排列、組合與二項式定理

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1、第 十 二 章 排 列 、 組 合 與 二 項 式 定 理 排 列 與 組 合 的 內(nèi) 容 是 學(xué) 習(xí) 概 率 的 預(yù) 備 知 識 ， 也 是 進 一 步學(xué) 習(xí) 數(shù) 理 統(tǒng) 計 、 近 世 代 數(shù) 、 組 合 數(shù) 學(xué) 等 高 等 數(shù) 學(xué) 的 基 礎(chǔ) ； 由于 內(nèi) 容 抽 象 ， 解 法 特 殊 ， 所 以 這 部 分 內(nèi) 容 也 是 發(fā) 展 邏 輯 思 維能 力 的 很 好 題 材 . 二 項 式 定 理 是 在 初 中 乘 法 公 式 及 組 合 數(shù) 公 式 的 基 礎(chǔ) 上 學(xué)習(xí) 的 內(nèi) 容 ， 它 與 概 率 論 中 二 項 分 布 、 微 積 分 中 求 導(dǎo) 公 式 的 推導(dǎo) 有 著 密

2、 切 的 聯(lián) 系 ， 是 進 一 步 學(xué) 習(xí) 數(shù) 學(xué) 時 經(jīng) 常 用 的 基 礎(chǔ) 知 識 . 第 一 節(jié) 加 法 原 理 與 乘 法 原 理第 二 節(jié) 排 列第 三 節(jié) 組 合第 四 節(jié) 二 項 式 定 理 第 一 節(jié) 加 法 原 理 與 乘 法 原 理 在 討 論 排 列 與 組 合 之 前 ,我 們 先 介 紹 兩 個 基 本 原 理 ， 看 下面 的 問 題 . 例 1 從 甲 地 到 乙 地 ， 可 乘 坐 火 車 、 汽 車 或 輪 船 中 的 任 何一 種 ， 火 車 每 日 1班 ， 汽 車 每 日 2班 ， 輪 船 每 日 3班 ， 問 從 甲地 到 乙 地 ， 一 日 中 共

3、 有 多 少 種 不 同 的 走 法 ？ 從 甲 地 到 乙 地 ，可 乘 坐 三 類 交 通 工 具 ：火 車 、 汽 車 或 輪 船 ，這 三 類 乘 坐 方 法 互 不關(guān) 聯(lián) ， 使 用 其 中 任 何一 類 都 能 獨 立 完 成 從甲 地 到 達 乙 地 ， 如 圖12-1所 示 . 圖 12-1 例 1中 甲 地 到 乙 地 的 不 同 走 法汽 車火 車甲 乙輪 船解 因 此 ， 計 算 共 有 多 少 種 不 同 走 法 ， 只 需 把 這 三 類 交 通 工具 各 自 的 班 次 數(shù) 加 起 來 ， 可 得 :(2+3+1)種 =6種答 ： 從 甲 地 到 乙 地 共 有 6

4、種 不 同 的 走 法 .一 般 地 ， 有 以 下 原 理 .加 法 原 理 , ,1,2, , , ,i kn i k 完 成 一 件 事 如 果 有 類 互 不 關(guān) 聯(lián) 的 方 法 每 類 方 法中 又 有 種 不 同 的 具 體 辦 法 使 用 其 中 一 種 辦 法 都能 獨 立 完 成 這 件 事 那 么 完 成 這 件 事 的 不 同 辦 法 共 有 : 21 種 12-1kn n n (! ) 加 法 原 理 實 質(zhì) 是 直 接 完 成 一 件 事 .加 法 原 理 又 稱 分 類計 數(shù) 原 理 . 從 甲 地 經(jīng) 乙 地 到 丙 地 ,甲 地 到 乙 地 可 乘 坐 汽 車

