《股票價格模型》PPT課件

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1、1 2 n 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析 3 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 一 、 隨 機(jī) 游 動 模 型n 二 、 對 數(shù) 正 態(tài) 分 布 模 型 返 回 4 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型一 、 隨 機(jī) 游 動 模 型 n 在 股 票 交 易 中 ， 每 一 個 交 易 日 都 有 一 套 股 票 交 易 的 價格 。 包 括 了 開 盤 價 、 收 盤 價 、 最 高 價 、 最 低 價 、 平 均價 。 對 這 些 價 格 及 其 交 易 日 期 進(jìn) 行 有 規(guī) 律 地 記 錄 所 形成 的 價 格 序 列

2、 稱 之 為 股 票 價 格 時 間 序 列 。 5 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 通 常 比 較 重 要 的 股 票 價 格 時 間 序 列 有 以 每 個 交 易 日 為基 礎(chǔ) 得 到 的 每 日 股 票 某 種 價 格 時 間 序 列 ； 以 每 個 周 、月 、 季 、 年 的 某 個 交 易 日 為 基 礎(chǔ) 得 到 的 每 周 、 月 、 季 、年 某 種 股 票 價 格 時 間 序 列 。 還 有 整 個 股 票 市 場 指 數(shù) 的某 種 形 式 的 指 數(shù) 時 間 序 列 。n 一 般 認(rèn) 為 收 盤 價 記 錄 的 股 票 價 格 時 間 序 列 相 對 重 要

3、 ，因 為 它 是 一 天 交 易 的 最 終 價 格 。 n 基 于 短 期 或 中 期 或 長 期 的 研 究 價 格 的 變 化 ， 則 可 以 選擇 日 、 周 或 月 、 季 乃 至 年 的 股 票 價 格 時 間 序 列 。 6 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 設(shè) 是 股 票 某 一 種 價 格 時 間 序 列 。 在 時 點(diǎn)t時 ， 的 取 值 為 集 合 ， 簡 記為 ， 因 此 它 是 一 個 隨 機(jī) 變 量 ， 這 樣 股票 價 格 時 間 序 列 是 隨 機(jī) 時 間 序 列 。n 為 了 用 股 票 價 格 時 間 序 列 對 股 票 價 格 走 勢 分 析

4、 ， 必 須研 究 它 的 隨 機(jī) 變 動 的 過 程 并 借 助 于 模 型 來 加 以 描 述 ，隨 機(jī) 時 間 序 列 模 型 就 是 這 樣 一 種 模 型 。 n 我 們 把 隨 機(jī) 變 量 組 成 的 序 列 稱 為 隨 機(jī) 過 程 。 ; 1, 2, tY t tY 1 2 , , , n 1, 2, , n ,tY t T 7 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 如 果 隨 機(jī) 過 程 滿 足 對 任 何 的 時 點(diǎn) 集 以 及 任 何實(shí) 數(shù) k， 都 有 成 立 ， 其 中 表 示 n個 隨 機(jī) 變 量 的 聯(lián) 合 概 率 分 布 函 數(shù) ，則 稱 這 個 隨 機(jī)

5、過 程 是 強(qiáng) 平 穩(wěn) 的 。n 由 定 義 可 見 強(qiáng) 平 穩(wěn) 概 念 的 表 述 只 與 時 間 相 聯(lián) 系 。 強(qiáng) 平穩(wěn) 意 味 著 隨 機(jī) 過 程 所 有 存 在 的 矩 都 不 隨 時 間 的 變 化 而變 化 。 n 如 果 一 個 隨 機(jī) 過 程 m階 以 下 的 矩 取 值 全 部 與 時 間 無 關(guān) ，則 稱 該 隨 機(jī) 過 程 是 m階 平 穩(wěn) 的 。 1 2( , , , )nt t t 1 2 1 2( , , , ) ( , )n nt t t t k t k t kf y y y f y y y ，)(f 8 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 特 別 如

6、 果 隨 機(jī) 過 程 滿 足 ： (1) ， t取 一 切 整 數(shù) ， 為 常 數(shù) 。 (2) ， , 為僅 與 時 差 k有 關(guān) ， 而 與 起 始 時 間 t無 關(guān) ， 稱 之 為 協(xié) 方 差 函 數(shù) ，則 稱 其 為 二 階 平 穩(wěn) 隨 機(jī) 過 程 。 n 隨 機(jī) 過 程 的 一 次 觀 測 結(jié) 果 稱 為 時 間 序 列 。n 在 自 然 科 學(xué) 領(lǐng) 域 中 許 多 時 間 序 列 都 是 平 穩(wěn) 的 ， 但 經(jīng) 濟(jì) 領(lǐng) 域中 多 數(shù) 宏 觀 經(jīng) 濟(jì) 變 量 的 時 間 序 列 卻 都 是 非 平 穩(wěn) 的 。 tY( )tE Y ( )( )t k t kE Y Y R , 2, 1,

