∴e＝＝. 故選A．] 14．(2018·全國卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為(　　) A． B． C． D． D　[由題意可得橢圓的焦點在x軸上，如圖所示，設(shè)|F

16、1F2|＝2c，∵△PF1F2為等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，∴點P坐標(biāo)為(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即點P(2c，c)．∵點P在過點A，且斜率為的直線上，∴＝，解得＝，∴e＝，故選D．] 15．(2019·全國卷Ⅲ)雙曲線C：－＝1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點．若|PO|＝|PF|，則△PFO的面積為(　　) A． B． C．2 D．3 A　[不妨設(shè)點P在第一象限，根據(jù)題意可知c2＝6，所以|OF|＝.又tan∠POF＝＝，所以等腰三角形POF的高h(yuǎn)＝×＝，所以S△PFO＝××＝

17、.] 16．(2019·全國卷Ⅰ)已知橢圓C的焦點為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為(　　) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 B　[由題意設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a＞b＞0)，連接F1A(圖略)，令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由橢圓的定義知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，則點A為橢圓C的上頂點或下頂點．令∠OAF2＝θ(O為坐標(biāo)原點)，則sin θ＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，所以＝1－2，得a2＝3.又

18、c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，橢圓C的方程為＋＝1.故選B．] 17．(2018·全國卷Ⅲ)已知點M(－1，1)和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點．若∠AMB＝90°，則k＝________. 2　[法一：由題意知拋物線的焦點為(1，0)，則過C的焦點且斜率為k的直線方程為y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝1.由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，則y1＋y2＝，y1y2＝－4.由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y

19、1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，將x1＋x2＝，x1x2＝1與y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2. 法二：設(shè)拋物線的焦點為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 所以y－y＝4(x1－x2)，則k＝＝.取AB的中點M′(x0，y0)，分別過點A，B作準(zhǔn)線x＝－1的垂線，垂足分別為A′，B′，又∠AMB＝90°，點M在準(zhǔn)線x＝－1上，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．又M′為AB的中點，所以MM′平行于x軸，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2.] 18．(2019·

20、全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若＝，·＝0，則C的離心率為________． 2　[法一：因為·＝0，所以F1B⊥F2B，如圖． 所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因為＝，所以點A為F1B的中點，又點O為F1F2的中點，所以O(shè)A∥BF2，所以F1B⊥OA，因為直線OA，OB為雙曲線C的兩條漸近線，所以tan∠BF1O＝，tan∠BOF2＝.因為tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝

21、c，所以雙曲線的離心率e＝＝2. 法二：因為·＝0，所以F1B⊥F2B，在Rt△F1BF2中，|OB|＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B，又＝，所以A為F1B的中點，所以O(shè)A∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B．又∠F1OA＝∠BOF2，所以△OBF2為等邊三角形．由F2(c，0)可得B，因為點B在直線y＝x上，所以c＝·，所以＝，所以e＝＝2.] 19．(2019·全國卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：＋＝1的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為____________． (3，)　[不妨令F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點，根據(jù)題意可知c＝＝4

22、.因為△MF1F2為等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.設(shè)M(x，y)，則得所以M的坐標(biāo)為(3，)． 一題多解：依題意得|F1F2|＝|F1M|＝8，|F2M|＝4，cos∠MF1F2＝＝，則tan∠MF1F2＝. 所以直線MF1的方程為y－0＝(x＋4)． 設(shè)M(6cos θ，2sin θ)，因為M點在直線MF1上， 所以2sin θ＝(6cos θ＋4)， 結(jié)合sin2θ＋cos2θ＝1且sin θ＞0，cos θ＞0得cos θ＝，sin θ＝，即M點的坐標(biāo)為(3，)．] 1．(2020·武漢部分學(xué)校質(zhì)量檢測)已知雙曲線E：－＝1的離心

23、率為，則雙曲線E的焦距為(　　) A．4　　 B．5　　　　C．8　　　　D．10 D　[因為a＝4，離心率e＝＝，所以c＝5，所以雙曲線的焦距2c＝10，選D．] 2．(2020·中山模擬)如圖，橢圓＋＝1(a＞b＞0)的上頂點、左頂點、左焦點分別為B，A，F(xiàn)，中心為O，其離心率為，則S△ABF∶S△BFO＝(　　) A．1∶1 B．1∶2 C．(2－)∶2 D．∶2 A　[由題意可知，S△ABF＝(a－c)·b，S△BFO＝cb，則＝＝＝－1＝2－1＝1.故選A．] 3．(2020·惠州第一次調(diào)研)設(shè)雙曲線的一條漸近線為直線y＝2x，且一個焦點與拋物線y2＝4x的

