《直線圓的位置關(guān)系》PPT課件

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1、要 點(diǎn) 梳 理1.直 線 與 圓 的 位 置 關(guān) 系 位 置 關(guān) 系 有 三 種 ： 、 、 . 判 斷 直 線 與 圓 的 位 置 關(guān) 系 常 見 的 有 兩 種 方 法 ： （ 1） 代 數(shù) 法 ： （ 2） 幾 何 法 :利 用 圓 心 到 直 線 的 距 離 d和 圓 半 徑 r的 大 小 關(guān) 系 :d r 相 交 ,d=r 相 切 ,d r 相 離 . 9.4 直 線 、 圓 的 位 置 關(guān) 系 基 礎(chǔ) 知 識(shí) 自 主 學(xué) 習(xí)相 離 相 交相 切 判 別 式 =b2-4ac .000 相 離相 切相 交 2.計(jì) 算 直 線 被 圓 截 得 的 弦 長 的 常 用 方 法 （ 1） 幾

2、 何 方 法 運(yùn) 用 弦 心 距 (即 圓 心 到 直 線 的 距 離 )、 弦 長 的 一 半 及 半 徑 構(gòu) 成 直 角 三 角 形 計(jì) 算 . （ 2） 代 數(shù) 方 法 運(yùn) 用 韋 達(dá) 定 理 及 弦 長 公 式 |AB|= |xA-xB|= 說 明 ： 圓 的 弦 長 、 弦 心 距 的 計(jì) 算 常 用 幾 何 方 法 .21 k .4)(1( 22 BABA xxxxk 3.求 過 點(diǎn) P（ x0,y0） 的 圓 x2+y2=r2的 切 線 方 程 （ 1） 若 P（ x0， y0） 在 圓 x2+y2=r2上 ， 則 以 P為 切 點(diǎn) 的 圓 的 切 線 方 程 為 ： . （ 2

3、） 若 P（ x0， y0） 在 圓 x2+y2=r2外 ， 則 過 P的 切 線 方 程 可 設(shè) 為 ： y-y0=k（ x-x0） ， 利 用 待 定 系 數(shù) 法 求 解 . 說 明 ： k為 切 線 斜 率 ， 同 時(shí) 應(yīng) 考 慮 斜 率 不 存 在 的 情 況 . x0 x+y0y=r2 4.圓 與 圓 的 位 置 關(guān) 系 的 判 定 設(shè) C1： （ x-a1） 2+（ y-b1） 2=r （ r1 0） , C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r (r2 0),則 有 : |C1C2| r1+r2 C1與 C2 ; |C1C2|=r1+r2 C1與 C2 ; |r1-r2| |C1

4、C2| r1+r2 C1與 C2 ； |C1C2|=|r1-r2|（ r1 r2） C1與 C2 ； |C 1C2| |r1-r2| C1與 C2 .2122 相 離外 切 相 交內(nèi) 切內(nèi) 含 基 礎(chǔ) 自 測1.（ 2008 陜 西 ） 直 線 x-y+m=0與 圓 x2+y2- 2x-2=0相 切 ,則 實(shí) 數(shù) m等 于 （ ） A. 或 - B.- 或 3 C.-3 或 D.-3 或 3 解 析 將 圓 x2+y2-2x-2=0化 為 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 得 +y2=3,直 線 與 圓 相 切 說 明 圓 心 到 直 線 的 距 離 等 于 半 徑 ,則 有 m=-3 或 . 33 3 3 3

5、3 3 3 3C(x-1)2.323,31313 mm 即3 3 2.圓 x2+y2-4x=0在 點(diǎn) P（ 1, ） 處 的 切 線 方 程 為 （ ） A.x+ y-2=0 B.x+ y-4=0 C.x- y+4=0 D.x- y+2=0 解 析 圓 方 程 為 （ x-2） 2+y2=4， 圓 心 （ 2， 0） ， 半 徑 為 2， 點(diǎn) P在 圓 上 ， 設(shè) 切 線 方 程 為 y- =k(x-1), 即 kx-y-k+ =0, 解 得 k= 切 線 方 程 為 y- (x-1),即 x- y+2=0.D33 ,21 32 2 kkk .33333 3333 33 3.（ 2009 陜