7、 0, 1, 2,k kR 9 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 白 噪 聲 過 程 對 于 隨 機(jī) 過 程 ， 如 果 ： (1) (2) 則 稱 為 白 噪 聲 過 程 。 n 白 噪 聲 是 平 穩(wěn) 的 隨 機(jī) 過 程 ， 其 均 值 為 零 ， 方 差 為 常 數(shù) ，隨 機(jī) 變 量 之 間 不 相 關(guān) 。 顯 然 白 噪 聲 是 二 階 平 穩(wěn) 隨 機(jī) 過 程 。如 果 還 服 從 正 態(tài) 分 布 ， 即 高 階 矩 是 一 階 、 二 階 矩 的 函數(shù) ， 則 它 就 是 一 個 強(qiáng) 平 穩(wěn) 的 隨 機(jī) 過 程 。 , tY t T 221 )( ,0)( YEYE t

8、( ) 0, ( ) T, k 0t t kE YY t k tY tY 10 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 下 圖 給 出 由 白 噪 聲 產(chǎn) 生 的 一 個 時 間 序 列 。 白 噪 聲 過 程 的 均值 與 方 差 都 不 隨 時 間 而 變 化 。 圖 10.1 白 噪 聲 序 列 11 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 隨 機(jī) 游 動 過 程 對 于 隨 機(jī) 過 程 ， 如 果 其 中 是 白 噪 聲 過 程 ， 則 稱 為 隨 機(jī) 游 動 過 程 。 , tY t T 1 ,t t tY Y t T t tY 12 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī)

9、模 型n 隨 機(jī) 游 動 是 一 非 平 穩(wěn) 過 程 。n 事 實(shí) 上 的 期 望 為 一 常 數(shù) ， 但 它 的 方 差 是 時 間 t的 函 數(shù) ， 而 且 隨 發(fā) 散 到 無 窮 大 。 tY 0210 )()( YYEYE tt 2 2 21 0 1( ) ( ) ( )t tD Y E Y Y E t 13 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 下 圖 給 出 由 隨 機(jī) 游 動 過 程 產(chǎn) 生 的 一 個 時 間 序 列 ， 它 的 方 差隨 時 間 變 得 越 來 越 大 。 圖 10.2 非 平 穩(wěn) 序 列 14 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 單 位 根

10、 過 程 對 于 隨 機(jī) 過 程 ， 如 果 其 中 ， 為 一 平 穩(wěn) 過 程 ，且 ， 這 里 ， 則 稱 為 單 位 根 過 程 。 , tY t T 1 t t tY Y u t T 1, tu ( ) 0, ( , ) t t t k kE u E u u u Tkt tY 15 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 顯 然 ， 隨 機(jī) 游 動 是 單 位 根 過 程 的 一 個 特 例 。 單 位 根 過程 中 的 隨 機(jī) 干 擾 項(xiàng) 只 需 服 從 一 般 的 平 穩(wěn) 過 程 。n 和 這 種 假 設(shè) 上 的 差 異 使 它 們 在 現(xiàn) 代 金 融 學(xué) 和 經(jīng)濟(jì) 學(xué) 上

11、有 不 同 的 應(yīng) 用 。 當(dāng) 然 從 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 的 角 度 ， 單 位 根的 處 理 在 技 術(shù) 上 更 為 困 難 。 tu t tu 16 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 對 于 時 間 序 列 ， 一 階 差 分 可 表 示 為 其 中 B稱 為 一 階 位 移 算 子 ， 定 義 為 ， k階 位 移算 子 定 義 為 。 tY tY1 (1 )t t t t t tY Y Y Y BY B Y 1 tt YBYkttk YYB 17 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 在 這 樣 的 定 義 下 ， 二 次 一 階 差 分 可 表 示 為 或 21 211

12、 12 2 )()( )( ttt tttt tttt YYY YYYY YYYY 21 222 2 )21()1( ttt ttt YYY YBBYBY 18 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 對 于 單 位 根 過 程 可 將 其 改 寫 為 稱 為 位 移 多 項(xiàng) 式 ， 稱 為 它 的 特 征 方 程 。n 顯 然 單 位 根 過 程 的 特 征 方 程 有 根 。 當(dāng) 時 ， 有 一單 位 根 ， 這 就 是 單 位 根 過 程 稱 呼 的 來 歷 。n 今 后 分 別 以 和 表 示 單 位 根 過 程 和 平 穩(wěn) 過 程 ， 可 將 和 記 為 ttt uYY 1 (