24、焦點相同，則此雙曲線的方程為(　　) A．x2－5y2＝1 B．5y2－x2＝1 C．5x2－y2＝1 D．y2－5x2＝1 C　[拋物線y2＝4x的焦點為點(1，0)，則雙曲線的一個焦點為點(1，0)，設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)， 由題意可得，得，所以所求方程為5x2－y2＝1，選C．] 4．(2020·長沙模擬)過坐標(biāo)原點O作圓(x－3)2＋(y－4)2＝1的兩條切線，切點為A，B，直線AB被圓截得的弦長為(　　) A． B． C． D． B　[設(shè)圓心為P，由切線長定理可知|OA|＝|OB|，且OA⊥PA，OB⊥PB，|OP|＝＝5，半徑r＝1，所以|

25、OA|＝|OB|＝2. 因為AB⊥OP，所以S四邊形OAPB＝|OP|·|AB|＝2S△OAP，所以|AB|＝＝＝.選B．] 5．(2020·太原模擬)設(shè)橢圓E的兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與橢圓E交于P，Q兩點．若△PF1F2為直角三角形，則橢圓E的離心率為(　　) A．－1 B． C． D．＋1 A　[不妨設(shè)橢圓E的焦點在x軸上，如圖所示． ∵△PF1F2為直角三角形，∴∠PF1F2＝90°，∴|PF1|＝|F1F2|＝2c，|PF2|＝2c， 則|PF1|＋|PF2|＝2c＋2c＝2a，解得e＝＝－1. 故選A．] 6．(2020

26、·平頂山模擬)若傾斜角為60°的直線l與圓C：x2＋y2－6y＋3＝0交于M，N兩點，且∠CMN＝30°，則直線l的方程為(　　) A．x－y＋3＋＝0或x－y＋3－＝0 B．x－y＋2＋＝0或x－y＋2－＝0 C．x－y＋＝0或x－y－＝0 D．x－y＋1＋＝0或x－y＋1－＝0 A　[依題意，圓C：x2＋(y－3)2＝6. 設(shè)直線l：x－y＋m＝0， 由∠CMN＝30°，且圓的半徑r＝，得圓心C到直線l的距離d＝＝，解得m＝3±. 故直線l的方程為x－y＋3＋＝0或x－y＋3－＝0. 故選A．] 7．(2020·鄭州模擬)已知點A(－5，0)，B(－1，－3)，若圓C：

27、x2＋y2＝r2(r＞0)上恰有兩點M，N，使得△MAB和△NAB的面積均為5，則r的取值范圍是(　　) A．(1，) B．(1，5) C．(2，5) D．(2，) B　[由題意可得|AB|＝＝5，根據(jù)△MAB和△NAB的面積均為5，可得兩點M，N到直線AB的距離為2. 由于直線AB的方程為3x＋4y＋15＝0，若圓上只有一個點到直線AB的距離為2，則有圓心(0，0)到直線AB的距離＝r＋2，解得r＝1； 若圓上只有三個點到直線AB的距離為2，則有圓心(0，0)到直線AB的距離＝r－2，解得r＝5. 所以實數(shù)r的取值范圍是(1，5)．故選B．] 8．(2020·廈門模擬)如圖，已

28、知圓O：x2＋y2＝r2(r＞0)與直線x＋y－2＝0相交于A，B兩點，C為圓上的一點，OC的中點D在線段AB上，且3＝5，則圓O的半徑r為(　　) A． B． C． D．2 C　[如圖，過O作OE⊥AB于E，連接OA，OB，則OE＝，由垂徑定理得|AE|＝|EB|. 設(shè)|DE|＝x，則由3＝5可知|AE|＝4x， 由勾股定理得(4x)2＋2＝r2，x2＋2＝，解得r＝.故選C．] 9．(2020·洛陽尖子生第一次聯(lián)考)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線上一點，且|PF1|＝2|PF2|，若sin∠F1PF2＝，則該雙曲線的離心率

29、等于(　　) A． B．2 C．或2 D．＋1或 C　[∵P為雙曲線上一點，且|PF1|＝2|PF2|，∴由雙曲線的定義|PF1|－|PF2|＝2a， 得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a. 在△PF1F2中，|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c. ∵sin∠F1PF2＝，∴cos∠F1PF2＝±. 當(dāng)cos∠F1PF2＝時，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，即4c2＝16a2，∴e＝2； 當(dāng)cos∠F1PF2＝－時，得4c2＝24a2，∴e＝. 綜上可知e＝2或e＝，故選C．] 10．(

