信號與系統(tǒng)第1章信號與系統(tǒng)分析的理論基礎(chǔ)

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1、第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)第1章 信號與系統(tǒng)分析的理論基礎(chǔ)1.1 引言 1.2 信號與系統(tǒng)的分類1.3 典型信號及信號與系統(tǒng)分析的基本過程 1.4 奇異函數(shù) 1.5 正交函數(shù)基1.6 線性非時變系統(tǒng)系統(tǒng)的描述和分類1.7 系統(tǒng)分析的基本方法 1.8 卷積 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)1.1 引言Q 1：什么是信號？我國古代利用烽火臺 傳送敵人入侵的警報信息。擊鼓鳴金 傳達戰(zhàn)斗命令信息可見，所謂的信號就是攜帶信息的一種載體，而根據(jù)載體的不同，可以有不同的信號形式。 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)Q 2：什么

2、是系統(tǒng)？系統(tǒng)的功能 解決信號探測、傳輸和處理問題，也就是根據(jù)不同物理事件形成的不同信號，建立一個傳輸裝置或進行加工處理的系統(tǒng)系統(tǒng) 由一些相互作用和相互依賴的事物組成的具有特定功能的整體。相對于系統(tǒng)而言，輸入信號常稱為激勵，輸出信號常稱為響應(yīng)。 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)具有 p個輸入和 q個輸出的系統(tǒng) 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)1.2 信號與系統(tǒng)的分類1.2.0 信號與系統(tǒng)的描述信號(Signal) 信號是攜帶消息的載體。系統(tǒng)(System) 系統(tǒng)是由一些相互作用和相互依賴的事物組成的具有特定功能的整體。 第 1 章 信 號 與

3、系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)1.2.1 信號的分類 1. 確定信號與隨機信號所謂確定性信號是指信號是一個確定的時間函數(shù)，即給定某一時間值，就可以確定出一個相應(yīng)的函數(shù)值，確定性信號又稱為規(guī)則信號。然而在實際應(yīng)用中，人們所獲得的信號往往具有不可預(yù)知的 不確定性，這種信號通常稱為隨機信號或不確定性信號。 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)2. 周期信號與非周期信號一個連續(xù)信號f(t)，若對所有t均有 f(t)=f(t+mT) m=0, 1, 2, 則稱f(t)為連續(xù)周期信號，滿足上式的最小T值稱為f(t)的周期。非周期信號是在時間上不具有這種周而復(fù)始變化的規(guī)律，或者可以

4、認(rèn)為是周期 趨于無限大的周期信號。 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)3. 連續(xù)時間信號與離散時間信號 如果在某一時間范圍內(nèi)，對于任意時間的函數(shù)值，除若干個不連續(xù)點外，都可以給出確定的值，則這類信號稱為連續(xù)信號連續(xù)信號的幅值可以是連續(xù)的，即可以取任何實數(shù)，如圖1.2-1(a)所示，也可以是離散的，即可以取有限個規(guī)定的數(shù)值，如圖1.2-1(b)所示。對于時間和幅值都是連續(xù)的信號又稱為模擬信號，如圖1.2-1(a)所示。 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)3. 連續(xù)時間信號與離散時間信號 與連續(xù)信號相對應(yīng)的是離散信號。它們是離散時間的函數(shù)，只在某些不

5、連續(xù)的規(guī)定瞬間給出函數(shù)值，其他時間函數(shù)沒有定義。如果離散信號的幅值是連續(xù)的，即幅值可取任意實數(shù)，如圖1.2-2(a)所示，則稱為離散抽樣信號。如果離散信號的幅值只能取某些規(guī)定的數(shù)值，如圖1.2-2(b)所示，則稱為數(shù)字信號。 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)4. 能量信號與功率信號如果在無限大的時間間隔內(nèi)，信號的能量為有限值而信號平均功率為零，則此類信號稱為能量信號。對它只能從能量方面去加以考察，而無法從平均功率去考察。如果在無限大的時間間隔內(nèi)，信號的平均功率為有限值而信號的總能量為無限大，則此類信號稱為功率信號。 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論

6、基 礎(chǔ)1.2.2 系統(tǒng)的分類1. 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)是指由線性元件組成的系統(tǒng)；非線性系統(tǒng)則是含有非線性元件的系統(tǒng)。2. 時變系統(tǒng)與非時變系統(tǒng)如果系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間的變化而變化，則此類系統(tǒng)稱為非時變系統(tǒng)或定常系統(tǒng)如果系統(tǒng)的參量隨時間而改變，則稱其為時變系統(tǒng)或參變系統(tǒng)。3. 連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)若系統(tǒng)的輸入和輸出都是連續(xù)時間信號，則此類系統(tǒng)稱為連續(xù)時間系統(tǒng)。若系統(tǒng)的輸入和輸出都是離散時間信號，則此類系統(tǒng)稱為離散時間系統(tǒng)。 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)1.2.2 系統(tǒng)的分類4. 即時系統(tǒng)與動態(tài)系統(tǒng)如果系統(tǒng)的輸出信號只決定于同時刻的激勵信號，與它過去的工作

