北師大版必修4《兩角和與差的正切函數(shù)》練習(xí)含解析

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1、 24 兩角和與差的正切函數(shù) 時(shí)間： 45 分鐘 滿分： 80 分 班級(jí) ________ 姓名 ________ 分?jǐn)?shù) ________ 一、選擇題： ( 每小題 5 分，共 56＝ 30 分) 1 1 1．設(shè) tan α ＝2， tan β＝3，且 α 、β角為銳角，則 α＋β的值是 ( ) 3π π 3π A. 4 B. 4 或 4 π 5π C. 4 D. 4

2、 答案： C 1 1 1 1 tan α＋ tan β 2＋ 3 解析： 由 tan α＝ 2， tan β＝ 3，得 tan( α＋ β) ＝ 1－ tan αtan β＝ 1 1＝ 1. 又α、 1－ 23 β均是銳角， π ∴ α＋β＝ . 4 1＋ tan75 2. 1－ tan75 的值是 () A. 3 B ．－ 3 3 3 C. 3 D ．－ 3 答案： B 1＋ tan75 tan45 ＋ tan75

3、 解析： 1－ tan75 ＝ 1－ tan45 tan75 ＝ tan(45 ＋ 75) ＝ tan120 ＝－ tan60 ＝ － 3. 2 π 1 π 3．已知 tan( α＋ β ) ＝ 5， tan β－ 4 ＝ 4，那么 tan α＋ 4 ＝ ( ) 13 13 A. 18 B. 22 3 5 C. 22 D.

4、 18 答案： C π π π 解 析 ： 因 為 α ＋ 4 ＝ ( α ＋ β ) － β－ 4 ， 所 以 tan α＋ 4 ＝ tan －tan π π α＋ β β－ 4 3 tanα＋β － β－ 4 ＝ 1＋ tan π ＝ 22，故選 C. α＋ β tan β－

5、 4 π 4．已知 tan α＝ 1，則 tan 4 ＋ α － 1的值是 ( ) 2 1＋tan π 4 ＋α 1 A． 2 B. 2 C．－ 1 D ．－ 3 答案： B π 1 π

6、 tan 4 ＋tan α 1＋ tan α 解析： 解法一：因?yàn)? tan α＝ 2，所以 tan ＋ α ＝ π ＝ 1－ tan α＝ 3， 4 1－ tan 4 tan α tan π ＋ α －1 3－ 1 1 4 所以

7、 π ＝ 1＋ 3＝2. 故選 B. 1＋ tan 4 ＋ α tan π ＋ α － 1 tan π － tan π 4 ＋α 4 π π 1 4 ＋ α α 解法二： π ＝ π

8、 π ＝ tan 4 － 4 ＝ tan ＝ 2 . 1＋ tan 4 ＋ α 1＋tan 4 ＋ α tan 4 故選 B. 5．在△ 中，若 tan tan >1，則△ 是( ) ABC A B ABC A．銳角三角形 B ．直角三角形

9、 C．鈍角三角形 D ．無(wú)法確定 答案： A 解析：由 tan Atan B>1 得角 A，B均為銳角，然后切化弦， 得 sin Asin B>cos Acos B，即 cos( A ＋B)<0 ，∴ cos( π－ C)<0 ，∴－ cos C<0，∴ cos C>0，∴角 C為銳角， ∴△ ABC是銳角三角形，故選 A. 6．設(shè) tan α和 tan β 是方程 mx2＋ (2 m－3) x＋ ( m－2) ＝ 0 的兩根，則 tan( α＋ β) 的最小 值是

10、( ) 15 3 A. 4 B. 4 3 C．－ 4 D ．不確定 答案： C 2＋ (2 解析： ∵ tan α 和 tan β 是 －3) x ＋ ( － 2) ＝0 的兩根， mx m m 2m－3 tan α＋ tan β＝－ m ， m－ 2 ∴ tan α tan β＝ m ，m≠0， ＝ 2m－ 3 2－ 4m m－2 ≥ 0. ＋ － 2m－

11、 3 － ＋ 9 tan α tan β m 3 3 ≠ 0.tan( ＋ ) ＝ ＝ ＝ 2m ∴ ≤ ，且 α β 1－ tan α tan β 2 ＝－ ＋ . m 4 m m－ 2 m 2 1－ m 9

12、 3 ∴當(dāng) m＝ 4時(shí)， tan( α＋ β) 的最小值為－ 4. 二、填空題： ( 每小題 5 分，共 53＝ 15 分) 3 π 7．已知 α為第三象限的角， cos2α＝－ 5，則 tan( 4 ＋ 2α ) ＝________.