30、2020·合肥調(diào)研)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，斜率為k的直線過焦點F交C于點A，B，＝2，則直線AB的斜率為(　　) A．2 B．2 C．±2 D．±2 C　[法一：由題意知k≠0，F(xiàn)，則直線AB的方程為y＝k，代入拋物線方程消去x，得y2－y－p2＝0. 不妨設(shè)A(x1，y1)(x1＞0，y1＞0)，B(x2，y2)，因為＝2，所以y1＝－2y2. 又y1y2＝－p2，所以y2＝－p，x2＝，所以kAB＝＝2. 根據(jù)對稱性可得直線AB的斜率為±2，故選C． 法二：如圖，過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為D，E，設(shè)直線AB交準(zhǔn)線于M，由拋物線的定義知|A

31、F|＝|AD|，|BF|＝|BE|，結(jié)合＝2，知|BE|＝|AD|＝|AB|，則BE為△AMD的中位線，所以|AB|＝|BM|，所以|BE|＝|BM|，所以|ME|＝＝2|BE|，所以tan∠MBE＝＝2，即此時直線AB的斜率為2. 根據(jù)對稱性可得直線AB的斜率為±2.] 11．(2020·臨沂模擬)已知雙曲線C：－＝1(b＞0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點，過點F2的直線l交雙曲線C的左、右支分別于A，B兩點，且|AF1|＝|BF1|，則|AB|＝(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 C　[如圖，由雙曲線可得a＝4，設(shè)|AF1|＝|BF1|＝m， 由

32、雙曲線的定義可得|AF2|＝|AF1|＋2a＝2a＋m，|BF2|＝|BF1|－2a＝m－2a，可得|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2a＋m－(m－2a)＝4a＝16.故選C．] 12．(2020·貴陽模擬)已知點F1是拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點，點F2為拋物線C的對稱軸與其準(zhǔn)線的交點，過F2作拋物線C的切線，設(shè)其中一個切點為A，若點A恰好在以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為(　　) A．－1 B．2－1 C．＋1 D． C　[由題意知F1，F(xiàn)2，設(shè)直線F2A的方程為y＝kx－，代入拋物線C：x2＝2py，整理得x2－2pkx＋p2＝0， ∴Δ＝4k2

33、p2－4p2＝0，解得k＝±1，不妨取A，則|AF1|＝p，|AF2|＝＝p. 設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則2a＝|AF2|－|AF1|＝(－1)p，2c＝p，∴雙曲線的離心率e＝＝＝＋1.] 13．(2020·德州模擬)過拋物線y2＝4x的焦點作兩條互相垂直的弦AB，CD，則四邊形ABCD面積的最小值為(　　) A．8 B．16 C．32 D．64 C　[焦點F的坐標(biāo)為(1，0)，所以可設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，代入y2＝4x并整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 所以x1＋x2＝2＋，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋. 同理可得|CD|＝4

34、＋4k2. 所以四邊形ACBD的面積 S＝|AB||CD|＝··4(k2＋1)＝8·＝8≥32，當(dāng)且僅當(dāng)k＝±1時取等號．故選C．] 14．[多選](2020·淄博模擬)已知一族雙曲線En：x2－y2＝(n∈N*，且n≤2 019)，設(shè)直線x＝2與En在第一象限內(nèi)的交點為An，點An在En的兩條漸近線上的射影分別為Bn，Cn. 記△AnBnCn的面積為an，則下列說法正確的是(　　) A．雙曲線的漸近線方程為y＝±x B．a(chǎn)n＝ C．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列 D．a(chǎn)1＋a2＋…＋a2 019＝ ACD　[因為雙曲線的方程為x2－y2＝(n∈N*，且n≤2 019)，所以其漸近線

35、方程為y＝±x，設(shè)點An(2，yn)，則4－y＝(n∈N*，且n≤2 019)． 記An(2，yn)到兩條漸近線的距離分別為d1，d2，則S△AnBnCn＝d1d2＝××＝＝＝，故an＝，因此{(lán)an}為等差數(shù)列，故a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝×2 019＋×＝.故選ACD．] 15．[多選](2020·聊城模擬)已知O為坐標(biāo)原點，過點P(a，－1)作兩條直線與拋物線C：x2＝4y分別相切于點A，B，AB的中點為M，則下列結(jié)論中正確的是(　　) A．直線AB過定點(0，2) B．直線PM的斜率不存在 C．y軸上存在一點N，使得直線NA與NB始終關(guān)于y軸對稱 D．A，B兩點到拋

36、物線準(zhǔn)線的距離的倒數(shù)之和為定值 BCD　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因為y＝x2，所以y′＝x，所以以A為切點的切線方程為y－y1＝x1(x－x1)，即y－x＝x1x－x，得y＝x1x－x　 ①. 同理可得以B為切點的切線方程為y＝x2x－x　 ②， 將(a，－1)分別代入①②，可得－1＝x1－y1，－1＝x2－y2， 所以直線AB的方程為x－y＋1＝0，所以直線AB過定點(0，1)，故A錯誤． 由可得x2－2ax－4＝0，Δ＝4a2＋16＞0， 則x1＋x2＝2a，x1x2＝－4，所以點M的橫坐標(biāo)為＝a， 所以PM⊥x軸，故B正確． 設(shè)N(0，b)，直線NA，NB