13、1 ) t tB Y u )1( B 01 1 1 1(1)I (0)I tY tY (1),tY I )0( IYt 19 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 1900年 ， 法 國 經(jīng) 濟(jì) 學(xué) 家 巴 歇 利 埃 (Louis Bachelier)在 研 究 法國 商 品 價 格 走 勢 時 發(fā) 現(xiàn) ， 商 品 價 格 呈 隨 機(jī) 波 動 。 這 被 認(rèn) 為是 最 早 提 出 隨 機(jī) 游 動 的 概 念 。n 1959年 ， 羅 伯 茨 (Roberts)和 奧 斯 本 (Osborne)分 別 發(fā) 表 兩 篇研 究 股 票 市 場 價 格 波 動 的 研 究 報 告 ， 得 出

14、 了 一 致 結(jié) 論 ， 即股 價 波 動 符 合 物 理 學(xué) 上 的 布 朗 運(yùn) 動 (Brownian Motion)。 n 布 朗 運(yùn) 動 是 指 懸 浮 在 液 體 中 的 花 粉 微 粒 由 于 受 到 大 量 的 液體 小 分 子 的 無 序 碰 撞 而 呈 現(xiàn) 出 的 隨 機(jī) 運(yùn) 動 狀 態(tài) 。 而 隨 機(jī) 游動 模 型 恰 為 布 朗 運(yùn) 動 的 離 散 形 式 。 20 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 隨 機(jī) 游 動 模 型 所 描 述 的 股 價 波 動 過 程 是 一 個 漂 移 率 為 0的 擴(kuò) 散 過 程 ， 即 當(dāng) 前 時 刻 股 價 的 期 望 值

15、等 于 前 一 個 時刻 的 期 望 值 。 因 為 對 于 隨 機(jī) 游 動 過 程 兩 邊 求 在 條 件下 的 期 望 ， 則 得 1tY 1 1 1 1 1( | ) ( | ) ( | ) ( )t t t t t t tE Y Y E Y Y E Y E Y 21 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 如 果 考 慮 市 場 長 期 波 動 情 況 ， 比 如 時 間 間 隔 為 1年 。 按 照隨 機(jī) 游 動 的 結(jié) 論 ， 當(dāng) 年 的 股 票 價 格 在 前 一 年 股 價 的 條 件下 等 于 前 一 年 的 股 價 期 望 值 ， 假 如 這 樣 的 話 ， 那 么

16、很 少會 有 投 資 者 持 股 時 間 超 過 1年 ， 這 明 顯 與 現(xiàn) 實(shí) 市 場 不 符 。n 因 此 人 們 認(rèn) 為 ， 由 于 上 市 公 司 經(jīng) 營 所 賺 取 的 利 潤 ， 公 司的 股 票 價 格 從 長 期 看 ， 應(yīng) 該 呈 現(xiàn) 出 逐 漸 增 大 的 趨 勢 ， 實(shí)際 上 ， 這 就 是 對 數(shù) 正 態(tài) 分 布 模 型 。 22 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 二 、 對 數(shù) 正 態(tài) 分 布 模 型 我 們 考 慮 股 票 價 格 變 動 如 下 圖 。 圖 10.3 股 票 價 格 變 動 圖 23 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 將

17、時 期 劃 分 成 n個 長 度 為 的 子 區(qū) 間 ， 我 們將 通 過 分 析 在 每 個 小 區(qū) 間 內(nèi) 股 票 價 格 的 變 化 去 了 解 在 內(nèi) 股 價 的 變 化 過 程 。 n 設(shè) 表 示 在 時 間 t的 股 票 價 格 。 在 時 刻 t， 股 票 價 格 可 以 寫 成 0, T th 0, T ( )S t)1(/)()1()( tStStStS( )S t 24 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 設(shè) 表 示 在 最 后 小 區(qū) 間 的 連 續(xù) 復(fù) 利 率 ， 則 在 時 ，由 定 義 有 其 中 。 由 于 ,所 以 推 得 n 顯 然 依 賴 于 今

18、天 的 股 價 和 從 0到 T這 n個 小 區(qū) 間 的 連續(xù) 復(fù) 利 收 益 。 ( )z n tnT ( )z n )()1()( nzenSnS ( ) ( )S n S n t tntT )1( )()2()1()0()( nzzzeSnS ( )S n (0)S 25 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 令 ， 則 表 示 了 在 內(nèi) 連 續(xù)復(fù) 利 收 益 的 近 似 值 。n 為 了 評 價 股 票 價 格 過 程 ， 假 設(shè) 連 續(xù) 復(fù) 利 率 是 隨 機(jī) 的 ， 進(jìn)一 步 提 出 如 下 假 設(shè) ： 假 設(shè) 1 在 不 相 同 的 時 間 區(qū) 間 是 ， 且 服 從