6、西 理 ， 4） 過 原 點(diǎn) 且 傾 斜 角 為 60 的 直 線 被 圓 x2+y2-4y=0所 截 得 的 弦 長 為 （ ） A. B.2 C. D.2 解 析 過 原 點(diǎn) 且 傾 斜 角 為 60 的 直 線 方 程 為 x-y=0, 圓 x2+(y-2)2=4的 圓 心 （ 0， 2） 到 直 線 的 距 離 為 d= 因 此 弦 長 為 33 6 D,113 203 .321422 22 dR 3 4.圓 C1： x2+y2+2x+2y-2=0與 圓 C2： x2+y2-4x-2y+1=0 的 公 切 線 有 且 僅 有 （ ） A.1條 B.2條 C.3條 D.4條 解 析 C1

7、： （ x+1） 2+（ y+1） 2=4， 圓 心 C1（ -1， -1） ， 半 徑 r1=2. C2： （ x-2） 2+（ y-1） 2=4， 圓 心 C2（ 2， 1） ， 半 徑 r2=2. |C 1C2|= ， 0 |C1C2| r1+r2=4, 兩 圓 相 交 ， 有 兩 條 公 切 線 . B13 5.若 圓 x2+y2=4上 僅 有 一 個(gè) 點(diǎn) 到 直 線 x-y-b=0的 距 離 為 1， 則 實(shí) 數(shù) b= . 解 析 由 已 知 可 得 ， 圓 心 到 直 線 x-y-b=0的 距 離 為 3， =3， b= 3 .232b 2 題 型 一 直 線 與 圓 的 位 置

8、關(guān) 系【 例 1】 已 知 圓 x2+y2-6mx-2（ m-1） y+10m2-2m- 24=0（ m R） . （ 1） 求 證 ： 不 論 m為 何 值 ， 圓 心 在 同 一 直 線 l上 ； （ 2） 與 l平 行 的 直 線 中 ， 哪 些 與 圓 相 交 、 相 切 、 相 離 ； （ 3） 求 證 ： 任 何 一 條 平 行 于 l且 與 圓 相 交 的 直 線 被 各 圓 截 得 的 弦 長 相 等 .題 型 分 類 深 度 剖 析 用 配 方 法 將 圓 的 一 般 方 程 配 成 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 ，求 出 圓 心 坐 標(biāo) ， 消 去 m就 得 關(guān) 于 圓 心 的 坐 標(biāo)

9、間 的 關(guān)系 ， 就 是 圓 心 的 軌 跡 方 程 ； 判 斷 直 線 與 圓 相 交 、相 切 、 相 離 ， 只 需 比 較 圓 心 到 直 線 的 距 離 d與 圓 半徑 的 大 小 即 可 ； 證 明 弦 長 相 等 時(shí) ， 可 用 幾 何 法 計(jì)算 弦 長 .思 維 啟 迪 （ 1） 證 明 配 方 得 ： (x-3m)2+ y-（ m-1） 2=25，設(shè) 圓 心 為 （ x， y） ， 消 去 m得x-3y-3=0， 則 圓 心 恒 在 直 線 l： x-3y-3=0上 .（ 2） 解 設(shè) 與 l平 行 的 直 線 是 l1： x-3y+b=0，則 圓 心 到 直 線 l1的 距

10、 離 為 圓 的 半 徑 為 r=5， 當(dāng) d r， 即 -5 -3b5 -3時(shí) ， 直 線 與 圓 相 交 ；當(dāng) d=r,即 b= 5 -3時(shí) ， 直 線 與 圓 相 切 ； 當(dāng) d r， 即 b -5 -3或 b 5 -3時(shí) ， 直 線 與 圓相 離 . ,13 my mx則 .10310 )1(33 bbmmd 10 101010 10 （ 3） 證 明 對 于 任 一 條 平 行 于 l且 與 圓 相 交 的 直 線 l1： x-3y+b=0， 由 于 圓 心 到 直 線 l1的 距 離 d= 且 r和 d均 為 常 量 . 任 何 一 條 平 行 于 l且 與 圓 相 交 的 直 線

