2022-2023學(xué)年福建省德化市高一年級下冊學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

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1、一、單選題 1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標為，則（????） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及模長公式計算即可. 【詳解】由題意得，則， 故選：C 2．已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則此圓錐的母線長為（????） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圓錐的特征及扇形的弧長公式計算即可. 【詳解】由圓錐的特征可知圓錐的側(cè)面展開圖形成的扇形弧長為底面圓的周長， 則該弧長為， 又，由扇形的弧長公式可知：圓錐的母線長為. 故選：B 3．在平面四邊形中，是的中點，則（????） A． B． C． D．

2、 【答案】A 【分析】由平面向量的線性運算結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)計算即可. 【詳解】?? 由是的中點，且可得，即四邊形為平行四邊形， 由， 故， 故選：A 4．設(shè)是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是（????） A．若，則 B．若，，則 C．若，則 D．若，則 【答案】D 【分析】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系一一判定即可. 【詳解】?? 如圖所示，正方體ABCD-EFGH， 若平面ABCD為，EF為直線l，F(xiàn)G為直線m，顯然，而，即A錯誤； 若平面ABCD為，EF為直線l，DC為直線m，顯然，，而，即B錯誤； 若平面ABCD為，EA為直線l，DC為直

3、線m，顯然，而，即C錯誤； 對于D項，過m作面，由面面平行與線面垂直的性質(zhì)可知，而，故，即D正確； 故選：D 5．在中，若，則最大角和最小角之和為（????） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理，推出三條邊的比值，通過余弦定理求解中間角的大小，即可得出結(jié)果. 【詳解】由正弦定理得， ， 所以最大角為，最小角為， 所以設(shè)，， 則由余弦定理得， ， 又，所以，. 故選：D 6．我國古代名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有方錐，下廣二丈，高三丈．欲斬末為方亭，令上方六尺．問：斬高幾何？”大致意思是：有一個正四棱錐的下底面邊長為二丈，高為三丈，現(xiàn)從上面截

4、去一段，使之成為正四棱臺，且正四棱臺的上底面邊長為六尺，則截去的正四棱錐的高是多少？如果我們把求截去的正四棱錐的高改為求剩下的正四棱臺的體積，則該正四棱臺的體積是（????）（注：1丈=10尺） A．立方尺 B．立方尺 C．3892立方尺 D．11676立方尺 【答案】C 【分析】由棱臺的特征及其體積公式計算即可. 【詳解】?? 如圖所示，由四棱錐I-ABCD截得棱臺ABCD-EFGH，W、X分別為上下底面的中心，即IX為棱錐的高，WX為棱臺的高， 由題意可知棱臺上下底面均為正方形， 故其上下底面面積分別為，則， 棱錐的高，由棱臺的性質(zhì)可知，所以棱臺的高. 故（立方尺）.

5、故選：C 7．某市有一寶塔主體是由圓柱、棱柱、球等幾何體構(gòu)成，如圖所示．為了測量寶塔的高度，某數(shù)學(xué)興趣小組在寶塔附近選擇樓房作為參照物，樓房高為，在樓頂A處測得地面點處的俯角為，寶塔頂端處的仰角為，在處測得寶塔頂端處的仰角為，其中在一條直線上，則該寶塔的高度（????） ?? A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知條件解三角形得CM，再解求CD即可. 【詳解】， 在中，易得， 在中，易得， 由正弦定理得：， 在中，. 故選：B 8．若正的邊長為4，為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（????） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以為坐

6、標原點，以所在直線為軸建立平面直角坐標系，則，，由題意設(shè)，根據(jù)數(shù)量積的坐標運算結(jié)合三角函數(shù)求最值即可. 【詳解】由題知， 以為坐標原點，以所在直線為軸建立平面直角坐標系，如圖， ?? 則，， 由題意設(shè)， 則， ， ， ， ， 可得. 故選：D 二、多選題 9．已知向量，，下列說法正確的是（????） A． B． C．與向量平行的單位向量是 D．向量在向量上的投影向量為 【答案】AD 【分析】利用向量的坐標表示逐一判斷即可. 【詳解】選項A：，，所以，A正確； 選項B：，所以，B錯誤； 選項C：，所以與向量平行的單位向量是或，C錯誤； 選項

7、D：向量在向量上的投影向量為，D正確； 故選：AD 10．如圖，在四面體中，截面是正方形，則下列判斷正確的是（????） ?? A． B．平面 C． D．點B，D到平面的距離不相等． 【答案】BC 【分析】由平行線分線段成比例可判斷A；由線面平行的判定定理和性質(zhì)定理可判斷B；由線線平行和垂直的性質(zhì)可判斷C；由線面平行性質(zhì)可判斷D. 【詳解】在四面體中,若截面是正方形,可得平面平面,可得平面 又平面，而平面平面,可得 又平面,面，則平面,故B正確； 同樣可得平面,所以點B，D到平面的距離相等，故D錯誤； 由,可得,故C正確； 由,且,但不一定與相等,故,不一定相等,故A