19、隨 機(jī) 游 動 ； 假 設(shè) 2 ； ( ) ( )/ (0)Z T ln S T S nj jzTZ 1 )()( 0, T( )z t( )z t .iidttEz )( 26 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型 假 設(shè) 3 。 n 假 設(shè) 1是 說 ， 股 票 價 格 服 從 隨 機(jī) 游 動 ， 假 設(shè) 2， 3說 明 在長 度 為 的 小 區(qū) 間 ， 單 位 時 間 的 連 續(xù) 復(fù) 利 的 期 望 值 為常 數(shù) ， 單 位 時 間 內(nèi) 連 續(xù) 復(fù) 利 方 差 為 常 數(shù) 。 換 言 之 ，連 續(xù) 復(fù) 利 在 小 區(qū) 間 上 ， 其 期 望 值 與 方 差 與 區(qū) 間 長 度 成比

20、 例 。 ttDz 2)( t 2 27 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 在 上 述 假 設(shè) 下 ， 有 1 1( ( ) ( ( )n nj jE Z T E z j t n t T 2 2 21 1( ( ) ( ( )n nj jD Z T D z j n t n t T 28 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 定 理 10.1 漸 近 服 從 正 態(tài) 分 布 。 證 明 當(dāng) 充 分 小 時 ， 由 假 設(shè) 1及 中 心 極 限 定 理 即 知 服 從 漸 近 正 態(tài) 分 布 。 n 推 論 1 )(TZ 2( , )N T T t )(TZ 2 /2( ( )

21、 (0) T TE S T S e 29 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 設(shè) 是 概 率 空 間 ， T為 實(shí) 數(shù) 集 合 ， 對 每 一個 , 是 上 實(shí) 值 或 復(fù) 值 隨 機(jī) 變 量 ，則 稱 隨 機(jī) 變 量 族 為 一 隨 機(jī) 過 程 。 ( , , )F P t T )(tXXt ( , , )F P | TtX t 30 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 對 于 隨 機(jī) 過 程 ， 如 果 對 任 意 的 自 然 數(shù) 且 及 任 意 的n個 實(shí) 數(shù) , , , , ， 恒 有 則 稱 為 馬 爾 柯 夫 (Markov)過 程 。| TtXt , , 1,

22、 2, , ,kn t T k n 1 2 1n nt t t t 1x 2x 1nx y 1 2 11 1 2 11 | | n n nn nt t n t n tt t nP X y X x X x X xP X y X x ， ， ，| TtXt 31 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 在 上 式 中 ， 如 果 視 為 現(xiàn) 在 時 刻 ， 那 么 便 是 未 來 時刻 ， 就 是 過 去 時 刻 ， 于 是 Markov過 程 就具 有 性 質(zhì) ： 已 知 現(xiàn) 在 ， 將 來 的 概 率 分 布 與 過 去 狀 態(tài) 無關(guān) 。 1nt nt132 ttt nn ， 32 第

23、一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 對 于 隨 機(jī) 過 程 如 果 對 任 意 的 且 滿 足 都 能 使 與 相 互 獨(dú) 立 ，則 稱 為 獨(dú) 立 增 量 過 程 。n 定 理 10.2 若 是 上 的 實(shí) 數(shù) 值 獨(dú) 立增 量 過 程 ， 且 滿 足 ， 則 是 Markov過 程 。 | TtXt 1 2 3 4kt T k ， ， ， ， ，1 2 3 4t t t t 34 tt XX 12 tt XX | TtXt | TtXt ( , , )F P 0 0 X | TtXt 33 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 對 于 隨 機(jī) 過 程 ， 如 果 對 任 意

24、， 增 量 的 概 率分 布 只 依 賴 于 而 與 t無 關(guān) ， 則 稱 為 時 齊 過程 。 | TtXt 0 ， TtTt tt XX | TtXt 34 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 定 義 10.1 設(shè) 是 上 的 隨 機(jī) 過 程 ， 滿 足 : (1) ； (2) 具 有 獨(dú) 立 的 增 量 性 ； (3) 具 有 時 間 齊 性 ； (4) 對 任 何 ； 則 稱 為 維 納 (Wiener)過 程 。 特 別 當(dāng) 時 稱 為 基 本 維 納 過 程 。 0| tWt ( , , )F P 00 W 20 0 (0 ( ) )t tt W W N ， ， ， 0|

25、 tWt1 35 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 維 納 過 程 也 稱 為 布 朗 運(yùn) 動 。 n 以 下 考 慮 連 續(xù) 時 間 參 數(shù) ， 對 于 連 續(xù) 復(fù) 利 率 的 隨 機(jī) 性 ，通 常 假 設(shè) 利 用 布 朗 運(yùn) 動 ， 并 根 據(jù) 假 設(shè) 2和 假 設(shè) 3， 將 其表 示 為 其 中 為 上 的 Wiener過 程 , 。 ( )z t tWttz )1()(tW , 1t t 1( ) t tW t W W 36 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 由 定 義 即 得 其 中 表 示 在 內(nèi) 股 價 變 化 。 ( 1) 1 ( 1) ( )z t n