37、的斜率分別為k1，k2. 由題意得x1≠0，x2≠0， 所以k1＋k2＝＋＝＝. 當(dāng)b＝－1時，有k1＋k2＝0，則直線NA與直線NB關(guān)于y軸對稱，故C正確． 因為點A到準(zhǔn)線的距離為y1＋1，點B到準(zhǔn)線的距離為y2＋1， 所以＋＝＝＝＝1，故D正確．] 16．[多選](2020·菏澤模擬)已知雙曲線－＝1(a＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點，P是雙曲線上一點，且滿足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1＝2，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．點P在雙曲線的右支上 B．點在雙曲線的漸近線上 C．雙曲線的離心率為 D．雙曲線上任一點到兩漸近線距離之和的最小值

38、等于4 ABC　[連接PF1(圖略)，由題意知|F1F2|＝2|OP|＝2c，則PF1⊥PF2，因為tan∠PF2F1＝2，所以＝2，因此|PF1|＞|PF2|，故點P在雙曲線的右支上，A項正確；由于|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，所以(4a)2＋(2a)2＝(2c)2， 整理得c2＝5a2，則e＝，C正確； 又e＝＝＝， 所以＝2，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±2x，易知點在雙曲線的漸近線上，故B項正確； 由于b2＝5，所以a2＝，所以雙曲線的方程為－＝1， 設(shè)M(x0，y0)為雙曲線上任意一點，則點M到漸近線y＝2x的距離d1＝，點M到漸近

39、線y＝－2x的距離d2＝，因此d1d2＝，又－＝1，于是d1d2＝1，因此由基本不等式得d1＋d2≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)d1＝d2時取等號，故雙曲線上任一點到兩漸近線距離之和的最小值等于2.故D項錯誤．故選ABC．] 17．[多選](2020·青島模擬)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準(zhǔn)線與x軸相交于點M，經(jīng)過M且斜率為k的直線l與拋物線相交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＞x2，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．－1＜k＜1 B．y1y2＝8x1x2 C．∠AFB可能為直角 D．當(dāng)k2＝時，△AFB的面積為16 CD　[依題意知F(2，0)，M(－2，0)，直線l的方

40、程為y＝k(x＋2)，聯(lián)立得消去y得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0. 因為直線l與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點， 所以解得－1＜k＜1且k≠0，故A選項錯誤； 因為x1x2＝＝4，所以yy＝8x1×8x2＝64×4＝256， 由于y1，y2同號，所以y1y2＝16，于是y1y2＝4x1x2，故B選項錯誤； 由于＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)， 所以·＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝4－2·＋4＋16＝32－，當(dāng)k2＝時，·＝0，∠AFB為直角，故C選項正確； △AFB的面積S＝S△MFA－S△MFB＝|MF|·|y1－y2|＝

41、2，當(dāng)k2＝時，y1＋y2＝k(x1＋2)＋k(x2＋2)＝k(x1＋x2＋4)＝16k， 因此S＝2＝16，故選項D正確．] 18．(2020·安徽示范高中名校聯(lián)考)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，以F2為圓心的圓過橢圓的中心，且與橢圓交于點P，若直線PF1恰好與圓F2相切于點P，則橢圓的離心率為________． －1　[由題意可知PF1⊥PF2，且|PF2|＝c，所以|PF1|＝c，根據(jù)橢圓的定義可得|PF1|＋|PF2|＝2a，即(＋1)c＝2a，所以e＝＝＝－1.] 19．[一題兩空](2020·臨沂模擬)已知雙曲線C：－＝1(a＞b＞0)的左、右焦

42、點分別為F1，F(xiàn)2，兩條漸近線的夾角為60°，則漸近線方程為________，過點F1作x軸的垂線，交雙曲線的左支于M，N兩點，若△MNF2的面積為4，則該雙曲線的方程為________． y＝±x?。?　[因為雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60°，a＞b＞0，所以＝　①， 則漸近線方程為y＝±x. 易知F1(－c，0)，所以直線MN的方程為x＝－c，代入雙曲線的方程得y＝±， 所以△MNF2的面積S＝|F1F2|·|MN|＝×2c×＝＝4　②. 又a2＋b2＝c2?、?， 所以由①②③得a＝3，b＝，c＝2，故該雙曲線的方程為－＝1.] 20．[一題兩空](2020·濱州模擬)已

