《橢圓的簡單幾何性質(zhì)》課件.ppt

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1、 知 識 儲 備 案 ：1.橢 圓 的 定 義 :到 兩 定 點 F1、 F2的 距 離 之 和 為 常 數(shù) （ 大 于 |F1F2 |） 的動 點 的 軌 跡 叫 做 橢 圓 。2.橢 圓 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 是 ：3.橢 圓 中 a,b,c的 關(guān) 系 是 :當(dāng) 焦 點 在 X軸 上 時當(dāng) 焦 點 在 Y軸 上 時 )0(1 2222 babyax )0(12222 babxay2 2 2c a b a F2F1 OB2B1A1 A2xy cb找 出 a、 b、 c所 表 示 的 線 段 。 B2F2O叫 橢 圓 的 特 征 三 角 形 。 二 、 橢 圓 簡 單 的 幾 何 性 質(zhì)1222

2、2 byax問題1：指出A1 、A2 、B1、B2 的坐標(biāo)？問題2：指出橢圓上點的橫坐標(biāo)的范圍？問題3：指出橢圓上點的縱坐標(biāo)的范圍？結(jié) 論 ： 橢 圓 中 -a x a, -b y b.橢 圓 落 在 x= a, y= b組 成 的 矩 形 中 o yB 2B1A1 A2F1 F2c ab1、 范 圍 ： 2、 橢 圓 的 對 稱 性 x x對 稱 軸 ： x軸 、 y軸對 稱 中 心 ： 原 點 2、 對 稱 性 ： o yB 2B1A1 A2F1 F2c ab從 圖 形 上 看 ， 橢 圓 關(guān) 于 x軸 、 y軸 、 原 點 對 稱 。從 方 程 上 看 ：（ 1） 把 x換 成 -x方

3、程 不 變 ， 圖 象 關(guān) 于 y軸 對 稱 ；（ 2） 把 y換 成 -y方 程 不 變 ， 圖 象 關(guān) 于 x軸 對 稱 ；（ 3） 把 x換 成 -x， 同 時 把 y換 成 -y方 程 不 變 ， 圖 象 關(guān) 于 原 點 成 中心 對 稱 。 3、 橢 圓 的 頂 點 )0(12222 babyax令 x=0， 得 y=？ ， 說 明 橢 圓 與 y軸 的 交 點 ？令 y=0， 得 x=？ 說 明 橢 圓 與 x軸 的 交 點 ？*頂 點 ： 橢 圓 與 它 的 對 稱 軸的 四 個 交 點 ， 叫 做 橢 圓 的頂 點 。*長 軸 、 短 軸 ： 線 段 A 1A2、B1B2分 別

4、 叫 做 橢 圓 的 長 軸和 短 軸 。a、 b分 別 叫 做 橢 圓 的 長 半軸 長 和 短 半 軸 長 。 o yB2B1A1 A2F1 F2c ab (0,b) (a， 0)(0,-b)(-a， 0) 123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y 1 2 3 4 5-1-5 -2-3-4 x 1 2 3 4 5-1-5 -2-3-4 x根 據(jù) 前 面 所 學(xué) 有 關(guān) 知 識 畫 出 下 列 圖 形11625 22 yx 1425 22 yx（ 1） （ 2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 4、 橢 圓 的 離 心 率 e(刻畫橢圓扁平程度的量)ace 離 心

5、率 ： 橢 圓 的 焦 距 與 長 軸 長 的 比 ：叫 做 橢 圓 的 離 心 率 。1離 心 率 的 取 值 范 圍 ：2離 心 率 對 橢 圓 形 狀 的 影 響 ：0ebce a2 2 2c a b 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程范 圍對 稱 性 頂 點 坐 標(biāo)焦 點 坐 標(biāo)半 軸 長離 心 率 a、 b、 c的 關(guān) 系 2 22 2 1( 0)x y a ba b |x| a,|y| b關(guān) 于 x軸 、 y軸 成 軸 對 稱 ；關(guān) 于 原 點 成 中 心 對 稱(a,0)、 (-a,0)、(0,b)、 (0,-b)(c,0)、 (-c,0)長 半 軸 長 為 a,短半 軸 長 為 b. ab ce

6、a 2 22 2 1( 0)x y a bb a |x| b,|y| a同 前(b,0)、 (-b,0)、(0,a)、 (0,-a)(0 , c)、 (0, -c)同 前同 前 同 前2 2 2c a b (0e1)(e越 接 近 于 1越 扁 ) 例 1已 知 橢 圓 方 程 為 9x2+25y2=225, 它 的 長 軸 長 是 ： 。 短 軸 長 是 ： 。焦 距 是 ： 。 離 心 率 等 于 ： 。焦 點 坐 標(biāo) 是 ： 。 頂 點 坐 標(biāo) 是 ： 。 外 切 矩 形 的 面 積 等 于 ： 。 10 68 ( 3,0)(0, 4) 60解 題 的 關(guān) 鍵 ： 1、 將 橢 圓 方

7、程 轉(zhuǎn) 化 為 標(biāo)準(zhǔn) 方 程 明 確 a、 b1925 22 yx2、 確 定 焦 點 的 位 置 和 長 軸 的 位 置5 4 例 5 電 影 放 映 燈 泡 的 反 射 面 是 旋 轉(zhuǎn) 橢 圓 面 的 一 部 分 。過 對 稱 軸 的 截 口 BAC是 橢 圓 的 一 部 分 ， 燈 絲 位 于 橢 圓 的 一個 焦 點 上 ， 片 門 位 于 另 一 個 焦 點 上 .由 橢 圓 一 個 焦 點 發(fā) 出 的光 線 ， 經(jīng) 過 旋 轉(zhuǎn) 橢 圓 面 反 射 后 集 中 到 另 一 個 焦 點 。 已 知 建 立 適 當(dāng) 的 坐 標(biāo)系 ， 求 截 口 BAC所 在 橢 圓 的 方 程 。1 2