8、錯誤. 故選：BC 11．已知點是所在平面內(nèi)一點，下列命題正確的是（????） A．若，則點是的重心 B．若點是的外心，則 C．若，則點是的垂心 D．若點是的垂心，則 【答案】ACD 【分析】利用三角形重心、外心、垂心的性質(zhì)，結(jié)合向量數(shù)量積的運算，根據(jù)選項逐個驗證可得答案. 【詳解】對于A，取的中點， 則， 因為，所以，即點在中線上； 同理可得點在中線上，所以點是的重心，A正確. ?? 對于B，設(shè)為的中點，因為點是的外心，所以; ，B不正確. ?? 對于C，因為，所以， 即點在邊上的高線上，同理可得點也在邊上的高線上， 所以點是的垂心；C正確. 對于D，

9、因為 ，即. 因為點是的垂心，所以，所以， 所以存在，使得，D正確. 故選：ACD. 12．如圖，正方體的棱長為，點是側(cè)面上的一個動點（含邊界），下列結(jié)論正確的有（????） ?? A．若四點共面，則點的運動軌跡長度為 B．若，則點的運動軌跡長度為 C．若，則點的運動軌跡長度為 D．若直線與所成的角為，則點的運動軌跡長度為 【答案】ABD 【分析】根據(jù)各項分別確定點的軌跡即可求解. 【詳解】對于A，因為，所以確定一個平面，而不共線的三點在這個平面內(nèi)， 所以確定的平面即為平面，故點在上，即點的軌跡為，，故A正確； ?? 對于B，連接，因為在正方體中，所以平面，

10、而平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以，同理可證， 又平面，所以平面，故當時，點在上，即點的軌跡為，，故B正確； 對于C，因為在正方體中，所以平面， 而平面，所以，所以， 所以點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，則軌跡長度為，故C錯誤； 對于D，因為，直線與所成的角為，所以與所成的角為，即，所以在直角中，， 所以點的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓，則軌跡長度為，故D正確； 故選：ABD. 三、填空題 13．若復(fù)數(shù)為一元二次方程的一個根，則_____ ． 【答案】6 【分析】把復(fù)數(shù)代入，根據(jù)復(fù)數(shù)相等可求答案. 【詳解】因為復(fù)數(shù)為一元二次方程的一個根， 所以

11、，整理得， 所以且，解得， 所以. 故答案為:6. 14．在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為______． 【答案】/ 【分析】根據(jù)已知作出圖形，利用異面直線所成角的定義及余弦定理即可求解. 【詳解】由題意可知，連接,如圖所示， 在長方體中， 所以，且， 所以四邊形是平行四邊形， 所以. 所以角為異面直線與所成的角. 又因為，， 所以, 在中，由余弦定理得, 異面直線與所成角的余弦值為. 故答案為：. 15．已知一球體剛好和圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切，且圓臺上底面的半徑為，下底面的半徑為，則該球的體積為_________． 【答案】 【分

12、析】在軸截面梯形中，，，，然后利用，求出母線長，再由可求出球的半徑，從而可求出球體的體積. 【詳解】?? 如圖，在軸截面梯形中，，， 設(shè)球的半徑為,M為球與圓臺的一個切點，. 因為， ,即得， 解得. 又因為，即，所以，， 所以該球體的體積為. 故答案為： 16．記的內(nèi)角的對邊分別為，，若的面積為3，則當?shù)闹荛L取到最小值時，_______． 【答案】 【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合三角形面積定理、余弦定理求出周長的函數(shù)表達式，再借助函數(shù)性質(zhì)、均值不等式計算作答. 【詳解】由題意得，因為，則， 由余弦定理，所以即，即，則， 而函數(shù)在上單調(diào)遞增，即當a最小時，的周長最小，

13、 顯然，當且僅當時取“=”，此時， 所以當?shù)闹荛L取到最小值時，． 故答案為： 【點睛】關(guān)鍵點點睛：求的周長取到最小值時先將周長表達為變量的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定當且僅當取最小值時周長最小，再用基本不等式求取最小值時的取值. 四、解答題 17．已知復(fù)數(shù)． (1)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限，求實數(shù)的取值范圍． (2)若復(fù)數(shù)，求的共軛復(fù)數(shù)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化簡，再根據(jù)對應(yīng)的點在第四象限列出限制條件，求解不等式可得答案； （2）先化簡，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求解. 【詳解】（1）因為, 所以 因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限

14、，所以 ，所以， 即實數(shù)的取值范圍為 （2），所以. 18．已知向量滿足，，． (1)求向量的夾角的大??； (2)設(shè)向量，若的夾角為銳角，求實數(shù)k的取值范圍． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的模公式及向量的夾角公式即可求解； （2）根據(jù)向量夾角與向量數(shù)量積的關(guān)系即可求解. 【詳解】（1）由，兩邊平方得， ∵，， ，解得， , ，?? . （2）向量的夾角為銳角，等價于且方向不同． 所以,解得， 若方向相同，設(shè)， ， ∵不共線， ，解得， 綜上所述，的取值范圍是. 19．如圖，已知四棱錐中，，、分別是、的中點，底面ABCD，且