11、 被 各 圓 截 得 的 弦 長 相 等 .,103 b 222 dr 弦 長 探 究 提 高 判 斷 直 線 與 圓 的 位 置 關(guān) 系 可 以 看 成 它 們構(gòu) 成 的 方 程 組 有 無 實(shí) 數(shù) 解 ， 也 可 以 根 據(jù) 圓 心 到 直 線的 距 離 與 半 徑 長 的 關(guān) 系 進(jìn) 行 判 斷 .求 圓 的 弦 長 有 多 種 方 法 ： 一 是 直 接 求 出 直 線 與 圓 的交 點(diǎn) 坐 標(biāo) ， 再 利 用 兩 點(diǎn) 間 的 距 離 公 式 得 出 ； 二 是 不求 交 點(diǎn) 坐 標(biāo) ， 利 用 一 元 二 次 方 程 根 與 系 數(shù) 的 關(guān) 系 得出 ， 即 設(shè) 直 線 的 斜 率

12、為 k， 直 線 與 圓 聯(lián) 立 消 去 y后 所得 方 程 兩 根 為 x 1、 x2,則 弦 長 d= |x1-x2|;三 是 利 用 圓 中 半 弦 長 、 弦 心 距 及 半 徑 構(gòu) 成 的 直 角 三角 形 來 求 .對 于 圓 中 的 弦 長 問 題 ， 一 般 利 用 第 三 種 方法 比 較 簡 捷 .本 題 所 用 方 法 就 是 第 三 種 方 法 .21 k 知 能 遷 移 1 m為 何 值 時(shí) ， 直 線 2x-y+m=0與 圓 x2+y2=5.（ 1） 無 公 共 點(diǎn) ；（ 2） 截 得 的 弦 長 為 2；（ 3） 交 點(diǎn) 處 兩 條 半 徑 互 相 垂 直 . 解

13、 （ 1） 由 已 知 ， 圓 心 為 O（ 0， 0） ， 半 徑 r= , 圓 心 到 直 線 2x-y+m=0的 距 離 直 線 與 圓 無 公 共 點(diǎn) ， d r,即 m 5或 m -5. 故 當(dāng) m 5或 m -5時(shí) ， 直 線 與 圓 無 公 共 點(diǎn) . 5,5)1(2 22 mmd ,55 m （ 2） 如 圖 所 示 ， 由 平 面 幾 何 垂 徑 定 理 知r2-d2=12， 即 5- =1.得 m= 2 , 當(dāng) m= 2 時(shí) ， 直 線 被 圓 截 得 的 弦 長 為 2.（ 3） 如 圖 所 示 ， 由 于 交 點(diǎn) 處 兩 條 半 徑 互 相 垂 直 ， 弦 與 過 弦

14、兩 端 的 半 徑 組 成 等 腰 直 角 三 角 形 ， d= ， 即解 得 m= 故 當(dāng) m= 時(shí) ， 直 線 與 圓 在 兩 交 點(diǎn) 處 的 兩 條 半 徑 互 相 垂 直 .52m55r22 ,5225 m.225 225 題 型 二 圓 的 切 線 及 弦 長 問 題【 例 2】 已 知 點(diǎn) M（ 3， 1） ， 直 線 ax-y+4=0及 圓 (x-1)2+(y-2)2=4.（ 1） 求 過 M點(diǎn) 的 圓 的 切 線 方 程 ；（ 2） 若 直 線 ax-y+4=0與 圓 相 切 ， 求 a的 值 ；（ 3） 若 直 線 ax-y+4=0與 圓 相 交 于 A， B兩 點(diǎn) ， 且

15、弦 AB的 長 為 2 ， 求 a的 值 .3思 維 啟 迪 解 （ 1） 圓 心 C（ 1， 2） ， 半 徑 為 r=2,當(dāng) 直 線 的 斜 率 不 存 在 時(shí) ， 方 程 為 x=3.由 圓 心 C（ 1， 2） 到 直 線 x=3的 距 離 d=3-1=2=r知 ，此 時(shí) ， 直 線 與 圓 相 切 .當(dāng) 直 線 的 斜 率 存 在 時(shí) ， 設(shè) 方 程 為 y-1=k(x-3),即 kx-y+1-3k=0.由 題 意 知 解 得 k= . 方 程 為 y-1= (x-3),即 3x-4y-5=0.故 過 M點(diǎn) 的 圓 的 切 線 方 程 為 x=3或 3x-4y-5=0.,21312

