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1、 （一）基礎知識1、證明兩個三角形全等的方法：SSS，SAS，ASA，AAS，HL2、角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。 3、角平分線的判定定理：角的內部到角兩邊的距離相等的點在角的平分線上。 因此，角平分線可以看作是角的內部到角兩邊的距離相等的點的集合。 OC平分 AOB，PD OA于D，PE OB于E PD=PEO BPA ED PD OA于D，PE OB于E ，且PD=PE OC平分 AOB 4、圖形變換 一個圖形經過平移、翻折、旋轉后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉前后的圖形全等。 例1、如圖，AC平分 BAD，CF AD，CE AB，CD=
2、CB，求證：BE=DF A BCD EF 例1、如圖，AC平分 BAD，CF AD，CE AB，CD=CB，求證：BE=DF A BCD EF分析要證BE=DF，只需證CBECDF而CD=CB， CEB= CFD=90，只需證CE=CF，這可由角平分線的性質得到 例1、如圖，AC平分 BAD，CF AD，CE AB，CD=CB，求證：BE=DF A BCD EF證明： AC平分 BAD， CF AD，CE AB， CE=CF， CEB= CFD=90在RtCBE和RtCDF中， RtCBE RtCDF BE=DF CE=CFCD=CB 例2、已知，如圖，OD平分 AOB，在OA、OB邊上取OA
3、=OB，點P在OD上，且PM BD，PN AD，求證：PM=PN ABO P DM N 例2、已知，如圖，OD平分 AOB，在OA、OB邊上取OA=OB，點P在OD上，且PM BD，PN AD，求證：PM=PN 分析由于PM、PN是點P到 ADB的兩邊的距離，所以只需證OD平分 ADB，這可通過證明OBD OAD得到ABO P DM N 例2、已知，如圖，OD平分 AOB，在OA、OB邊上取OA=OB，點P在OD上，且PM BD，PN AD，求證：PM=PN ABO P DM N12 34,1 2.1 2 .OD AOBOBD OADOB OAOD ODOBD OAD 證明：平分在和中，3 4
4、. , ,.PM BD PN ADPM PN 例3、如圖，ABC中，點P是角平分線AD、BE的交點，求證：點P在 C的平分線上AB CD EP 例3、如圖，ABC中，點P是角平分線AD、BE的交點，求證：點P在 C的平分線上AB CD EPM NO分析 過點P作PO BC于O，PM AB于M，PN AC于N，要證點P在 C的平分線上，只需證PO=PN而由已知可知，PM=PN，PM=PO，得證 例3、如圖，ABC中，點P是角平分線AD、BE的交點，求證：點P在 C的平分線上AB CD EPM NO證明：過點P作PO BC于O，PM AB于M，PN AC于N點P是角平分線AD、BE的交點， PM=
5、PN，PM=PO PN=PO PO BC，PN AC，點P在 C的平分線上 小結三角形三個內角的平分線交于一點，且該點到三角形三邊的距離相等 小結三角形三個內角的平分線交于一點，且該點到三角形三邊的距離相等 發(fā)展1、如圖，點P是ABC的兩個外角的平分線的交點，則點P到ABC三邊所在直線的距離相等，且點P在 B的平分線上AB C P 小結三角形三個內角的平分線交于一點，且該點到三角形三邊的距離相等 發(fā)展1、如圖，點P是ABC的兩個外角的平分線的交點，則點P到ABC三邊所在直線的距離相等，且點P在 B的平分線上2、到三角形三邊距離相等的點有4個。（在三角形內部，只有一個；在三角形外部，有3個） A
6、B C P 例4、ABC的三邊AB、BC、AC的長度分別為20、30、40，其三個內角的平分線的交點為O，求 : :ABO BCO ACOS S S A BC O 例4、ABC的三邊AB、BC、AC的長度分別為20、30、40，其三個內角的平分線的交點為O，求 : :ABO BCO ACOS S S A BC O DE F分析過O作OD AB于D，OE AC于E，OF BC于F由已知易證OD=OE=OF，由此可知 : : : : . ABO BCO ACOS S S AB BC AC 例4、ABC的三邊AB、BC、AC的長度分別為20、30、40，其三個內角的平分線的交點為O，求 : :ABO
7、 BCO ACOS S S A BC O DE F解：過O作OD AB于D，OE AC于E，OF BC于FABC三個內角的平分線的交點為O， OD=OE=OF 1 1 1, , ,2 2 2 : : : : 2:3:4.ABO BCO ACOABO BCO ACOS AB OD S BC OF S AC OES S S AB BC AC （二）常見輔助線的添加方法例5、在ABC中，AD是BC邊上的中線，（1）求證：ABAC2AD.（2）若AB=6,AC=10,則AD的取值范圍是 AB CD （二）常見輔助線的添加方法例5、在ABC中，AD是BC邊上的中線，（1）求證：ABAC2AD.（2）若A
8、B=6,AC=10,則AD的取值范圍是 AB CD E分析 （1）延長AD到E，使得DE=AD易證ACD EBD（SAS）從而BE=AC在ABE中，AB+BEAE AB+AC2AD.（2）易知2AD2AD.（2）若AB=6,AC=10,則AD的取值范圍是 AB CD E分析 （1）延長AD到E，使得DE=AD易證ACD EBD（SAS）從而BE=AC在ABE中，AB+BEAE AB+AC2AD.（2）易知2ADAD，試判斷AB-AD與CB-CD的大小關系，并證明你的結論 AB C D 例7、如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分 BAD，ABAD，試判斷AB-AD與CB-CD的大小關系，并證
9、明你的結論 分析在AB上取一點E，使得AE=AD，連結CE易證ACEACD CD=CE在BCE中，BECB-CE，即AB-AECB-CE， AB-ADCB-CD AB C DE 1 2 例8、如圖， 1= 2，P為BN上一點，若 PCB+ BAP=180，求證：PA=PCAB CP12 例8、如圖， 1= 2，P為BN上一點，若 PCB+ BAP=180，求證：PA=PC分析1 由已知 1= 2，可以構造全等三角形，在BC上取一點D，使得BD=AB，連結PD，易證ABPDBP，從而得到PA=PD要證PA=PC，只需證PC=PD，這可以通過證明 PCB= PDC得到AB CP12 D 例8、如圖
10、， 1= 2，P為BN上一點，若 PCB+ BAP=180，求證：PA=PC證法1：在BC上取一點D，使得BD=AB連結PD在ABP和DBP中， ABPDBP PA=PD， BAP= BDP PCB+ BAP=180， PDC+ BDP=180， PCB= PDC PD=PC PA=PC AB CP12 D1 2AB BDPB PB 例8、如圖， 1= 2，P為BN上一點，若 PCB+ BAP=180，求證：PA=PC分析2過點P作PE AB于E，PD BC于D，可知PE=PD，易證PAE PCD，從而得到PA=PC AB CP12 DE 例8、如圖， 1= 2，P為BN上一點，若 PCB+ BAP=180，求證：PA=PC證明：過點P作PE AB于E，PD BC于D PEA= PDC=90 1= 2， PE=PD PCB+ BAP=180， PAE+ BAP=180， PCB= PAE在PAE和PCD中， PAEPCD PA=PC AB CP12 DEPAE PCBPEA PDC PE PD 小結上述兩種方法是與角平分線有關的問題中常見的兩種添加輔助線的方法，即構造全等三角形或作角兩邊的垂線
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