5、或 火 車 ,汽 車 每 日 2班 ,火 車 每 日 1班 ,而 從 乙 地 到 丙 地 每 日 有 3班 輪 船 ,問 從 甲 地 到 丙 地 共 可 有 多 少 種 不 同 的 走 法 ? 例 2 由 已 知 從 甲 地 到 丙 地 要 分 兩 段 走 : 2 +1 3 .第 一 段 從 甲 地 到 乙 地 ,坐 汽 車 或 火 車 ,共 有 : 種 種, ,不 同 走 法 第 二 段 從 乙 地 到 丙 地 坐 船 共 有 3種 不 同 的 走 法 .第 一 段 采 用 3種 走 法 中 任 意 一 種 到 達 乙 地 后 ,要 去 丙 地 又有 3種 走 法 可 以 選 擇 ,所 以

6、從 甲 地 經(jīng) 乙 地 到 丙 地 ,共 有 :3 3種 =9種 . 不 同 走 法 ,如 圖 12-2所 示 . 圖 12-2 例 2中 甲 地 到 乙 地 的 不 同 走 法甲 乙 丙輪 船汽 車火 車 解 一 般 地 ,我 們 有 以 下 原 理 .乘 法 原 理 1,2, , , i完 成 一 件 事 ,如 果 有 個 相 互 關(guān) 聯(lián) 的 步 驟 ,要依 次 完 成 這 些 步 驟 ,這 件 事 才 能 完 成 ,而 每 一 個 步 驟 又 有種 不 同 的 具 體 辦 法 去 完 成 那 么 完 成 這 件 事 的 不同 辦 法 共 有 : k ni k 21 種 12-2knn n

7、(!) 乘 法 原 理 實 質(zhì) 是 分 步 配 合 完 成 .乘 法 原 理 又 稱 分 步 計 數(shù)原 理 . (1)(2) 書 架 上 層 放 有 6本 不 同 的 數(shù) 學(xué) 書 ,下 層 放 有 5本 不 同 的語 文 書 . 從 中 任 取 一 本 書 ,有 多 少 種 不 同 的 取 法 ? 從 中 任 取 數(shù) 學(xué) 書 和 語 文 書 各 一 本 ,有 多 少 種 不 同 的 取 法 ? 例 3 2 (1)6 5 11 . N n n 1 完 成 從 書 架 上 任 取 一 本 書 這 件 事 有 兩 類 互 不 關(guān)聯(lián) 的 方 法 ,第 一 類 方 法 是 從 上 層 取 數(shù) 學(xué) 書 ,

8、可 以 從 6本 書 中 任 取一 本 ,有 6種 方 法 ;第 二 類 方 法 是 從 下 層 取 語 文 書 ,可 以 從 5本 書中 任 取 一 本 ,有 5種 方 法 ,根 據(jù) 加 法 原 理 ,其 取 法 共 有 : =種 種:答 從 書 架 上 任 取 一 本 書 ,有 11種 不 同 的 取 法 .解 2 .1 (2) 完 成 從 書 架 上 任 取 數(shù) 學(xué) 書 和 語 文 書 各 一 本 這 件 事可 以 分 為 兩 個 步 驟 :第 一 步 取 一 本 數(shù) 學(xué) 書 ,有 6種 方 法 ;第 二 步取 一 本 語 文 書 ,有 5種 方 法 ,根 據(jù) 乘 法 原 理 ,其 取

9、法 共 有 : =6 5種 =30種 Nnn = : , .答 從 書 架 上 取 數(shù) 學(xué) 書 和 語 文 書 各 一 本 有 30種 不 同 的 方 法 將 3封 信 投 入 6個 信 箱 內(nèi) ,有 多 少 種 不 同 的 投 法 ?例 4 N 完 成 將 3封 信 投 入 6個 信 箱 內(nèi) 這 件 事 可 以 分 步 考 慮 ,第一 步 投 第 一 封 信 ,因 為 有 6個 信 箱 ,所 以 有 6種 不 同 的 投 法 ,第 二步 投 第 二 封 信 ,同 樣 有 6種 投 法 ,第 三 步 投 第 三 封 信 ,同 樣 也 有 6種 投 法 ,這 三 步 都 完 成 才 是 一 種