16、2 k kk 4343 （ 2） 由 題 意 有 解 得 a=0或 a= .（ 3） 圓 心 到 直 線 ax-y+4=0的 距 離 為 解 得 a=- .,21422 aa 34 ,122 aa,423212 222 aa 43 探 究 提 高 求 過 一 點(diǎn) 的 圓 的 切 線 方 程 ， 首 先 要 判 斷此 點(diǎn) 是 否 在 圓 上 .若 在 圓 上 ,該 點(diǎn) 為 切 點(diǎn) ； 若 不 在 圓上 ， 切 線 應(yīng) 該 有 兩 條 ， 設(shè) 切 線 的 點(diǎn) 斜 式 方 程 ， 用 待定 系 數(shù) 法 求 解 .注 意 ， 需 考 慮 無 斜 率 的 情 況 .求 弦 長問 題 ， 要 充 分 運(yùn)

17、用 圓 的 幾 何 性 質(zhì) . 知 能 遷 移 2 已 知 點(diǎn) A（ 1， a） ， 圓 x2+y2=4. （ 1） 若 過 點(diǎn) A的 圓 的 切 線 只 有 一 條 ， 求 a的 值 及 切 線 方 程 ； （ 2） 若 過 點(diǎn) A且 在 兩 坐 標(biāo) 軸 上 截 距 相 等 的 直 線 被 圓 截 得 的 弦 長 為 2 ， 求 a的 值 . 解 （ 1） 由 于 過 點(diǎn) A的 圓 的 切 線 只 有 一 條 ， 則 點(diǎn) A在 圓 上 ， 故 12+a2=4， a= . 當(dāng) a= 時(shí) ,A（ 1， ） ,切 線 方 程 為 x+ y-4=0； 當(dāng) a=- 時(shí) ,A（ 1,- ） ,切 線 方

18、 程 為 x- y-4=0， a= 時(shí) ， 切 線 方 程 為 x+ y-4=0, a=- 時(shí) ， 切 線 方 程 為 x- y-4=0.3 333 3 3 3333 33 (2)設(shè) 直 線 方 程 為 x+y=b,由 于 過 點(diǎn) A， 1+a=b， a=b-1.又 圓 心 到 直 線 的 距 離 d= +3=4， b= , a= -1.,2b22 b 2 2 題 型 三 圓 與 圓 的 位 置 關(guān) 系【 例 3】 已 知 兩 圓 x2+y2-2x-6y-1=0和 x2+y2-10 x- 12y+m=0. （ 1） m取 何 值 時(shí) 兩 圓 外 切 ？ （ 2） m取 何 值 時(shí) 兩 圓 內(nèi)

19、切 ？ （ 3） 求 m=45時(shí) 兩 圓 的 公 共 弦 所 在 直 線 的 方 程 和 公 共 弦 的 長 . 利 用 兩 圓 的 連 心 線 的 長 與 兩 圓 半 徑 之 間 的 關(guān) 系 判 斷 兩 圓 的 位 置 關(guān) 系 .思 維 啟 迪 解 兩 圓 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 為 （ x-1） 2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,圓 心 分 別 為 M（ 1， 3） ， N（ 5， 6） ，半 徑 分 別 為 和 .（ 1） 當(dāng) 兩 圓 外 切 時(shí) ， 解 得 m=25+10 .（ 2） 當(dāng) 兩 圓 內(nèi) 切 時(shí) ， 因 定 圓 的 半 徑 小 于 兩圓 圓 心 間

20、距 離 5，故 只 有 - =5， 解 得 m=25-10 .11 m61 ,6111)36()15( 22 m 11 11m61 11 11 （ 3） 兩 圓 的 公 共 弦 所 在 直 線 方 程 為(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10 x-12y+45)=0,即 4x+3y-23=0, 公 共 弦 長 為 應(yīng) 注 意 兩 圓 位 置 由 圓 心 距 和 兩 半 徑 的和 與 差 來 確 定 ， 從 而 確 定 切 線 的 條 數(shù) .求 公 共 弦 方程 時(shí) ， 只 需 將 兩 圓 方 程 相 減 即 可 . .7234 23334)11(2 2222 探 究 提 高 知 能

21、 遷 移 3 圓 O1的 方 程 為 x2+(y+1)2=4,圓 O2的 圓 心 O2（ 2， 1） . （ 1） 若 圓 O2與 圓 O1外 切 ,求 圓 O2的 方 程 ,并 求 內(nèi) 公 切 線 方 程 ； （ 2） 若 圓 O2與 圓 O1交 于 A、 B兩 點(diǎn) ， 且 |AB|=2 ， 求 圓 O2的 方 程 . 解 （ 1） 兩 圓 外 切 ， |O 1O2|=r1+r2， r2=|O1O2|-r1=2（ -1） ， 故 圓 O2的 方 程 是 (x-2)2+(y-1)2=4( -1)2. 兩 圓 的 方 程 相 減 ， 即 得 兩 圓 內(nèi) 公 切 線 的 方 程 x+y+1-2 =