43、知M(a，4)是拋物線C：x2＝2py(p＞0)上一點，且位于第一象限，點M到拋物線C的焦點F的距離為6，則a＝________；若過點P(3，4)向拋物線C作兩條切線，切點分別為A，B，則|AF|·|BF|＝________. 4　49　[由拋物線的定義得4＋＝6，解得p＝4，所以拋物線C的方程為x2＝8y，將(a，4)代入，可得a＝4. 易知點P不在拋物線上，設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)． 又y′＝x，所以拋物線C在點A處的切線方程為y－y1＝(x－x1)，將(3，4)代入并結(jié)合x＝8y1，得3x1－4y1－16＝0，同理得拋物線C在點B處的切線方程為3x2－

44、4y2－16＝0，于是直線AB的方程為3x－4y－16＝0. 將3x－4y－16＝0代入x2＝8y，整理得2y2－29y＋32＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝16， 故|AF|·|BF|＝(y1＋2)·(y2＋2)＝y(tǒng)1y2＋2(y1＋y2)＋4＝49.] 21．(2020·石家莊模擬)已知點E在y軸上，點F是拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點，直線EF與拋物線交于M，N兩點，若點M為線段EF的中點，且|NF|＝12，則p＝________. 8　[如圖，由題意知F. ∵M為EF的中點， ∴點M的橫坐標(biāo)為. 設(shè)直線EF的方程為y＝k，k≠0. 由， 得k2x2－(k2p

45、＋2p)x＋＝0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 則 ∵x1＝，∴x2＝p. 當(dāng)x＝p時，y2＝2p2，∴N(p，±p)． ∵|NF|2＝＋(±p)2， ∴144＝＋2p2，∴p2＝64，∵p＞0，∴p＝8.] 22．(2020·濟南模擬)已知點A(0，1)，拋物線C：y2＝ax(a＞0)的焦點為F，連接FA，與拋物線C相交于點M，延長FA，與拋物線C的準(zhǔn)線相交于點N，若|FM|∶|MN|＝1∶2，則實數(shù)a的值為________． 　[法一：依題意得拋物線的焦點F的坐標(biāo)為，過M作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為K，由拋物線的定義知|MF|＝|MK|. 因為|FM|∶|MN|＝

46、1∶2，所以|KN|∶|KM|＝∶1，又kFN＝＝－，kFN＝－＝－， 所以－＝－，解得a＝. 法二：因為A(0，1)，拋物線C：y2＝ax(a＞0)的焦點為F，準(zhǔn)線方程為x＝－，所以AF的方程為4x＋ay－a＝0，所以N. 因為|FM|∶|MN|＝1∶2，所以|FM|＝|FN|，所以xM＝，yM＝. 因為(xM，yM)在拋物線上，所以＝，得a＝.] 1．設(shè)雙曲線C：－＝1(a＞b＞0)的兩條漸近線的夾角為α，且cos α＝，則C的離心率為(　　) A．　　 B．　　　　C．　　　　D．2 B　[∵a＞b＞0，∴漸近線y＝x的斜率小于1，∵兩條漸近線的夾角為α，且cos α＝

47、，∴cos2＝，sin2＝，tan2＝，∴＝，∴＝，∴e2＝，e＝.故選B．] 2．若雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線被圓x2＋(y－2)2＝2截得的弦長為2，則雙曲線C的離心率為(　　) A． B．2 C． D．2 B　[設(shè)圓心到雙曲線的漸近線的距離為d，由弦長公式可得，2＝2，解得d＝1，又雙曲線C的漸近線方程為bx±ay＝0，圓心坐標(biāo)為(0，2)，故＝1，即＝1，所以雙曲線C的離心率e＝＝2.故選B．] 3．[多選]已知雙曲線C過點(3，)且漸近線為y＝±x，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．C的方程為－y2＝1 B．C的離心率為 C．曲線y＝ex－2－1

48、經(jīng)過C的一個焦點 D．直線x－y－1＝0與C有兩個公共點 AC　[因為漸近線方程為y＝±x，所以可設(shè)雙曲線方程為－＝λ，代入點(3，)，得λ＝，所以雙曲線方程為－y2＝1，選項A正確；該雙曲線的離心率為≠，選項B不正確；雙曲線的焦點為(±2，0)，曲線y＝ex－2－1經(jīng)過雙曲線的焦點(2，0)，選項C正確；把x＝y(tǒng)＋1代入雙曲線方程，得y2－2y＋2＝0，解得y＝，故直線x－y－1＝0與曲線C只有一個公共點，選項D不正確．] 4．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1作圓x2＋y2＝a2的切線，交雙曲線右支于點M.若∠F1MF2＝45°，則雙曲線的漸近線