10、投 法 ,根 據(jù) 乘 法 原 理 ,不 同 的 投法 種 數(shù) 共 有 : =6 6 6種 =216種 .答 :共 有 216種 不 同 的 投 法 .答 : 思 考 題 ：課 堂 練 習(xí) 題 ： 習(xí) 題1.如 何 理 解 加 法 、 乘 法 原 理 ? 2.如 圖 從 甲 經(jīng) 過 乙 到 丙 共 有 幾條 路 是 用 的 哪 個 原 理 ？ 為 什 么 ？ 甲 乙 丙 1.一 個 三 層 書 架 每 層 依 次 有 書 30， 25， 28本 ， 現(xiàn) 要 取 出一 本 書 ， 有 多 少 種 不 同 取 法 ？ 2.由 數(shù) 字 1， 2， 3， 4， 5可 組 成 多 少 個 允 許 重 復(fù)

11、數(shù) 字 的三 位 數(shù) ？ 答 案答 案答 案答 案 第 二 節(jié) 排 列一 、 排 列 的 概 念我 們 看 下 面 的 問 題 . 例 1 飛 行 在 北 京 -上 海 -廣 州 間 的 民 航 飛 機 ， 應(yīng) 準 備 多 少 種不 同 的 飛 機 票 ？ 從 北 京 、 上 海 、 廣 州 三 個 站 中 間 每 次 取 出 兩 個 站 ，一 個 作 為 起 點 站 ， 一 個 作 為 終 點 站 ， 就 是 一 種 飛 機 票 ， 我 們也 可 以 把 它 看 成 是 從 三 個 站 中 每 次 取 出 兩 個 站 ， 按 起 點 站 在前 終 點 在 后 的 順 序 ， 把 它 們 排

12、成 一 列 ， 共 有 多 少 種 不 同 的 排法 ， 就 有 多 少 種 不 同 的 飛 機 票 .現(xiàn) 列 舉 如 下 ：超 點 站終 點 站 北 京上 海 廣 州 上 海北 京 廣 州 廣 州北 京 上 海解 : , 3 , ,它 的 排 法 是 先 取 起 點 站 共 有 種 不 同 的 取 法 再 取 終 點 站在 起 點 站 已 經(jīng) 確 定 的 情 況 下 ,可 作 終 點 站 的 ,只 有 2種 不 同 的 取 法 ,這 兩 個 步 驟 都 完 成 了 ,就 組 成 了 一 種 票 ,因 此 ,按 乘 法 原 理 ,不 同起 點 和 終 點 的 飛 機 票 共 有 3 2種 =6

13、種 . 用 1,2,5三 個 數(shù) 字 ,可 以 排 成 多 少 個 沒 有 重 復(fù) 數(shù) 字 的 三位 數(shù) ?例 2 仿 照 例 1的 方 法 ,從 1,2,5三 個 數(shù) 字 中 ,依 次 選 取 百 位 數(shù) ,十 位 數(shù) 和 個 位 數(shù) ,可 有 以 下 幾 種 情 形 :百 位 數(shù)十 位 數(shù)個 位 數(shù) 12 55 2 1 2 551 1 25 12解 即 先 排 百 位 數(shù) ,有 3種 不 同 的 方 法 ,排 完 百 位 數(shù) 再 排 十 位 數(shù) ,有 2種 不 同 的 方 法 ,排 完 十 位 數(shù) 再 排 個 位 數(shù) ,有 1種 方 法 ,完 成 這三 個 步 驟 才 排 出 三 位 數(shù)

14、,因 此 按 乘 法 原 理 ,不 同 的 三 位 數(shù) 共 有 :3 2 1個 =6個 ,它 們 是 125,152,215,251,512,521.對 于 這 類 問 題 ,給 出 以 下 定 義 .定 義 ,. , , , .(!.) nn m m nn mA m nm n A mn 從 個 不 同 的 元 素 中 ,每 次 任 取 個 元 素 按照 一 定 的 順 序 排 成 一 列 ,叫 做 從 個 不 同 的 元 素 中 ,每 次 取 出個 元 素 的 一 個 排 列 .所 有 不 同 排 列 的 種 數(shù) ,記 作 當(dāng) 時 叫做 選 簡 稱 當(dāng) 時 叫 做 全 排 列 記 作 : 排