13、 1 答案： － 7 解析： ∵ α 為第三象限的角，則 2 π＋π≤ α ≤ 2 π＋ 3π ，∴ 4 k π＋ 2π≤ 2 ≤ 4 k π k k 2 α

14、 ＋3π ( k∈Z) ，又 cos2α ＝－ 3， 5 4 4 π 1＋ tan2 α 1 ∴ sin2 α＝ ， tan2 α ＝－ ，∴ tan( ＋ 2α) ＝ α ＝－ . 5 3 4 1－ tan2 7 π 2π π 2

15、π 8． tan 9 ＋ tan 9 ＋ 3tan 9 tan 9 的值為 ________． 答案： 3 π 2π π 2π 解析： tan ＋ tan ＋ 3tan tan 9 9 9 9

16、π 2π π 2π π 2π ＝ tan 9 ＋ 9 1－ tan 9 tan 9 ＋ 3tan 9 tan 9 ＝ 3 1－ tan π tan 2π ＋ 3tan π tan 2π ＝ 3. 9 9 9 9 π π asin 5 ＋ b

17、cos 5 8π b 9．若 a， b 是非零實(shí)數(shù)，且 π π ＝ tan 15 ，則 a＝ ________. acos － bsin 5 5 答案： 3 π π π b π π asin 5 ＋bcos

18、 5 tan 5 ＋ a 8π π π tan 5 ＋ tan 3 b 解析： ∵ π π ＝ b π ＝tan 15 ＝tan( 5 ＋ 3 ) ＝ π π，∴ a acos 5 － bsin 5 1－atan 5 1－ tan 5 tan 3 π ＝ tan 3 ＝ 3. 三、解答題： ( 共 35 分， 11＋ 12＋12) 10．在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，以 Ox為始邊作兩個(gè)銳角 α， β，它們的終邊分別與單 1 2 5 位圓相交于

19、 A， B 兩點(diǎn)，已知點(diǎn) A， B 的橫坐標(biāo)分別為 3， 5 . (1) 求 tan( α＋β) 的值； tan α＋ β －tan α (2) 求2＋ 2tan α＋ β tan α的值． 1 2 5 解析： (1) 由題意，得 cosα ＝ 3，cos β＝ 5 . 2 2 5 因?yàn)?α， β為銳角，所以 sin α＝ 3 ， sin β ＝ 5 ， 因?yàn)?tan α＝ 2

20、2， tan β＝ 1 . 2 tan α＋ tan β 2 2＋ 1 9＋ 5 2 2 所以 tan( α ＋β) ＝ 1－ tan αtan β＝ 1 ＝－ 2 . 1－ 2 2 2 tan α ＋β － tan α (2) 2＋2tan α＋ β tan α 1 tan α＋ β －tan α

21、 ＝ ＋ tan α＋ β tan α21 1 ＝ 2 tan[( α ＋β) － α] 1 ＝ 2 tan β ＝ 11 2 2 1 ＝ 4. 11．已知 tan( α＋ β) ＝ 2，tan( α－β) ＝ 3，求 tan(3 π＋ 2α) ＋ tan(4 π＋ 2β) 的值． 解析： 因?yàn)?tan( α＋ β) ＝ 2， tan( α－ β ) ＝3， α α β α β tan α＋ β ＋ tan α － β 所 以 tan2 ＝ tan[( ＋

22、 ) ＋ ( － )] ＝ 1－ tan α＋ β tan α－ β ＝ 2＋ 3 1－ 2 3＝－ 1， tan2 β＝ tan[( α ＋ β) － ( α－ β)] tan α＋ β －tan α－β 2－ 3 ＝ 1＋ tan α＋ β tan α－ β ＝ 1＋ 2 3＝ 1 － ， 7 1 8

23、所以 tan(3 π＋ 2α) ＋ tan(4 π＋ 2β ) ＝ tan2 α＋ tan2 β＝－ 1－ ＝－ . 7 7 π 12．已知向量 a＝(sin θ， 2) ， b＝ (cos θ ， 1)) ，且 a，b 共線，其中 θ∈ 0， 2 . π (1) 求 tan θ＋ 4 的值； π (2) 若 5cos( θ－ φ) ＝ 3 5cos φ， 0<φ< 2 ，求 φ的值． 解析： (1) ∵ a，b 共線，∴ sin θ－ 2cosθ ＝ 0，即 tan θ＝ 2. π 1＋ tan θ 1＋ 2 ∴ tan θ＋ 4 ＝ 1－ tan θ＝ 1－ 2＝－ 3. π 2 5 5 (2) 由 (1) ，知 tan θ ＝ 2，又 θ∈ 0， ，∴ sin θ＝ 5 ， cos θ＝ 5 . 2 ∵ 5cos( θ－ φ) ＝ 3 5cos φ， ∴ 5(cos θcos φ＋ sin θsin φ ) ＝3 5cos φ，即 5cos φ＋2 5sin φ＝ 3 5cos φ， ∴ cosφ ＝ sin φ. π π 又 0<φ< 2 ，∴ tan φ＝ 1，∴ φ＝ 4 .