49、方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x A　[如圖，作OA⊥F1M于點A，F(xiàn)2B⊥F1M于點B． 因為F1M與圓x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°，所以|OA|＝a，|F2B|＝|BM|＝2a，|F2M|＝2a，|F1B|＝2b.又點M在雙曲線上．所以|F1M|－|F2M|＝2a＋2b－2a＝2a，整理得b＝a.所以＝.所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x.故選A．] 5．如果圓C1：(x＋m)2＋(y＋m)2＝8上總存在到點(0，0)的距離為的點，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．[－3，3] B．(－3，3) C．(－3，－1]∪[1

50、，3) D．[－3，－1]∪[1，3] D　[由題意知，圓C1：(x＋m)2＋(y＋m)2＝8與圓C2：x2＋y2＝2存在公共點，所以2－≤≤2＋，解得－3≤m≤－1或1≤m≤3.故選D．] 6．已知F2為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點，直線y＝kx交雙曲線C于A，B兩點．若∠AF2B＝，S△AF2B＝2，則雙曲線C的虛軸長為(　　) A．1 B．2 C．2 D．2 C　[設(shè)雙曲線C的左焦點為F1，連接AF1，BF1(圖略)，由對稱性可知四邊形AF1BF2是平行四邊形，所以S＝2，∠F1AF2＝. 設(shè)|AF1|＝r1，|AF2|＝r2，則4c2＝r＋r－2r1r2c

51、os. 又|r1－r2|＝2a，故r1r2＝4b2. 又S＝r1r2sin＝2，所以b2＝2，則該雙曲線的虛軸長為2.故選C．] 7．已知拋物線y2＝4x的焦點F，點A(4，3)，P為拋物線上一點，且點P不在直線AF上，則當(dāng)△PAF周長取最小值時，線段PF的長為(　　) A．1 B． C．5 D． B　[如圖，求△PAF周長的最小值，即求|PA|＋|PF|的最小值． 設(shè)點P在準(zhǔn)線上的投影為D，根據(jù)拋物線的定義，可知|PF|＝|PD|，因此|PA|＋|PF|的最小值，即|PA|＋|PD|的最小值，可得當(dāng)D，P，A三點共線時，|PA|＋|PD|最小，此時P，F(xiàn)(1，0)，線段

52、PF的長為＋1＝.故選B．] 8．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓C于A，B兩點．若|AF|＋|BF|＝4，點M到直線l的距離不小于，則橢圓C的離心率的取值范圍為(　　) A． B． C． D． A　[如圖所示，設(shè)F′為橢圓C的左焦點，連接AF′，BF′， 則四邊形AFBF′是平行四邊形，∴4＝|AF|＋|BF|＝|AF′|＋|AF|＝2a，∴a＝2.不妨取M(0，b)，∵點M到直線l的距離不小于，∴≥，解得b≥1，∴e＝＝≤＝，即橢圓C的離心率的取值范圍是.故選A．] 9．雙曲線E：－＝1(a＞0，b＞0)

53、的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1作一條直線與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于A，B兩點．若＝2，|F1F2|＝2|OB|，則雙曲線的離心率為(　　) A． B． C．2 D．3 C　[如圖所示，連接F2B．|F1F2|＝2|OB|，且O為F1F2的中點，所以∠F1BF2＝90°. 因為＝2，即||＝2||，所以A為線段F1B的中點． 又由于O為F1F2的中點，所以O(shè)A∥F2B，所以O(shè)A⊥F1B，所以∠AOF1＝∠AOB． 又由直線OA與OB是雙曲線的兩條漸近線，則∠AOF1＝∠BOF2，所以∠BOF2＝60°，則＝tan∠BOF2＝，所以雙曲線的離心率e＝＝＝2.故選C

54、．] 10．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，實軸長為6，漸近線方程為y＝±x，動點M在雙曲線左支上，點N為圓E：x2＋(y＋)2＝1上一點，則|MN|＋|MF2|的最小值為(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 B　[由題意可得2a＝6，即a＝3，漸近線方程為y＝±x，即有＝，即b＝1，可得雙曲線方程為－y2＝1，焦點為F1(－，0)，F(xiàn)2，(，0)． 由雙曲線的定義可得|MF2|＝2a＋|MF1|＝6＋|MF1|. 由圓E：x2＋(y＋)2＝1可得圓心E(0，－)，半徑r＝1，|MN|＋|MF2|＝6＋|MN|＋|MF1|. 如圖，

55、連接EF1，交雙曲線于M，交圓于N，可得|MN|＋|MF1|取得最小值，且|EF1|＝＝4， 則|MN|＋|MF2|的最小值為6＋4－1＝9.故選B．] 11．已知拋物線x2＝y(tǒng)的焦點為F，M，N是拋物線上兩點，若|MF|＋|NF|＝，則線段MN的中點P到x軸的距離為(　　) A． B． C． D． C　[拋物線x2＝y(tǒng)的焦點為，準(zhǔn)線為y＝－. 如圖，過點M，N，P分別作準(zhǔn)線的垂線，則|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|，所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝，所以中位線|PP′|＝＝，所以中點P到x軸的距離為|PP′|－＝－＝. 故選C．] 12．