7、狀態(tài)無關(guān)，則此類系統(tǒng)稱為即時系統(tǒng)或無記憶系統(tǒng)。如果系統(tǒng)的輸出信號不僅取決于同時刻的激勵信號，而且還與它過去的工作狀態(tài)有關(guān)，這種系統(tǒng)稱為動態(tài)系統(tǒng)或記憶系統(tǒng)。5. 集總參數(shù)系統(tǒng)與分布參數(shù)系統(tǒng)只由集總參數(shù)元件組成的系統(tǒng)稱為集總參數(shù)系統(tǒng)含有分布參數(shù)元件（如傳輸線、波導(dǎo)等）的系統(tǒng)則是分布參數(shù)系統(tǒng)。 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)1.3典型信號及信號與系統(tǒng)分析的基本過程1.3.1 矩形脈沖信號 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)1.3.2 正弦信號 隨連續(xù)時間t按正弦規(guī)律變化的信號稱為連續(xù)時間正弦信號， 簡稱正弦信號。 正弦信號的一般形式表示為 ( )

8、sin( )f t A t 式中，A、和分別為正弦信號的振幅、角頻率和初相。 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)1.3.3 指數(shù)信號 連續(xù)時間指數(shù)信號，簡稱指數(shù)信號， 其一般形式為 ( ) tf t e o f (t) a1 0 0 0 t 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)1.3.4 抽樣函數(shù) sin( ) tSa t t抽樣函數(shù)定義為： 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)1.3.5 高斯函數(shù) 2( ) tf t Ee 高斯函數(shù)定義為： 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)1.4 奇異函數(shù) 奇異函數(shù)

9、 信號的各階導(dǎo)數(shù)并非都是有限值，所以通常把這類信號叫做奇異信號或奇異函數(shù)典型奇異函數(shù)包括單位階躍函數(shù)和單位沖激函數(shù) 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)1.4 奇異函數(shù) 1.4.1 單位階躍信號 單位階躍函數(shù)描述的是某些實際對象從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)可以瞬時完成的過程單位階躍函數(shù)的定義是零時刻前，其值為零，在零時刻后其值為1，單位階躍函數(shù)的數(shù)學(xué)表達式和波形 1 0( ) 0 0tu t t 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)1.4.1 單位階躍信號 如果單位階躍函數(shù)的跳變點不是選擇在零點，而是移到 t0點，則時移的階躍函數(shù)表示為 00 01( )

10、0 t tu t t t t 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)單位階躍函數(shù)的積分單位階躍函數(shù)的積分等于單位斜坡函數(shù)( ) ( ) tR t u d 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)階躍函數(shù)的單邊性 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)符號函數(shù)的階躍函數(shù)表示符號函數(shù)定義為1 0Sgn( ) 1 0tt t 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)1.4.2 單位沖激函數(shù) 沖激函數(shù)定義為對作用時間極短而強度極大的物理過程的理想矩形脈沖演變?yōu)闆_擊函數(shù) 0 1( ) lim 2 2t u t u t 第 1 章

11、 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)1.4.2 單位沖激函數(shù) 狄拉克（Dirac）定義狄拉克定義的單位沖激函數(shù)( ) 1( ) 0 0t dtt t 0 0 0( ) 1( ) 0t t dtt t t t 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)單位沖激函數(shù)的應(yīng)用特性1.沖激函數(shù)的抽樣性若 為連續(xù)函數(shù)，則沖激函數(shù) 與 乘積的積分為( ) ( ) (0)f t t dt f 0 0( ) ( ) ( )f t t t dt f t 2.與單位階躍函數(shù)之間的關(guān)系( ) ( )t d u t ( ) ( )du t tdt 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的

12、理 論 基 礎(chǔ)單位沖激函數(shù)的應(yīng)用特性3.沖激函數(shù)為偶函數(shù)4.沖激函數(shù)的時間尺度特性() ( )t t 0 0 1( ) ( ) 2t dt t dt 由此可以推論1( ) ( )at ta 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)單位沖激函數(shù)的應(yīng)用特性5.沖激函數(shù)與任意函數(shù)的乘積6.單位沖激偶由此可以推論() () (0) ()f t t f t ( ) ( ) (0) ( )d f t t f tdt 單位沖激偶定義為單位沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，表達式為 ( ) 0( ) 0 0d t tt dt t 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)單位沖激函數(shù)的應(yīng)用特性

13、7.單位沖激序列( ) ( ) Ts snt t nT 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)1.5.1 矢量的正交分解 1. 正交矢量 圖 1.5-1 兩個矢量正交 o V2 V1901.5 正交函數(shù)基 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ) 兩矢量V1與V2正交時的夾角為90。不難得到兩正交矢量的點積為零， 即 090cos21 21 VVVV o V 2 V 1 Ve c12V2 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ) cos1212 VVc 所以最佳系數(shù)為 22 2121 212112 coscos VV VVVVVVVVc