22、0. 2222 （ 2） 設(shè) 圓 O2的 方 程 為 （ x-2） 2+(y-1)2=r , 圓 O1的 方 程 為 ： x2+(y+1)2=4,此 兩 圓 的 方 程 相減 ， 即 得 兩 圓 公 共 弦 AB所 在 直 線 的 方 程 ：4x+4y+r -8=0. 作 O1H AB， 則 |AH|= |AB|= ， O1H= ，由 圓 心 （ 0， -1） 到 直 線 的 距 離 得得 r =4或 r =20,故 圓 O 2的 方 程 為（ x-2） 2+(y-1)2=4或 (x-2)2+(y-1)2=20. 2222 21 2 2 ,224 1222 r22 22 題 型 四 直 線 與

23、 圓 的 綜 合 應(yīng) 用【 例 4】 （ 12分 ） 已 知 過 點(diǎn) A（ 0， 1） 且 斜 率 為 k 的 直 線 l與 圓 C： （ x-2） 2+(y-3)2=1相 交 于 M、 N 兩 點(diǎn) . （ 1） 求 實(shí) 數(shù) k的 取 值 范 圍 ； （ 2） 求 證 ： 為 定 值 ； （ 3） 若 O為 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) ， 且 =12,求 k的 值 .AM OM ONAN （ 1） 由 于 直 線 與 圓 C相 交 于 M、 N兩 點(diǎn) ，故 利 用 直 線 與 圓 相 交 的 條 件 即 可 求 得 k的 范 圍 .（ 2） =| | | |cos 0 =| | | |， 故 而 想 到

24、切 割 線 定 理 即 可 證 得結(jié) 論 .（ 3） =x1x2+y1y2， 聯(lián) 想 根 與 系 數(shù) 的 關(guān) 系 即可 解 決 .思 維 啟 迪AM AN AM ANAM ANOM ON （ 1） 解 方 法 一 直 線 l過 點(diǎn) A（ 0， 1） 且 斜 率為 k， 直 線 l的 方 程 為 y=kx+1. 2分將 其 代 入 圓 C： （ x-2） 2+(y-3)2=1,得 （ 1+k2） x2-4(1+k)x+7=0. 由 題 意 ： = -4（ 1+k） 2-4 （ 1+k2） 7 0，得 4分.3 743 74 k 方 法 二 同 方 法 一 得 直 線 方 程 為 y=kx+1,即

25、 kx-y+1=0. 2分又 圓 心 到 直 線 距 離 d= 4分（ 2） 證 明 設(shè) 過 A點(diǎn) 的 圓 的 切 線 為 AT， T為 切 點(diǎn) ，則 |AT|2=|AM| |AN|，|AT| 2=（ 0-2） 2+（ 1-3） 2-1=7， | | | |=7. 6分根 據(jù) 向 量 的 運(yùn) 算 ： =| | | | cos 0 =7為 定 值 . 8分,1221132 22 kkkk 3 743 74,1122 2 kkkd 解 得AM ANAM AN AM AN （ 3） 解 設(shè) M（ x1， y1） ， N（ x2， y2） ， 則 由 得 =x1x2+y1y2=（ 1+k2） x1x2

26、+k（ x1+x2） +1= k=1（ 代 入 檢 驗(yàn) 符 合 題 意 ） . 12分,1 71 44 221 221 kxx kkxx 10分OM ON 1281 )1(4 2 k kk 探 究 提 高 本 題 涉 及 的 知 識(shí) 點(diǎn) 很 多 ， 雖 然 含 有 向 量 ，但 只 是 用 到 了 平 面 向 量 最 基 本 的 知 識(shí) ， 最 后還 是 很 常 規(guī) 的 用 到 點(diǎn) 到 直 線 的 距 離 、 根 與 系 數(shù) 的關(guān) 系 等 方 法 ， 能 否 將 問 題 合 理 地 轉(zhuǎn) 換 是 解 題 的 關(guān) 鍵 .已 知 圓 C： x2+y2+2x-4y+3=0.（ 1） 若 圓 C的 切