15、 列 與 順序 有 關(guān)排 列 排 列 二 、 排 列 種 數(shù) 的 計 算 公 式從 個 元 素 中 每 次 取 出 個 元 素 的 排 列 種 數(shù) 的 計 算 可 以 這 樣來 考 慮 :假 定 有 排 好 順 序 的 個 空 位 置 ,從 個 不 同 的 元 素 中 ,任 意取 出 個 元 素 去 填 空 ,一 個 空 位 置 填 一 個 元 素 ,于 是 ,每 一 種 填 法就 得 到 一 個 排 列 .n mm nm nn 如 圖 12-3所 示 ,先 確 定 第 1號 位 置 上 的 元 素 ,全 部 個 元 素 中的 任 何 一 個 都 可 以 放 在 這 里 ,共 有 種 不 同

16、的 放 法 .n n n 再 確 定 第 2號 位 置 上 的 元 素 ,在 第 一 號 位 置 上 的 元 素 已 經(jīng) 確定 的 條 件 下 ,可 供 挑 選 的 只 有 -1個 元 素 ,所 以 共 有 -1= -2+1咱不 同 的 放 法 . 再 確 定 第 3號 位 置 上 的 元 素 ,在 1號 ,2號 位 置 上 的 元 素 已 確定 的 條 件 下 ,第 3號 位 置 上 的 元 素 共 有 -2= -3+1種 不 同 的 放 法 .n n 依 此 類 推 可 知 ,第 號 位 置 上 的 元 素 應(yīng) 有 - +1種 不 同 的放 法 . m n m 1 2 1A n n n n

17、 m mn圖 12-3 示 意位 置填 法 31 2n 1n 2n m 1n m ,其 中 ,每 一 種 放 法 放 滿 個 空 位 置 就 得 到 一 個 排 列 于 是 根據(jù) 乘 法 原 理 從 個 不 同 的 元 素 中 ,每 次 取 出 個 不 同 元 素 的 排 列種 數(shù) 為 mn m 1 2 1mn mA n n n n m 個 因 式 12-3,這 就 是 說 從 個 不 同 的 元 素 中 ,每 次 取 出 個 元 素 的 排 列 種數(shù) 等 于 個 連 續(xù) 正 整 數(shù) 的 乘 積 ,其 中 最 大 的 正 整 數(shù) 是 .n mm n 4 37 7;(2) 2 .36 計 算 (

18、1)A A A例 3 6 5 4 120;A 36(1)4 37 72 7 6 5 4 2 7 6 5 420.(2)A A :全 排 列 的 計 算 公 式 是m n 1 2 3 2 1nn nA A n n n 從 正 整 數(shù) 開 始 到 1,連 續(xù) 個 正 整 數(shù) 的 連 續(xù) 乘 積 叫 做 的 階乘 ,記 作 !于 是 , 個 不 同 元 素 的 全 排 列 的 種 數(shù) 等 于 的 階 乘 ,即 :n n nn n n ! 12 4n A n ! !全 排 列 可 寫 成 或 . nn nA n A解 1 .n+1 求 證 nA n A 例 4證 明 12 4 :由 公 式 可 得 1

19、 1 ! 1 1 3 2 1 1 ! 1n nA n n n n n n n A 1* ; .8 n+15 計 算 (1) (2) nA A nAA 例 5(1) 由 例 4得 : 7 6 55 5 58 8 7 8 7 6 336;85 A A AAA A A A 1(2) 1 .n+1 n n n nA nA n A A nA 解 此 外 ,由 排 列 種 數(shù) 的 計 算 公 式 還 可 以 得 出 以 下 關(guān) 系 式 : ! ! 12-5mn nA n m :證 明 如 下 1 1mnA n n n m 1 3 2 11 1 1 3 2 1n m n mn n n m n m n m !