14、第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ) 若V1與V2正交，則=90, cos=0，此時由式(1.5-2)得到的最佳系數(shù)c12=0。 這表明當(dāng)V1與V2正交時，用c12V2來近似表示V1還不如用0來近似V1。據(jù)此，我們可以把兩個矢量V1與V2正交的概念解釋如下： 給定兩個矢量V1和V2，現(xiàn)在要用與V2成比例的矢量c12V2近似地表示V 1，要求誤差矢量的模|Ve|最小(此時的c12稱為最佳)。若最佳的c12=0，則V1與V2正交。 由式(1.5-2)可知，當(dāng)兩矢量V1與V2正交時，c12=0，即V1V2=0。 2121 VcVVe 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的

15、理 論 基 礎(chǔ)2. 矢量的分解 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)1.5.2 正交函數(shù)設(shè)f1(t)和f2(t)為定義在(t1, t2)區(qū)間上的兩個函數(shù)，現(xiàn)在要用與f2(t)成比例的一個函數(shù)c12f2(t)近似地代表f1(t)，其誤差函數(shù)為 1 12 2( ) ( ) ( )t f t C f t 212( ) 0d tdC 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)得21 2 11 212 22( ) ( )( )tt ttf t f t dtC f t dt 21 1 2( ) ( ) 0tt f t f t dt 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分

16、析 的 理 論 基 礎(chǔ)1.5.3 正交函數(shù)集1. 三角函數(shù)集 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)1.5.3 正交函數(shù)集2. 復(fù)指數(shù)函數(shù)集 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)1.6 線性非時變系統(tǒng)1 線性特性系統(tǒng)的線性特性包含齊次性（均勻性）和疊加性（可加性）兩個方面的內(nèi)容 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)2 時不變特性 參數(shù)不隨時間變化的系統(tǒng)，稱為時不變系統(tǒng)或定常系統(tǒng)，否則稱為時變系統(tǒng)。 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)1.7 信號與系統(tǒng)的分析方法 LTI系統(tǒng)分析的理論基礎(chǔ)是信號的分解特性和系統(tǒng)

17、的線性、時不變特性。實現(xiàn)系統(tǒng)分析的統(tǒng)一觀點和方法是：激勵信號可以分解為眾多基本信號單元的線性組合；系統(tǒng)對激勵所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)對各基本信號單元分別作用時相應(yīng)響應(yīng)的疊加；不同的信號分解方式將導(dǎo)致不同的系統(tǒng)分析方法。 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)1.8 卷積積分 1.8.0 卷積的定義 設(shè)f1(t)和f2(t)是定義在(-，)區(qū)間上的兩個連續(xù)時間信號，我們將積分 dtff )()( 21 定義為f1(t)和f2(t)的卷積 (Convolution)， 簡記為 )()( 21 tftf 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)1.8.1 卷積的

18、圖解機理 信號f1(t)與f2(t)的卷積運算可通過以下幾個步驟來完成： 第一步，畫出f1(t)與f2(t)波形，將波形圖中的t軸改換成軸，分別得到f1()和f2()的波形。 第二步，將f2()波形以縱軸為中心軸翻轉(zhuǎn)180，得到f 2(-)波形。 第三步，給定一個t值，將f2(-)波形沿軸平移|t|。在t0時，波形往右移。這樣就得到了f2(t-)的波形。 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ) 第四步，將f1()和f2(t-)相乘，得到卷積積分式中的被積函數(shù)f1()f2(t-)。 第五步，計算乘積信號f1()f2(t-)波形與軸之間包含的凈面積，便是式(1.8 - 1)卷積

19、在t時刻的值。 第六步，令變量t在(-，)范圍內(nèi)變化，重復(fù)第三、四、五步操作，最終得到卷積信號f 1(t)*f2(t)。 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)1.8.3 卷積的基本性質(zhì) 卷積代數(shù) 卷積運算滿足三個基本代數(shù)運算律，即交換律 )()()()( 1221 tftftftf 結(jié)合律 )()()()()()( 321321 tftftftftftf 分配律 )()()()()()()( 3121321 tftftftftftftf 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)性質(zhì) 卷積微積分兩個函數(shù)相卷積后的導(dǎo)數(shù)等于兩個函數(shù)之一的導(dǎo)數(shù)與另一函數(shù)相卷積，即兩個函數(shù)相卷積后的積分等于兩函數(shù)之一的積分與另一函數(shù)相卷積，即 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)性質(zhì) f(t)與奇異信號的卷積(1) 信號f(t)與沖激信號(t)的卷積等于f(t)本身，即 )()()( tfttf 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)(2) 信號f(t)與沖激偶(t)的卷積等于f(t)的導(dǎo)函數(shù)， 即 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)(3) 信號f(t)與階躍信號u(t)的卷積等于信號f(t)的積分， 即 推廣到一般情況可得 第 1 章 信 號 與 系 統(tǒng) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ)1.9 小結(jié)