27、線 在 x軸 和 y軸 上 的 截 距 相 等 ， 求此 切 線 的 方 程 ；（ 2） 從 圓 C外 一 點(diǎn) P（ x 1,y1） 向 該 圓 引 一 條 切 線 ，切 點(diǎn) 為 M， O為 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) ， 且 有 |PM|=|PO|， 求使 得 |PM|取 得 最 小 值 的 點(diǎn) P的 坐 標(biāo) .知 能 遷 移 4 解 （ 1） 將 圓 C配 方 得 （ x+1） 2+（ y-2） 2=2. 當(dāng) 直 線 在 兩 坐 標(biāo) 軸 上 的 截 距 為 零 時(shí) ， 設(shè) 直 線 方程 為 y=kx,由 直 線 與 圓 相 切 得 即k=2 ， 從 而 切 線 方 程 為 y=（ 2 ） x. 當(dāng) 直

28、 線 在 兩 坐 標(biāo) 軸 上 的 截 距 不 為 零 時(shí) ，設(shè) 直 線 方 程 為 x+y-a=0,由 直 線 與 圓 相 切 得 x+y+1=0或 x+y-3=0.（ 2） 由 |PO|=|PM|得 x +y =(x 1+1)2+(y1-2)2-2 2x1-4y1+3=0. 2122 kk6 621 21 即 點(diǎn) P在 直 線 l:2x-4y+3=0上 ， 當(dāng) |PM|取 最 小 值 時(shí)即 |OP|取 得 最 小 值 ， 直 線 OP l， 直 線 OP的 方 程 為 2x+y=0.解 方 程 組得 P點(diǎn) 坐 標(biāo) 為 ,0342 ,02 yx yx .53,103 方 法 與 技 巧1.過

29、圓 外 一 點(diǎn) M可 以 作 兩 條 直 線 與 圓 相 切 ， 其 直 線 方 程 的 求 法 有 兩 種 ：（ 1） 用 待 定 系 數(shù) 法 設(shè) 出 直 線 方 程 ， 再 利 用 圓 心 到 切 線 的 距 離 等 于 半 徑 列 出 關(guān) 系 式 求 出 切 線 的 斜 率 ， 進(jìn) 而 求 得 直 線 方 程 .（ 2） 用 待 定 系 數(shù) 法 設(shè) 出 直 線 方 程 ， 再 利 用 直 線 與 圓 相 切 時(shí) 交 點(diǎn) 唯 一 列 出 關(guān) 系 式 求 出 切 線 的 斜 率 ， 進(jìn) 而 求 得 直 線 方 程 .思 想 方 法 感 悟 提 高 2.若 兩 圓 相 交 時(shí) ， 把 兩 圓

30、的 方 程 作 差 消 去 x2和 y2就 得 到 兩 圓 的 公 共 弦 所 在 的 直 線 方 程 .3.求 弦 長 時(shí) ， 常 利 用 圓 心 到 弦 所 在 的 直 線 的 距 離 求 弦 心 距 ， 再 結(jié) 合 勾 股 定 理 求 弦 長 .4.求 圓 外 一 點(diǎn) P到 圓 O上 任 意 一 點(diǎn) 距 離 的 最 小 值 為 |PO|-r,最 大 值 為 |PO|+r（ 其 中 r為 圓 O的 半 徑 ） . 失 誤 與 防 范1.求 圓 的 弦 長 問 題 ， 注 意 應(yīng) 用 圓 的 性 質(zhì) 解 題 ， 即 用 圓 心 與 弦 中 點(diǎn) 連 線 與 弦 垂 直 的 性 質(zhì) ， 可 以

31、用 勾 股 定 理 或 斜 率 之 積 為 -1列 方 程 來 簡 化 運(yùn) 算 .2.注 意 利 用 圓 的 性 質(zhì) 解 題 ， 可 以 簡 化 計(jì) 算 .例 如 ， 求 圓 外 一 點(diǎn) 到 圓 上 任 意 一 點(diǎn) 的 最 小 距 離 或 最 大 距 離 利 用 兩 點(diǎn) 的 距 離 減 去 或 加 圓 半 徑 就 很 簡 便 . 一 、 選 擇 題1.（ 2009 重 慶 理 ， 1） 直 線 y=x+1與 圓 x2+y2=1的 位 置 關(guān) 系 是 （ ） A.相 切 B.相 交 但 直 線 不 過 圓 心 C.直 線 過 圓 心 D.相 離 解 析 圓 心 到 直 線 的 距 離 d= d