8、 1 1 2,| | 2.8 ,| | 4.5 .BC FF FB cm FF cm 課 本 例 題 練 習(xí) ： 已 知 橢 圓 的 離 心 率 求 m的 值 及 橢 圓 的 長 軸 和 短 軸 的 長 、 焦 點 坐標(biāo) 、 頂 點 坐 標(biāo) 。 2 2( 3) ( 0)x m y m m 3 ,2e 例 2 求 適 合 下 列 條 件 的 橢 圓 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 經(jīng) 過 點 P( 3,0)、 Q(0, 2)； 長 軸 長 等 于 20， 離 心 率 3/5。 一 焦 點 將 長 軸 分 成 ： 的 兩 部 分 ， 且 經(jīng) 過 點 3 2,4P 2 2 19 4x y 解 ： 方 法 一 ：

9、 設(shè) 方 程 為 mx2 ny2 1（ m 0， n 0， mn） ， 將 點 的坐 標(biāo) 方 程 ， 求 出 m 1/9,n 1/4。方 法 二 ： 利 用 橢 圓 的 幾 何 性 質(zhì) ， 以 坐 標(biāo) 軸 為 對 稱 軸 的 橢 圓 與 坐 標(biāo) 軸 的 交 點 就 是橢 圓 的 頂 點 ， 于 是 焦 點 在 x軸 上 ， 且 點 P、 Q分 別 是 橢 圓 長 軸 與 短 軸 的 一 個 端 點， 故 a 3， b 2， 所 以 橢 圓 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 為 注 ： 待 定 系 數(shù) 法 求 橢 圓 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 的 步 驟 ： 定 位 ； 定 量2 2 136 32x y 2 2 110

10、0 64x y 2 2 1100 64y x 或 2 2 1145 2904 9y x 或 練 習(xí) ：1. 根 據(jù) 下 列 條 件 ， 求 橢 圓 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 。 長 軸 長 和 短 軸 長 分 別 為 8和 6， 焦 點 在 x軸 上 長 軸 和 短 軸 分 別 在 y軸 ， x軸 上 ， 經(jīng) 過 P(-2,0)， Q(0,-3)兩 點 . 一 焦 點 坐 標(biāo) 為 （ 3， 0） 一 頂 點 坐 標(biāo) 為 （ 0， 5） 兩 頂 點 坐 標(biāo) 為 （ 0， 6） ， 且 經(jīng) 過 點 （ 5， 4） 焦 距 是 12， 離 心 率 是 0.6， 焦 點 在 x軸 上 。2. 已 知 橢 圓

11、 的 一 個 焦 點 為 F（ 6， 0） 點 B， C是 短軸 的 兩 端 點 ， FBC是 等 邊 三 角 形 ， 求 這 個 橢 圓 的標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 。 例 3： (1)橢 圓 的 左 焦 點 是 兩 個 頂 點 ， 如 果 到 直 線 AB的 距 離 為 ， 則 橢 圓 的 離 心 率 e= .(3)設(shè) M為 橢 圓 上 一 點 ， 為 橢 圓 的 焦點 ， 如 果 ， 求 橢 圓 的 離 心 率 。2 22 2 1( 0)x y a ba b 1( ,0),F c( ,0), (0, )A a B b 7b 2 2 2 2 1x ya b 1 2F F、1 2 2 175 , 15

12、MFF MF F 小 結(jié) ：本 節(jié) 課 我 們 學(xué) 習(xí) 了 橢 圓 的 幾 個 簡 單 幾 何 性 質(zhì) ： 范 圍 、對 稱 性 、 頂 點 坐 標(biāo) 、 離 心 率 等 概 念 及 其 幾 何 意 義 。了 解 了 研 究 橢 圓 的 幾 個 基 本 量 a， b， c， e及 頂 點 、焦 點 、 對 稱 中 心 及 其 相 互 之 間 的 關(guān) 系 ， 這 對 我 們 解決 橢 圓 中 的 相 關(guān) 問 題 有 很 大 的 幫 助 ， 給 我 們 以 后 學(xué)習(xí) 圓 錐 曲 線 其 他 的 兩 種 曲 線 扎 實 了 基 礎(chǔ) 。 在 解 析 幾何 的 學(xué) 習(xí) 中 ， 我 們 更 多 的 是 從 方 程 的 形 式 這 個 角 度來 挖 掘 題 目 中 的 隱 含 條 件 ， 需 要 我 們 認(rèn) 識 并 熟 練 掌握 數(shù) 與 形 的 聯(lián) 系 。 在 本 節(jié) 課 中 ， 我 們 運 用 了 幾 何 性質(zhì) ， 待 定 系 數(shù) 法 來 求 解 橢 圓 方 程 ， 在 解 題 過 程 中 ，準(zhǔn) 確 體 現(xiàn) 了 函 數(shù) 與 方 程 以 及 分 類 討 論 的 數(shù) 學(xué) 思 想 。 (4)P為 橢 圓 上 任 意 一 點 ， F1、 F2是 焦 點 ， 則 F1PF2的 最 大 值 是 .134 22 yx