《高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2_2_2 反證法課件 新人教A版選修1-2》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2_2_2 反證法課件 新人教A版選修1-2(32頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2.2.2反證法 自主學(xué)習(xí)新知突破 1了解間接證明的一種基本方法反證法2了解反證法的思考過程、特點(diǎn)3理解反證法的推理過程,證明步驟,體會(huì)直接證明與間接證明的區(qū)別與聯(lián)系 1思考:A、B、C三個(gè)人,A說B撒謊,B說C撒謊,C說A、B都撒謊則C必定是在撒謊,為什么? 提示假設(shè)C沒有撒謊, 則C真. 那么A假且B假;由A假,知B真這與B假矛盾那么假設(shè)C沒有撒謊不成立,則C必定是在撒謊 2已知正整數(shù)a,b,c滿足a2b2c2 ,求證:a,b,c不可能都是奇數(shù)問題1你能利用綜合法和分析法證明該問題嗎?提示1不能問題2a,b,c不可能都是奇數(shù)的反面是什么?提示2都是奇數(shù) 假設(shè)原命題_,經(jīng)過正確的推理,最后得
2、出矛盾,因此說明_,從而證明了_,這種證明方法叫作反證法反證法的定義不成立假設(shè)錯(cuò)誤原命題成立 反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾,這個(gè)矛盾可以是與_矛盾,或與_矛盾,或與_矛盾等反證法常見的矛盾類型已知條件假設(shè)定義、公理、定理、事實(shí) 反證法的實(shí)質(zhì)及注意事項(xiàng):(1)反證法的實(shí)質(zhì)反證法不直接證明命題,而是從原命題的反面入手,合乎邏輯地推出一個(gè)矛盾結(jié)果,由于兩個(gè)相互矛盾的判斷必有一真一假,由此肯定命題“若p則q”為真(2)注意事項(xiàng)用反證法證明問題的第一步是“反設(shè)”,這一步一定要準(zhǔn)確,否則后面的過程毫無意義反證法的“歸謬”要合理 1應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中要把下列哪些作為條件使用()結(jié)論的否定
3、;已知條件;公理、定理、定義等;原結(jié)論ABCD解析:根據(jù)反證法的定義,推導(dǎo)過程中,不能把原結(jié)論作為條件使用,其他都可以答案:C 2用反證法證明:“若a,b兩數(shù)之積為0,則a,b至少有一個(gè)為0”,應(yīng)假設(shè)()Aa,b沒有一個(gè)為0 Ba,b只有一個(gè)為0Ca,b至多有一個(gè)為0 Da,b兩個(gè)都為0解析:“至少有一個(gè)”的反設(shè)是“一個(gè)也沒有”,故應(yīng)假設(shè)a,b沒有一個(gè)為0.答案:A 3用反證法證明“一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角”有三個(gè)步驟: A B C9090 C180,這與三角形內(nèi)角和為180矛盾,故假設(shè)錯(cuò)誤所以一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角假設(shè)ABC中有兩個(gè)直角,不妨設(shè) A90, B90.上述步驟的正確順序?yàn)開解析
4、:由反證法的一般步驟可知,正確的順序應(yīng)為.答案: 4已知abc0,求證:abbcca0.證明:假設(shè)abbcca0,因?yàn)閍2b2c20,則(a2b2c2)2(abbcca)0.所以(abc)20,即abc0,這與abc0矛盾,所以假設(shè)不成立,故abbcca0. 合作探究課堂互動(dòng) 用反證法證明否(肯)定式命題平面上有四個(gè)點(diǎn),假設(shè)無三點(diǎn)共線,證明以每三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形不可能都是銳角三角形 1.結(jié)論中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等詞語的命題,此類問題的反面比較具體,適于應(yīng)用反證法2用反證法證明問題的一般步驟:(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假設(shè)結(jié)論的反面成立(2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理