15、 ?? (1)證明：平面； (2)若，求三棱錐的體積． 【答案】(1)證明見解析 (2) 【分析】（1）可以通過作輔助線結(jié)合中位線得到線線平行證明線面平行或者通過證明面面平行得到線面平行； （2）先求三棱錐的體積，得到三棱錐的體積，利用幾何體的分割可得答案. 【詳解】（1）證法一：連接AC交BO于點，連接． ， ∴四邊形為平行四邊形,∴是的中點； ∵中，是的中點,； ∵ 平面，平面， ∴ 平面. ?? 證法二：中，分別是的中點，， 又平面，平面,平面 ， 且， ∴四邊形是平行四邊形， ， 又平面，平面,平面; ，平面,∴平面平面， ∵平面，平面

16、. （2）連結(jié)，， ?? 由中，， 得，, ∴ 的面積; 又平面，, ∴三棱錐的體積為; ∵是的中點， , ∴. 20．在下列3個條件中任選一個，補充到下面問題，并解答． ①；②；③． 問題：在中，內(nèi)角的對邊分別為，為的面積，且滿足 ． (1)求角的大?。? (2)若，平分，交于點，求的長． 【答案】(1)任選一條件，都有 (2) 【分析】（1）若選①：根據(jù)已知條件及正弦定理邊角化，利用輔助角公式及三角函數(shù)的特殊值對應(yīng)的特殊角，注意角的范圍即可求解； 若選②：根據(jù)已知條件及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，利用正弦定理角化邊及余弦定理的推論，結(jié)合三角函數(shù)的特殊值

17、對應(yīng)的特殊角，注意角的范圍即可求解； 若選③：根據(jù)已知條件及三角形的面積公式，利用向量的數(shù)量積的定義及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)的特殊值對應(yīng)的特殊角，注意角的范圍即可求解； （2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角形的面積公式，利用余弦定理及等面積法即可求解. 【詳解】（1）若選①， 由及正弦定理，得, 中，， ， , 中，， ， ，?? . 若選②： 由， 得， ， 由正弦定理得，， ， 若選③： 由，又， ， ， ， ， （2）由（1）知，, 所以，解得， 由余弦定理得 ，又， ， ， ， 由平分，及，得 ，

18、 ， . 21．如圖所示，三棱臺中，底面，． (1)證明：是直角三角形； (2)若，問為何值時，直線與平面所成角的正弦值為？ 【答案】(1)證明見解析 (2) 【分析】（1）結(jié)合棱臺的特征及條件先證得平面，由即可得結(jié)論； （2）作，先證為直線與平面所成角，設(shè)邊長，結(jié)合條件解直角三角形得出含參表示的邊長，作商即可解得. 【詳解】（1）∵平面，平面，∴ 又，，平面，∴平面， ∵三棱臺中， ∴平面， 又平面，，故是直角三角形． （2） 在平面內(nèi)作，垂足為，連接． 由（1）知，平面，又平面，， ，平面，平面， 是在平面上的射影，即為直線與平面所成角． 設(shè)，

19、則，， ∵三棱臺中，， ，． 在中，，， 在中，， 解得． ∴ 當時，直線與平面所成角的正弦值為． 22．如圖，設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，為邊上的中線，已知． (1)求的面積； (2)點為上一點，，過點的直線與邊（不含端點）分別交于．若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一、由正弦定理得，由AD為中線得，結(jié)合三角形面積公式可得，從而由正弦的和角公式得，求面積即可； 法二、由正弦定理得，在和中，由正弦定理作商得的正余弦值，從而由正弦的和角公式得，求面積即可； 法三、設(shè)，利用平面向量的數(shù)量積公式可求得，解方程求得的余弦值，繼而可

20、得. （2）設(shè)，利用向量共線的充要條件可得結(jié)合得，，從而可得兩個三角形面積之比. 【詳解】（1）法一：由及正弦定理得： 又∵是邊上的中線，， 即 易知為銳角，， ； （法二）由及正弦定理得： ， 在中，由正弦定理得 ①， 在中，設(shè)，由正弦定理得②， ①②得，??易知為銳角，， ； （法三）：由及正弦定理得：， 設(shè)，∵AD為邊上的中線，∴， 則， ， ， ∴， 整理得，即， ∴ 或 ， 經(jīng)檢驗，符合題意， ∴， ∴． （2） 設(shè) ∵D為BC的中點，， ， 又E、G、F三點共線，所以，即③ 又， ， 由（1）知，， 化簡得④，??由③④，得，，?? ∴. 【點睛】思路點睛：第二問以為基底，設(shè)利用向量共線充要條件即：若三點共線，則平面中任一點，有，有，故得出的一個關(guān)系式，再結(jié)合得出的另一個關(guān)系式，解方程組求出，再計算面積比值即可.