26、 S t S t )( )()( )(11)1( tS tStS tSntz ( ) ( )( )S t t W tS t ( ) ( 1) ( )S t S t S t , 1t t 37 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 從 而 在 隨 機(jī) 收 斂 意 義 下 ， 有 股 價 運(yùn) 動 的 隨 機(jī) 微 分 方 程 我 們 稱 遵 循 幾 何 Brown運(yùn) 動 ， 或 對 數(shù) 正 態(tài) 模 型 。 ( ) ( )( )dS t dt dW tS t ( )S t 38 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型 更 一 般 地 ， 我 們 有 n 定 義 10.2 如 果 隨 機(jī) 過

27、 程 滿 足 隨 機(jī) 微 分 方 程 則 稱 遵 循 過 程 。 其 中 為 的 漂 移 率 ， 為 的 方 差 率 。 ( )X t ( ) , ( ) , ( ) ( )dX t t X t dt t X t dW t | TtX t Ito ( )X t( )X t2 39 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 引 理 設(shè) 遵 循 過 程 則 和 t的 函 數(shù) 遵 循 如 下 過 程 : Ito | TtXt Ito( )X t ( ) , ( ) , ( ) ( )dX t t X t dt t X t dW t 2 221/2 ( )G G G GdG dt dW tX t

28、X X ,G t X t 40 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型即 G也 遵 循 過 程 ， 它 的 漂 移 率 為方 差 率 為 Ito 2222/1 XGtGXG 2 2GX 41 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 推 論 假 設(shè) 股 價 S服 從 幾 何 布 朗 運(yùn) 動 ： ，則 ， 從 而 dS Sdt SdW 2 2ln ,2d S N dt t 2 21ln ,2TtS N T t T tS 42 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型其 中 ： 未 來 T時 刻 的 股 票 價 格 ； 當(dāng) 前 t時 刻 的 股 票 價 格 ； 正 態(tài) 分 布 。 TSt

29、S ,N 43 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 由 對 數(shù) 正 態(tài) 分 布 模 型 給 出 的 股 票 價 格 變 動 如 下 圖 所 示 。 圖 10.4 對 數(shù) 正 態(tài) 分 布 模 型 的 股 票 價 格 變 動 44 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型n 例 10.1 考 慮 一 個 股 票 價 格 ， 他 的 初 值 為 40元 ， 預(yù) 期收 益 率 為 16%， 波 動 率 為 20%， 求 6個 月 后 的 股 價 變 動 。 由 推 論 ， 2 2 21 1 1ln ln40 16% 20% , (20%) (3.759, 0.141 ).2 2 2TS N

30、 N (ln ( , ) 68.3%(ln ( 2 , 2 ) 95.4%(ln ( 3 , 3 ) 99.6%TTTp Sp Sp S 45 第 一 節(jié) 股 票 價 格 隨 機(jī) 模 型 如 果 考 慮 變 動 ， 則 ， 即 未 來 6個 月 股 價 在 32.36至 56.88之 間 變 動 的 概 率 為95.4%。 2 3.477 4.04195.4%= (3.477 ln 4.041)( )(32.36 56.88)TTTp Sp e S ep S 46 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 在 很 多 情 形 下 ， 投 資 者 對 股 票 價 格 的 預(yù) 期 將 不 會 受到 一

31、 周 以 前 ， 一 個 月 以 前 ， 甚 至 一 年 以 前 的 股 票 價格 的 影 響 ， 而 與 股 票 價 格 預(yù) 測 有 關(guān) 的 惟 一 信 息 是 當(dāng)前 的 股 價 ， 這 樣 股 票 價 格 時 間 序 列 常 常 被 假 定 為 一個 馬 爾 柯 夫 鏈 。 返 回 47 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 所 謂 股 票 價 格 時 間 序 列 是 一 個 馬 爾 柯 夫 鏈 ,如 果 對 任 意 正 整 數(shù) 和 任 意 的 有 , 1, 2, tX t ,m k 1 2 1ki j i i i ， ， ， ， ， 1 1 2 2 1 1( | , , , )( | )

32、k m k k kk m kP X j X i X i X i X iP X j X i , 48 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 這 時 ， 稱 為 在 時 刻 k的 m步 轉(zhuǎn) 移 概 率 。 n 馬 爾 柯 夫 鏈 的 上 述 性 質(zhì) 說 明 ， 如 果 把 k視 為 現(xiàn) 在 ， 是 將 來 ， 是 過 去 ， 那 么 ， 在 已 知 現(xiàn) 在的 條 件 下 ， 將 來 狀 態(tài) 與 過 去 狀 態(tài) 無 關(guān) ， 這 就 是 所 謂 的“ 無 后 效 性 ” 。 ( , ) ( | )ij k m kP k k m P X j X i m k1, 2, , 2, 1k k 49 第 二 節(jié)