56、我們把焦點相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”，已知F1，F(xiàn)2是一對相關(guān)曲線的焦點，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，當(dāng)∠F1PF2＝60°時，這一對相關(guān)曲線中雙曲線的離心率是(　　) A． B． C． D．2 A　[設(shè)橢圓、雙曲線的離心率分別為e1，e2，橢圓的長半軸長為a1，橢圓的半焦距為c，雙曲線的實半軸長為a2，|PF1|＝x，|PF2|＝y(tǒng)，x＞y. 由橢圓、雙曲線的定義得， ∴. 在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝cos 60°， ∴＝，∴a＋3a＝4c2. 又e1·e2＝·＝1，∴c2＝a1a2，∴a＋3a＝4a1a2，即

57、(a1－a2)(a1－3a2)＝0，∴a1＝3a2，∴3a＝c2，∴e2＝＝.故選A．] 13.已知F是拋物線C：y＝2x2的焦點，N是x軸上一點，線段FN與拋物線C相交于點M，若2＝，則|FN|＝(　　) A． B． C． D．1 A　[法一：因為拋物線C：y＝2x2，所以F，拋物線C的準(zhǔn)線方程為y＝－. 如圖，過點M作拋物線準(zhǔn)線的垂線，交x軸于點A，交拋物線C的準(zhǔn)線于點B，則MA∥OF，所以＝. 因為2＝，所以|MA|＝×＝，|MF|＝|MB|＝＋＝，|FN|＝3|FM|＝，故選A． 法二：因為拋物線y＝2x2，所以F. 設(shè)N(x0，0)，則由2＝，可得M，代入拋物

58、線方程，得＝2，解得x＝，則|FN|＝＝＝，故選A．] 14．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，過F2的直線與雙曲線交于A，B兩點．若|AB|∶|BF1|∶|AF1|＝3∶4∶5，則雙曲線的漸近線方程為(　　) A．y＝±2x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x A　[由題意可設(shè)|AB|＝3k，則|BF1|＝4k，|AF1|＝5k，則易得BF1⊥BF2，由雙曲線的定義可知|AF1|－|AF2|＝2a，則可得|AF2|＝5k－2a，|BF2|＝8k－2a，再根據(jù)雙曲線的定義得|BF2|－|BF1|＝2a，得k＝a，即|BF1|＝4a，|BF2|

59、＝6a，|F1F2|＝2c，在直角三角形BF1F2中，得16a2＋36a2＝4c2＝4(a2＋b2)，則＝2，雙曲線的漸近線方程為y＝±2x，故選A．] 15．[多選]已知雙曲線C：x2－＝1(b＞0)虛軸的一個端點到它的一條漸近線的距離為，則下列說法正確的是(　　) A．b的值為 B．C的離心率為2 C．拋物線y2＝8x與C有一個相同的焦點 D．C的兩條漸近線均與圓(x－2)2＋(y－)2＝1相交 ABC　[雙曲線x2－＝1的一條漸近線的方程為bx＋y＝0，易知其虛軸的一個端點為(0，b)，由題意可得＝，得b＝，A正確；又a＝1，所以c＝2，故離心率e＝＝2，B正確；拋物線焦點為

60、(2，0)，故C正確；雙曲線的漸近線方程為y＝±x，圓的圓心為(2，)，半徑為1，根據(jù)點到直線的距離可判斷，漸近線y＝x與圓相交，y＝－x與圓相離，故D錯誤，選ABC．] 16．[多選]拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，過點F的直線l交拋物線C于A，B兩點，交拋物線C的準(zhǔn)線于D點，若＝2，|FA|＝2，則(　　) A．F(3，0) B．直線AB的方程為y＝ C．點B到準(zhǔn)線的距離為6 D．△AOB(O為坐標(biāo)原點)的面積為3 BCD　[如圖，不妨令點B在第一象限，設(shè)點K為準(zhǔn)線與x軸的交點，分別過點A，B作拋物線C：y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為G，E，∵＝2，

61、∴點F為BD的中點，又|BE|＝|FB|，∴|BE|＝|BD|，∴在Rt△EBD中，∠BDE＝30°，∴|AD|＝2|AG|＝2|AF|＝2×2＝4，∴|DF|＝|AD|＋|FA|＝6，∴|BF|＝6，則點B到準(zhǔn)線的距離為6，故C正確； ∵|DF|＝6，∴|KF|＝3，∴p＝3，則F，故A錯誤； 由∠BDE＝30°，易得∠BFx＝60°，所以直線AB的方程為y＝tan 60°·＝，故B正確； 連接OA，OB，S△AOB＝S△OBF＋S△AOF＝××6×sin 120°＋××2×sin 60°＝3，故D正確．故選BCD．] 17．[多選]已知拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線過雙曲線C：－＝1(