32、r且 d 0, 直 線 與 圓 相 交 但 不 過 圓 心 .定 時(shí) 檢 測 B,12221 2.（ 2008 遼 寧 理 ， 3） 圓 x2+y2=1與 直 線 y=kx+2 沒 有 公 共 點(diǎn) 的 充 要 條 件 是 （ ） A.k (- , ) B.k (- ,- ) ( ,+ ) C.k (- , ) D.k (- ,- ) ( ,+ ) 解 析 圓 x2+y2=1的 圓 心 為 O（ 0， 0） ， 則 O到 直 線 y-kx-2=0的 距 離 為 由 于 直 線 和 圓 沒 有 公 共 點(diǎn) ， 因 此 1+k 2 4, k . 2 22 23333 C.12 2k ,112 2 k

33、3 3 3.設(shè) O為 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) ， C為 圓 （ x-2） 2+y2=3的 圓 心 ， 且 圓 上 有 一 點(diǎn) M（ x,y） 滿 足 =0， 則 等 于 （ ） A. B. C. D. 解 析 =0， OM CM， OM是 圓 的 切 線 . 設(shè) OM的 方 程 為 y=kx,由 得 k= ， 即 = .xy CM33 3333 或3 33 或 DCMOM ,3122 k k3 xy 3 OM 4.已 知 點(diǎn) P（ x， y） 是 直 線 kx+y+4=0 (k 0)上 一 動(dòng) 點(diǎn) ， PA、 PB是 圓 C： x2+y2-2y=0的 兩 條 切 線 ， A、 B是 切 點(diǎn) ， 若 四

34、 邊 形 PACB的 最 小 面 積 是 2， 則 k的 值 為 （ ） A. B. C.2 D.2 2 221 2 解 析 圓 C的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 為 x2+(y-1)2=1,圓 心 C（ 0， 1） ， 半 徑 為 1， |PC|2=|PA|2+1.又 S四 邊 形 PACB=2 |PA| 1=|PA|， 當(dāng) |PA|最 小 時(shí) ， 面 積 最 小 ， 而 此 時(shí) |PC|最 小 .又 |PC|最 小 為 C到 直 線 kx+y+4=0的 距 離 面 積 最 小 為 2時(shí) ， 有 22=解 得 k=2（ k 0） .21,152 kd ,115 22 k答 案 D 5.過 點(diǎn) （ 0，

35、-1） 作 直 線 l與 圓 x2+y2-2x-4y-20=0交 于 A、 B兩 點(diǎn) ， 如 果 |AB|=8， 則 直 線 l的 方 程 為 （ ） A.3x+4y+4=0 B.3x-4y-4=0 C.3x+4y+4=0或 y+1=0 D.3x-4y-4=0或 y+1=0 解 析 圓 ： (x-1)2+(y-2)2=25,易 知 直 線 斜 率 存 在 ，設(shè) l:y+1=k(x-0)， 即 kx-y-1=0，圓 心 （ 1， 2） 到 l的 距 離 d=由 +42=52,得 4k2+3k=0, k=0或 k=- ， 當(dāng) k=0時(shí) ， l:y=-1;當(dāng) k=- 時(shí) ， l:3x+4y+4=0.

36、答 案 C .132 kk22 )13( kk 4343 6.已 知 直 線 x+y=a與 圓 x2+y2=4交 于 A、 B兩 點(diǎn) ,且 | + |=| - |,其 中 O 為 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) ， 則 實(shí) 數(shù) a的 值 為 （ ） A.2 B. 2 C.-2 D. 解 析 如 圖 ， 作 平 行 四 邊 形 OADB， 則 + = ， - = ， | |=| |. 又 | |=| |， 四 邊 形 OADB為 正 方 形 ， 易 知 | |為 直 線 在 y軸 上 的 截 距 的 絕 對 值 ， a= 2. 2BOA OB OA OBOA OB ODODOA OB BABAOA OBOA 二

37、 、 填 空 題7.若 直 線 ax+by=1與 圓 x2+y2=1相 切 ， 則 實(shí) 數(shù) ab的 取 值 范 圍 是 . 解 析 圓 心 （ 0,0） 到 直 線 的 距 離 a2+b2=1. |ab| ,11 22 bad.212 22 ba.2121 ab 21,21 8.（ 2009 四 川 理 ， 14） 若 O： x2+y2=5與 O1: (x-m)2+y2=20(m R)相 交 于 A、 B兩 點(diǎn) ， 且 兩 圓 在 點(diǎn) A處 的 切 線 互 相 垂 直 ， 則 線 段 AB的 長 度 是 . 解 析 如 圖 所 示 ， 在 Rt OO1A中 ， OA= ， O1A=2 ， OO