33、 馬 爾 柯 夫 分 析n 對 于 馬 爾 柯 夫 鏈 ， 如 果 在 時 刻 k的 m步 轉(zhuǎn) 移 概 率 與 k無 關(guān) ，即 則 馬 爾 柯 夫 鏈 稱 為 時 齊 的 。 1 1( ) ( | )( | )ij k m kmP k k m P X j X iP X j X i ， 50 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 馬 爾 柯 夫 鏈 為 時 齊 的 意 義 是 ， 過 程 由 狀 態(tài) i到 狀 態(tài) j的 m步 轉(zhuǎn) 移 概 率 只 依 賴 時 間 間 隔 長 短 ， 與 起 始 時 刻 無 關(guān) 。n 這 時 稱 為 從 狀 態(tài) i到 狀 態(tài) j的 m步 轉(zhuǎn) 移 概 率 。( ) (

34、 | ), , 1, 2, , ij k m kP m P X j X i i j n 51 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 因 為 是 條 件 概 率 ， 所 以 )(mPij ( ) 0, , 1, 2ijP m i j n , , 1 ( ) 1, 1 2n ijj P m i n , , , 52 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 將 狀 態(tài) 數(shù) 為 n的 有 限 時 齊 馬 爾 柯 夫 鏈 的 所 有 m步 轉(zhuǎn) 移 概率 構(gòu) 成 一 個 階 矩 陣 11 12 1 21 22 21 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )nnn n nn

35、P m P m P mP m P m P mP m P m P m P m 53 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析這 個 矩 陣 亦 稱 為 隨 機(jī) 矩 陣 ， 而 11 12 1 21 22 21 2(1) nnn n nnP P PP P PP P P P 54 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 根 據(jù) -Chapmau方 程 寫 成 矩 陣 形 式 其 中 是 單 位 矩 陣 ， 則1( ) ( ) ( ) 1nij ik kjkP m P l P m l l m ，)1()()( mPlPmPIIP ，)0( ( ) ( ) ( ) ( 1) mP m P l P m l PP

36、m P 55 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 對 于 時 齊 有 限 馬 爾 柯 夫 鏈 ， 如 果 m步 轉(zhuǎn) 移 概 率 對一 切 狀 態(tài) 存 在 不 依 賴 于 初 始 狀 態(tài) i的 概 率 則 稱 此 馬 爾 柯 夫 鏈 是 各 態(tài) 歷 經(jīng) 的 。 此 時 記 )(mPij,i j jijm mP )(lim 1 21 21 2( )lim lim nm nm m nP m P 56 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 對 于 各 態(tài) 歷 經(jīng) 的 馬 爾 柯 夫 鏈 ， 上 述 性 質(zhì) 說 明 ： 隨 著 P的冪 次 的 增 大 ， P的 每 列 元 素 趨 于 同 一 個 值

37、， 也 就 是 經(jīng) 歷一 定 時 間 的 狀 態(tài) 轉(zhuǎn) 移 后 ， 初 始 狀 態(tài) 的 影 響 逐 漸 消 失 ，系 統(tǒng) 最 終 達(dá) 到 完 全 與 初 始 狀 態(tài) 無 關(guān) 的 一 種 平 穩(wěn) 狀 態(tài) ，此 時 ， 稱 為 穩(wěn) 態(tài) 概 率 ， 它 滿 足 。 1 2( , , , )n 1 1n ii 57 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 可 以 證 明 ， 如 果 存 在 ， 使 中 每 個 元 素均 為 正 數(shù) ， 則 馬 爾 柯 夫 鏈 是 各 態(tài) 歷 經(jīng) 的 ， 且 穩(wěn) 態(tài) 概 率是 方 程 組 在 條 件 之 下 的 惟 一 解 。 0s ( ) sP s p P 1 2 1,

38、0, 1, ,n i i n 58 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 如 果 定 義 狀 態(tài) 概 率 ， 它 表 示 當(dāng) 系 統(tǒng) 在 時 的狀 態(tài) 為 已 知 ， 在 m次 轉(zhuǎn) 移 之 后 處 在 狀 態(tài) i的 概 率 ， 則)(mi 1m1 1 ( ) 1, 1, 2,ni m m 1( 1) ( ) , 1, 2, 3,nj i ijim m p m 59 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 記 那 么 由 此 遞 推 得 1 2( ) ( ), ( ), , ( ) ,nm m m m pmm )()1( 2)1()2()3( )1()2( Ppp 60 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫

39、 分 析n 一 般 地 因 此 ， 初 始 狀 態(tài) 概 率 向 量 右 乘 轉(zhuǎn) 移 概 率 矩 陣 的 m次 冪 ， 可 以 求 出 m次 轉(zhuǎn) 移 后 ， 系 統(tǒng) 處 在 它 的 每 一 個 狀 態(tài)的 概 率 。 n 可 以 證 明 ， 在 各 態(tài) 歷 經(jīng) 的 馬 爾 柯 夫 鏈 情 形 mPm )1()1( )1()1( m )(lim mm 61 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 在 實(shí) 際 應(yīng) 用 中 ， 穩(wěn) 態(tài) 概 率 有 兩 種 解 釋 ： 一 是 作 為 的 極 限 分 布 ， 它 告 訴 我 們 在 過 程 的 長 期 運(yùn) 行 中 不 論 初始 狀 態(tài) i是 什 么 , 經(jīng)

40、過 一 段 時 期 后 發(fā) 現(xiàn) 過 程 處 于 j的 概 率就 是 。 另 一 解 釋 是 也 代 表 了 就 長 期 而 言 過 程 處 于狀 態(tài) j的 次 數(shù) 占 整 個 轉(zhuǎn) 移 次 數(shù) 的 比 例 。 )(mpij j j 62 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 設(shè) 那 么 在 m步 轉(zhuǎn) 移 中 過 程 處 于 狀 態(tài) j的 次 數(shù) 所 占 比 例 為 1,0, nn Y jI 當(dāng)其 他 101 mn nIm 63 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 若 初 始 狀 態(tài) 為 ， 則 這 一 比 例 的 條 件 期 望 為 當(dāng) 時 ， 由 stolz定 理 這 就 支 持 了 第 二

41、 種 解 釋 。 iY 01 10 00 01 1| ( | )m mn nn nE I Y i P Y j Y im m 101 ( ) ( )lim limm ij ij jm mn P n P mm 64 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 例 10.2 設(shè) 某 證 券 一 天 的 價 格 變 化 分 為 下 跌 （ 用 -1表示 這 天 該 股 下 跌 ） 、 平 盤 （ 用 0表 示 這 天 該 股 平 盤 ） 和上 漲 （ 用 1表 示 這 天 該 股 上 漲 ） ， 某 股 票 投 資 者 對 該 股票 的 價 格 變 化 狀 況 連 續(xù) 統(tǒng) 計(jì) 了 40天 ， 數(shù) 據(jù) 如 下

42、 投 資 者 希 望 應(yīng) 用 馬 爾 可 夫 鏈 對 該 股 票 價 格 變 化 狀 況 進(jìn)行 分 析 ， 以 確 定 明 天 或 未 來 股 票 的 漲 跌 變 化 狀 況 。 0, 0, 1, -1, -1, 1, -1, 0, 1, 1, 1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, -1, 1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, -1, 0, -1, -1, 0, 1, -1, 1, 1, 0, -1 ,0 , 0 65 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 若 以 分 別 表 示 股 票 變 動 為 的 三 個 狀 態(tài) ，將 該 股 票 不 同 變 化 情 況 的

43、變 化 數(shù) 進(jìn) 行 統(tǒng) 計(jì) 列 入 下 表 ：表 10-1 頻 率 表1 2 3, , 1, 0, 1 i j ijn iN 轉(zhuǎn) 移 數(shù) 1 2 3 行 和123 346 634 463 131313 66 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 由 于 是 由 狀 態(tài) i到 狀 態(tài) j的 轉(zhuǎn) 移 次 數(shù) ， 于 是 轉(zhuǎn) 移 概 率 的 可 用 估 計(jì) 值 代 替 ， 得 到 一 步 轉(zhuǎn) 概 率 陣ijn ijpiijij nnP 23.031.046.0 46.023.031.0 31.046.023.0P 67 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 如 果 這 只 股 票 今 天 處 于 平

44、 盤 ， 則 ， 于 是這 只 股 票 明 天 處 于 下 跌 、 平 盤 和 上 漲 的 概 率 為 (1) (0, 1, 0) 0.23 0.46 0.31(2) (1) (0, 1, 0) 0.31 0.23 0.46 (0.46, 0.23, 0.31)0.46 0.31 0.23P 68 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 十 天 以 后 或 三 十 天 后 的 漲 跌 變 化 情 況 應(yīng) 歸 結(jié) 為 計(jì) 算 和 n 顯 然 ， 和 的 計(jì) 算 是 比 較 麻 煩 的 ， 這 時 可 利 用 穩(wěn) 態(tài)概 率 來 解 決 這 一 問 題 。 1010 0.23 0.46 0.31(11

45、) (1) (0, 1, 0) 0.31 0.23 0.460.46 0.31 0.23P 3030 0.23 0.46 0.31(31) (1) (0, 1, 0) 0.31 0.23 0.460.46 0.31 0.23P 10P 30P 69 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 由 方 程 組 ， 可 求 得 穩(wěn) 態(tài) 概 率 ，它 可 視 為 股 票 價 格 變 動 X的 穩(wěn) 態(tài) 狀 態(tài) 的 概 率 分 布 ， 于 是 可 見 未 來 價 格 波 動 的 處 于 較 平 均 的 狀 態(tài) 。 進(jìn) 一 步 可 以 證明 出 未 來 價 格 的 波 動 也 是 不 依 賴 于 其 初 始 狀