62、a＞0，b＞0)的左焦點F，且與雙曲線交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，且△AOB的面積為，則(　　) A．C的方程為－＝1 B．C的兩條漸近線的夾角為60° C．點F到C的漸近線的距離為 D．C的離心率為2 ABD　[由題意易知，拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－1，所以雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點F的坐標(biāo)為(－1，0)，c＝1，從而b2＝1－a2. 把x＝－1，b2＝1－a2代入－＝1，整理得y＝±，所以|AB|＝，S△AOB＝×|AB|×c＝××1＝，得a＝，所以雙曲線C的方程為－＝1，故A正確；C的漸近線方程為y＝±x，所以兩條漸近線的夾角為60°，故B正確；F(

63、－1，0)到y(tǒng)＝±x的距離d＝，故C錯誤；C的離心率e＝＝2，故D正確．] 18．[多選]已知拋物線x2＝y(tǒng)的焦點為F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是拋物線上兩點，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．點F的坐標(biāo)為 B．若直線MN過點F，則x1x2＝－ C．若＝λ，則|MN|的最小值為 D．若|MF|＋|NF|＝，則線段MN的中點P到x軸的距離為 BCD　[易知點F的坐標(biāo)為，選項A錯誤；根據(jù)拋物線的性質(zhì)知，MN過焦點F時，x1x2＝－p2＝－，選項B正確； 若＝λ，則MN過點F，則|MN|的最小值即拋物線通徑的長，為2p，即，選項C正確； 拋物線x2＝y(tǒng)的焦點為，準(zhǔn)線方程為y＝

64、－，過點M，N，P分別作準(zhǔn)線的垂線MM′，NN′，PP′，垂足分別為M′，N′，P′(圖略)，則|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|，所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝，所以|PP′|＝＝，所以線段MN的中點P到x軸的距離為|PP′|－＝－＝，選項D正確．] 19．[多選]已知過雙曲線C：－＝1的左焦點F的直線l與雙曲線左支交于點A，B，過原點與弦AB的中點D的直線交直線x＝－于點E，若△AEF為等腰直角三角形，則直線l的方程為(　　) A．x＋(3－2)y＋2＝0 B．x－(3＋2)y＋2＝0 C．x－(3－2)y＋2＝0 D．x＋(3＋2)y＋2＝0 AC　

65、[易知F(－2，0)，則由題意可設(shè)直線l：x＝my－2(m≠±)，代入雙曲線C的方程，消去x，整理得(m2－2)y2－4my＋4＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系，得y1＋y2＝，∴＝，＝－2＝，即D，∴直線OD的方程為y＝x. 令x＝－，得y＝－m，即E，∴直線EF的斜率為＝－m，∴EF⊥l，則必有|EF|＝|AF|，即＝＝，解得y1＝±. 又－＝1，∴x1＝－，∴m＝±(3－2)，從而直線l的方程為x－(3－2)y＋2＝0或x＋(3－2)y＋2＝0.] 20．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過原點的直線與雙曲線C交于A，B

66、兩點，若∠AF2B＝60°，△ABF2的面積為a2，則雙曲線的漸近線方程為________． y＝±x　[法一：如圖，連接AF1，BF1，則四邊形AF2BF1是平行四邊形，設(shè)|AF2|＝x，則|BF1|＝x，|BF2|＝x＋2a，S＝x·(x＋2a)·＝a2，解得x＝(－1)a或x＝(－－1)a(舍去)，則|BF2|＝(＋1)a. 在△BF1F2中，由余弦定理得4c2＝(－1)2a2＋(＋1)2a2－2(－1)(＋1)a2·，化簡得c2＝4a2，又雙曲線中c2＝a2＋b2，故b2＝3a2，＝±，所以漸近線方程為y＝±x. 法二：如圖，連接AF1，BF1，則四邊形AF2BF1是平行四邊形， 因為∠AF2B＝60°，所以∠F1AF2＝120°，所以S＝S＝S＝＝a2，得＝3，＝±，所以漸近線方程為y＝±x.] 21．[一題兩空]已知拋物線y2＝4x的焦點為F，過點(3，0)的直線l交拋物線于A，B兩點，若|AF|·|BF|＝20，則直線l的斜率為________；＝________. ±1　5或　[由題意得，拋物線的焦點為F(1，0)，設(shè)直線l：y＝k(x－3)(k≠0