5、論證,得出矛盾(3)從矛盾判定假設(shè)不正確,從而肯定命題的結(jié)論正確 1用反證法證明:鈍角三角形最大邊上的中線小于該邊長的一半 “至多”、“至少”型命題已知a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù),求證:由yax22bxc,ybx22cxa和ycx22axb確定的三條拋物線中至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn). 2分由yax22bxc,ybx22cxa,ycx22axb,得1(2b)24ac0,且2(2c)24ab0,且3(2a)24bc0. 5分 同向不等式求和得:4b24c24a24ac4ab4bc0 7分2a22b22c22ab2bc2ac0 8分
6、(ab)2(bc)2(ac)20 9分abc 10分這與題設(shè)a,b,c互不相等矛盾,因此假設(shè)不成立,從而命題得證. 12分 1.當(dāng)命題出現(xiàn)“至多”“至少”等形式時(shí),適合用反證法2常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”原結(jié)論詞至少有一個(gè)至多有一個(gè)至少有n個(gè)至多有n個(gè)反設(shè)詞一個(gè)也沒有(不存在)至少有兩個(gè)至多有n1個(gè)至少有n1個(gè) 原結(jié)論詞只有一個(gè)對(duì)所有x成立對(duì)任意x不成立反設(shè)詞沒有或至少有兩個(gè)存在某個(gè)x不成立存在某個(gè)x成立原結(jié)論詞都是是p或q p且q反設(shè)詞不都是不是綈 p且綈 q 綈 p或綈 q 用反證法證明唯一性問題已知a與b是異面直線求證:過a且平行于b的平面只有一個(gè) 思路點(diǎn)撥這是一個(gè)唯一性問題,直接證明
7、較困難,宜用反證法 如圖,假設(shè)過直線a且平行于直線b的平面有兩個(gè),分別為和,在直線a上取點(diǎn)A,過b和A確定一個(gè)平面,且與,分別交于過點(diǎn)A的直線c,d,由b,知bc,同理bd,故cd,這與c,d相交于點(diǎn)A矛盾,故假設(shè)不成立,原結(jié)論成立 用反證法證明唯一性命題的適用類型:(1)當(dāng)證明結(jié)論是以“有且只有”“只有一個(gè)”“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時(shí),由于反設(shè)結(jié)論易于推出矛盾,所以用反證法證明唯一性就非常簡單明了(2)用反證法證題時(shí),一定要處理好推出矛盾這一步驟,因?yàn)榉醋C法的核心就是從求證的結(jié)論反面出發(fā),導(dǎo)出矛盾的結(jié)果,因此如何導(dǎo)出矛盾,就成為了關(guān)鍵所在,對(duì)于證題步驟,絕不可死記,而要具有全面扎實(shí)的基礎(chǔ)
8、知識(shí),靈活運(yùn)用特別提醒:證明“有且只有一個(gè)”的問題,需要證明兩個(gè)問題,即存在性問題和唯一性問題 3已知兩條相交直線a,b,求證:直線a,b有且只有一個(gè)交點(diǎn)證明:假設(shè)結(jié)論不成立,即有兩種可能:無交點(diǎn);至少有兩個(gè)交點(diǎn)(1)若直線a,b無交點(diǎn),那么ab或a,b是異面直線,與已知矛盾;(2)若直線a,b至少有兩個(gè)交點(diǎn)A和B,這樣同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)A,B就有兩條直線,這與“經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線”相矛盾綜上所述,兩條相交直線a,b有且只有一個(gè)交點(diǎn) 用反證法證明命題“a,b為整數(shù),若ab不是偶數(shù),則a,b都不是偶數(shù)”時(shí),應(yīng)假設(shè)為_【錯(cuò)解】a,b不都是偶數(shù) 【錯(cuò)因】應(yīng)用反證法時(shí),假設(shè)錯(cuò)誤a,b不都是偶數(shù)包括的情況有:a是偶數(shù),b是奇數(shù);a是奇數(shù),b是偶數(shù);a是奇數(shù),b是奇數(shù)注意否定的結(jié)論是不是結(jié)論的對(duì)立面:“a,b都不是偶數(shù)”指“a,b都是奇數(shù)”,它的反面是“a,b不都是奇數(shù)”【正解】a,b不都是奇數(shù)