46、 態(tài) 的 。P (0.33, 0.33, 0.34) X( )P X i 1 2 30.33 0.33 0.34 70 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 進(jìn) 一 步 ， 對 于 一 個 具 有 m個 狀 態(tài) 的 具 有 馬 爾 柯 夫 性 質(zhì) 的股 價 時 間 序 列 ， 仍 用 P表 示 其 轉(zhuǎn) 移 概 率 ， 且 記 11 1 1 11 j mi ij imm mj mmP P PP P PP P P P 71 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 設(shè) 表 示 由 狀 態(tài) i到 狀 態(tài) j轉(zhuǎn) 移 時 產(chǎn) 生 的直 接 收 益 ， 其 直 接 收 益 矩 陣 記 為( , 1, , )i

47、jr i j m 11 1 1 11 j mimim mj mmi jr r rr rR r r rr 72 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 令 表 示 系 統(tǒng) 當(dāng) 前 處 在 狀 態(tài) i， 在 下 n次 轉(zhuǎn) 移 中 的 總預(yù) 期 收 益 。n 由 于 在 n次 轉(zhuǎn) 移 中 ， 若 系 統(tǒng) 由 狀 態(tài) i轉(zhuǎn) 移 到 狀 態(tài) j得 到 的收 益 為 ， 當(dāng) 系 統(tǒng) 起 始 于 j在 做 次 轉(zhuǎn) 移 的 總 預(yù) 期 收益 ， 于 是 總 的 收 益 即 為 )(nVi ijr 1n( 1) jV n ( 1)ij jr V n 73 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 因 為 系 統(tǒng) 從

48、i到 j的 概 率 為 ， 所 以 系 統(tǒng) 由 當(dāng) 前 的 狀 態(tài) i ，經(jīng) 過 n次 轉(zhuǎn) 移 得 到 的 總 的 預(yù) 期 收 益 為 即 1( ) ( ( 1), 1, ,mi ij ij jjV n P r V n i m 1 1( ) ( 1)m mi ij ij ij jj jV n P r PV n ijP 74 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 由 于 不 依 賴 于 n， 對 每 個 i是 常 數(shù) ， 所 以 可 令 則 寫 成 矩 陣 形 式 為mj ijijrP1 mj ijiji rPq 1 1( ) ( 1)mi i ij ijjV n q PV n ( 1)nV Q

49、 PV n 75 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析 其 中 上 述 公 式 可 以 確 定 在 當(dāng) 前 狀 態(tài) 下 ， 經(jīng) n次 轉(zhuǎn) 移 后 的 總 預(yù)期 收 益 。 1 12 2( )( )( ) ,( ) m mV n qV n qV n QV n q 76 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 對 于 一 個 具 有 馬 爾 柯 夫 性 質(zhì) 的 股 票 價 格 時 間 序 列 ， 有時 我 們 更 關(guān) 心 它 由 狀 態(tài) i出 發(fā) ， 首 次 到 達(dá) 狀 態(tài) j的 平 均 時間 。 為 此 我 們 再 引 入 一 個 重 要 的 概 率 ， 它 表 示 從 狀 態(tài) i出 發(fā) 經(jīng) n步

50、首 次 到 達(dá) 狀 態(tài) j的 概 率 。 用 式 子 表 達(dá) 即 是 0)0( ijf 0( ) ( , , 1, , 1| )ij n kf n P Y j Y j k n Y i 77 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 可 以 驗(yàn) 證 ， 對 于 時 齊 的 馬 爾 柯 夫 鏈 的 轉(zhuǎn) 移 概 率 與首 次 到 達(dá) 概 率 之 間 具 有 如 下 關(guān) 系 ： )(nPij)(nfij 1 11(1) ( ) ( ) ( )(2) ( ) ( ) ( ) ( )nij ij ijm nij ij ij ijmP n f m P n mf n P n f m P n m ； 。 78 第 二 節(jié) 馬 爾 柯 夫 分 析n 令 則 稱 為 由 狀 態(tài) i出 發(fā) ， 最 終 到 達(dá) 狀 態(tài) j的 概 率 。n 這 樣 當(dāng) 時 ， 它 可 視 為 一 個 概 率 分 布 ， 對 應(yīng) 的 數(shù) 學(xué) 期 望 即 為 由 狀 態(tài) i出 發(fā) ， 首 次 到 達(dá) 狀 態(tài) j的 平 均 時 間 。 n 稱 為 最 終 返 回 狀 態(tài) i的 概 率 ， 而 當(dāng) 時 ， 相 應(yīng) 的 為 狀態(tài) i的 平 均 返 回 時 間 。 1 )(n ijij nff)(nfij 1ijf 1 )(n ijij nnfiif 1iif ii