38、1=5， AC= AB=4. 45 5,25 525 9.（ 2009 天 津 理 ， 14） 若 圓 x2+y2=4與 圓 x2+y2+ 2ay-6=0(a 0)的 公 共 弦 的 長 為 2 ,則 a= . 解 析 x2+y2+2ay=6,x2+y2=4， 兩 式 相 減 得 y= . 聯(lián) 立 消 去 y得 x2= (a 0). 解 得 a=1. 13 a1 ,4,1 22 yx ay 22 14 aa ,32142 2 aa 三 、 解 答 題10.自 點(diǎn) A（ -3， 3） 發(fā) 出 的 光 線 l射 到 x軸 上 ， 被 x軸 反 射 ， 其 反 射 光 線 所 在 直 線 與 圓 x

39、2+y2-4x-4y+7=0 相 切 ， 求 光 線 l所 在 直 線 的 方 程 . 解 已 知 圓 （ x-2） 2+(y-2)2=1關(guān) 于 x軸 的 對 稱 圓 C 的 方 程 為 （ x-2） 2+(y+2)2=1,如 圖 所 示 . 可 設(shè) 光 線 l所 在 直 線 方 程 為 y-3=k(x+3)， 直 線 l與 圓 C 相 切 ， 圓 心 C （ 2， -2） 到 直 線 l的 距 離解 得 k=- 或 k=- . 光 線 l所 在 直 線 的 方 程 為3x+4y-3=0或 4x+3y+3=0.,11 55 2 kkd 43 34 11.設(shè) 圓 上 的 點(diǎn) A（ 2， 3） 關(guān)

40、 于 直 線 x+2y=0的 對 稱 點(diǎn) 仍 在 圓 上 ,且 與 直 線 x-y+1=0相 交 的 弦 長 為 2 ， 求 圓 的 方 程 . 解 用 待 定 系 數(shù) 法 求 圓 的 方 程 ， 設(shè) 圓 的 方 程 為 （ x-a） 2+（ y-b） 2=r2. 則 所 求 圓 的 圓 心 為 （ a， b） ， 半 徑 為 r. 點(diǎn) A（ 2， 3） 關(guān) 于 直 線 x+2y=0的 對 稱 點(diǎn) A 仍 在 這 個(gè) 圓 上 ， 圓 心 （ a,b） 在 直 線 x+2y=0上 ， a+2b=0， （ 2-a） 2+(3-b)2=r2. 又 直 線 x-y+1=0截 圓 所 得 的 弦 長 為

41、 2 ， r2- 2 2.)2(2 1 22 ba 解 由 方 程 、 、 組 成 的 方 程 組 得 ： 所 求 圓 的 方 程 為（ x-6)2+(y+3)2=52或 （ x-14） 2+(y+7)2=244. .244,7,14,52,3,6 22 rbarba 或 12.如 右 圖 所 示 ， 已 知 圓 C1:x2+y2-2mx-2ny+m2-1 =0和 圓 C2： x2+y2+2x+2y -2=0交 于 A、 B兩 點(diǎn) 且 這 兩 點(diǎn) 平 分 圓 C2的 圓 周 . 求 圓 C1的 圓 心 C1的 軌 跡 方 程 ， 并 求 出 當(dāng) 圓 C1的 半 徑 最 小 時(shí) 圓 C1的 方 程 . 解 圓 C1： （ x-m） 2+（ y-n） 2=n2+1，圓 C2： （ x+1） 2+（ y+1） 2=4，而 C1C2 AB且 AB為 圓 C2直 徑 . |AC2|= =2， 又 |AC1|2= =1+n2，|AC2|2=4， |C1C2|2=（ m+1） 2+（ n+1） 2. （ m+1） 2=-2（ n+2） 即 為 點(diǎn) C1的 軌 跡 方 程 .又 -2（ n+2） 0， n -2，當(dāng) n=-2時(shí) ， m=-1， = ，此 時(shí) 圓 C 1的 方 程 為 （ x+1） 2+(y+2)2=5.2cr 21crmin)( 1cr 5 返 回