高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 6-2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和課件 新人教A版.ppt

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最新考綱 1.理解等差數(shù)列的概念；2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；3.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題；4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系．,第2講 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和,1．等差數(shù)列的定義 如果一個(gè)數(shù)列從第___項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于___________，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的_____，公差通常用字母d表示． 數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))，或an－an－1＝d(n≥2，d為常數(shù))．,知 識(shí) 梳 理,2,同一個(gè)常數(shù),公差,2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式 (1)若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an＝____________． 通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋________(m，n∈N*)． (2)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,a1＋(n－1)d,(n－m)d,3．等差數(shù)列及前n項(xiàng)和的性質(zhì) (1)若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項(xiàng)，且 A＝______． (2)若{an}為等差數(shù)列，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m， …(k，m∈N*)是公差為____的等差數(shù)列． (4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. 若n為奇數(shù)，則S奇－S偶＝a中(中間項(xiàng))．,md,4．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系 數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))． 5．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值 在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最___值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最___值．,大,小,1．判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) 精彩PPT展示 (1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列． ( ) (2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2. ( ) (3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的． ( ) (4)數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝n，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列. ( ),診 斷 自 測(cè),×,√,×,√,2．(2014·福建卷)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，S3＝12，則a6等于 ( ) A．8 B．10 C．12 D．14,答案 C,3．(2013·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝ ( ) A．3 B．4 C．5 D．6,答案 C,4．(2014·北京卷)若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a90，a7＋a100，則當(dāng)n＝________時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和最大． 解析 因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.∴當(dāng)n＝8時(shí)，其前n項(xiàng)和最大． 答案 8,5．(人教A必修5P68A8改編)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8＝________． 解析 由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180. 答案 180,考點(diǎn)一 等差數(shù)列的性質(zhì)及基本量的求解 【例1】 (1)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S8＝4a3，a7＝ －2，則a9＝ ( ) A．－6 B．－4 C．－2 D．2 解析 法一 (常規(guī)解法)：設(shè)公差為d，則8a1＋28d＝4a1＋8d，即a1＝－5d，a7＝a1＋6d＝－5d＋6d＝d＝－2，所以a9＝a7＋2d＝－6. 法二 (結(jié)合性質(zhì)求解)：根據(jù)等差數(shù)列的定義和性質(zhì)可得，S8＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3， 所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6. 答案 A,(2)(2014·浙江卷)已知等差數(shù)列{an}的公差d＞0.設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，S2·S3＝36. ①求d及Sn； ②求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65. 解 ①由題意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36， 將a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5. 因?yàn)閐＞0，所以d＝2.從而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*)． ②由①得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.,規(guī)律方法 (1)一般地，運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)，可以化繁為簡(jiǎn)、優(yōu)化解題過程．但要注意性質(zhì)運(yùn)用的條件，如m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，只有當(dāng)序號(hào)之和相等、項(xiàng)數(shù)相同時(shí)才成立．(2)在求解等差數(shù)列基本量問題中主要使用的是方程思想，要注意公式使用時(shí)的準(zhǔn)確性與合理性，更要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性．在遇到一些較復(fù)雜的方程組時(shí)，要注意整體代換思想的運(yùn)用，使運(yùn)算更加便捷．,【訓(xùn)練1】 (1)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則a37＋b37等于 ( ) A．0 B．37 C．100 D．－37 (2)若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 ( ) A．13 B．12 C．11 D．10 (3)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝10，S20＝30，則S30＝________．,解析 (1)設(shè){an}，{bn}的公差分別為d1，d2，則(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2， ∴{an＋bn}為等差數(shù)列， 又a1＋b1＝a2＋b2＝100， ∴{an＋bn}為常數(shù)列， ∴a37＋b37＝100. (2)因?yàn)閍1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146， a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180， 又因?yàn)閍1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2， 所以3(a1＋an)＝180，從而a1＋an＝60，,答案 (1)C (2)A (3)60,規(guī)律方法 證明一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列的基本方法有兩種：一是定義法，證明an－an－1＝d(n≥2，d為常數(shù))；二是等差中項(xiàng)法，證明2an＋1＝an＋an＋2.若證明一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需舉出反例即可，也可以用反證法．,【訓(xùn)練2】 (2015·西安模擬)已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a3·a4＝117，a2＋a5＝22. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；,解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，且d＞0， 由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a2＋a5＝a3＋a4＝22， 所以a3，a4是關(guān)于x 的方程x2－22x＋117＝0的解，所以a3＝9，a4＝13，易知a1＝1，d＝4， 故通項(xiàng)為an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.,考點(diǎn)三 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題 【例3】 等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＞0，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，且S5＝S12，則當(dāng)n為何值時(shí)，Sn有最大值？,深度思考 解決此類問題你首先想到的是哪種方法？在這里提醒大家：本題可用四種方法，請(qǐng)大家先思考．,規(guī)律方法 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法：(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)；(2)利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；(3)將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))看作二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．,【訓(xùn)練3】 (1)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，則當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n的值是 ( ) A．5 B．6 C．7 D．8 (2)(2014·望江中學(xué)模擬)設(shè)數(shù)列{an}是公差d＜0的等差數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和，若S6＝5a1＋10d，則Sn取最大值時(shí)，n的值為 ( ) A．5 B．6 C．5或6 D．11 (3)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝20，公差d＝－2，則前n項(xiàng)和Sn的最大值為________．,解析 (1)依題意得2a6＝4，2a7＝－2，a6＝2＞0，a7＝－1＜0；又?jǐn)?shù)列{an}是等差數(shù)列，因此在該數(shù)列中，前6項(xiàng)均為正數(shù)，自第7項(xiàng)起以后各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，于是當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n＝6，選B. (2)由題意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，故當(dāng)n＝5或6時(shí)，Sn最大，選C.,(3)因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝20，公差d＝－2，代入求和公式得，,又因?yàn)閚∈N*，所以n＝10或n＝11時(shí)，Sn取得最大值，最大值為110. 答案 (1)B (2)C (3)110,[思想方法] 1．判斷數(shù)列為等差數(shù)列的方法 (1)定義法：an＋1－an＝d(d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列． (2)等差中項(xiàng)法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列. (3)通項(xiàng)公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列． (4)前n項(xiàng)和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．,2．方程思想和化歸思想：在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時(shí)可以考慮化歸為a1和d等基本量，通過建立方程(組)獲得解． 3．在遇到三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列問題時(shí)，可設(shè)三個(gè)數(shù)為(1)a，a＋d，a＋2d；(2)a－d，a，a＋d；(3)a－d，a＋d，a＋3d等，可視具體情況而定． [易錯(cuò)防范] 1．當(dāng)公差d≠0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是n的一次函數(shù)，當(dāng)公差d＝0時(shí)，an為常數(shù)． 2．公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0.若某數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)不為0的二次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列．,3．求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最值時(shí)，需要注意“自變量n為正整數(shù)”這一隱含條件．若對(duì)稱軸取不到，需考慮最接近對(duì)稱軸的自變量n(n為正整數(shù))；若對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)兩個(gè)正整數(shù)的中間，此時(shí)應(yīng)有兩個(gè)符合題意的n值．,