20、 !nn m 12 5 , :0! 1.為 了 使 公 式 在 時 也 成 立 我 們 規(guī) 定n m 例 6 有 5面 不 同 顏 色 的 旗 ， 每 次 可 取 1面 、 2面 或 3面 按 不同 順 序 掛 在 桿 上 就 表 示 信 號 ， 一 共 可 以 表 示 多 少 種 不 同 的 信號 ？ 25, 2 , , :A AA 1535 用 一 面 旗 作 信 號 有 種 用 面 旗 作 信 號 有 種 用 3面 旗作 信 號 有 種 根 據(jù) 加 法 原 理 所 求 的 信 號 的 種 數(shù) 是 1 2 35 5 5 .5+20+60 種 85種A A A : .答 一 共 可 以 得

21、到 85種 不 同 的 信 號解 三 、 重 復(fù) 排 列前 面 我 們 討 論 了 從 n個 不 同 的 元 素 中 取 出 m個 不 同 元 素 的 排列 問 題 ,它 們 有 一 個 共 同 的 特 點 ,就 是 所 取 的 元 素 一 旦 取 過 便 不能 再 重 復(fù) 取 出 . 但 事 實 上 ， 有 此 問 題 中 元 素 是 允 許 重 復(fù) 選 用 的 ， 例 如 編 電話 號 碼 ， 選 取 的 數(shù) 字 就 可 以 重 復(fù) ， 允 許 元 素 重 復(fù) 用 的 排 列 問 題叫 做 重 復(fù) 排 列 .在 重 復(fù) 排 列 中 ,位 置 共 有 個 ,每 個 位 置 上 可 供 選 擇

22、 的 元 素都 是 個 ,因 此 ,利 用 乘 法 原 理 不 難 得 出 ,把 個 不 同 的 元 素 排 在個 位 置 上 的 重 復(fù) 排 列 種 數(shù) 為 :mn nm m mnnn n個 , , 位 置 數(shù)其 中 為 可 以 重 復(fù) 的 元 素 的 個 數(shù) 為 每 一 個 元 素 最 多 可 以 重 復(fù)的 次 數(shù) ,即 位 置 個 數(shù) .!重 復(fù) 排 列 公 式 = 元 素 個 數(shù) .n m 某 城 市 電 話 號 碼 用 7位 數(shù) 字 組 成 ,問 該 市 最 多 可 以 安 裝多 少 臺 不 同 號 碼 的 電 話 ?例 7 .N 7 電 話 號 碼 是 7位 數(shù) ,相 當(dāng) 于 7個

23、 位 置 ,每 個 位 置 都 有 0,1,2 ,9這 十 個 數(shù) 字 可 供 選 取 ,是 7個 位 置 10個 元 素 的 重 復(fù) 排 列 ,所 以 ,不同 號 碼 的 電 話 共 有 : =10臺 解 有 10個 人 去 圖 書 館 借 閱 7種 參 考 書 中 的 任 意 一 種 ,每 種書 都 有 10本 ,共 可 有 多 少 種 不 同 的 借 閱 法 ?例 8 .N 10 10個 人 相 當(dāng) 于 10個 位 置 ,每 個 位 置 有 7種 書 可 供 選 擇 ,是10個 位 置 7個 元 素 的 重 復(fù) 排 列 ,所 以 ,不 同 的 借 閱 法 共 有 : =7 種,7 10

24、上 面 兩 個 例 子 雖 然 都 有 數(shù) 字 10和 7,但 例 7中 是 7個 位 置 10個元 素 ,所 以 有 10臺 而 在 例 8中 是 10個 位 置 7個 元 素 ,所 以 有 7 種 ,在 處 理 重 復(fù) 排 列 的 實 際 問 題 時 ,要 注 意 元 素 和 位 置 的 區(qū) 別 -元 素可 以 挑 剔 ,位 置 不 能 空 缺 .解 習(xí) 題思 考 題 ：課 堂 練 習(xí) 題 ： 什 么 叫 排 列 ？ 什 么 叫 排 列 數(shù) ？ 什 么 叫 選 排 列 ？ 什 么 叫全 排 列 ？ 什 么 叫 重 復(fù) 排 列 ？ 排 列 與 什 么 有 關(guān) ？ 什 么 叫 相 同排 列 ？

25、 1. ,? 開 封 ,廣 州 ,鄭 州 三 站 之 間 直 達 火 車 票 共 有 3 2=6 種它 的 設(shè) 計 原 理 是 什 么2. 1,2,3 ? 由 數(shù) 字 可 以 組 成 多 少 個 無 重 復(fù) 三 位 數(shù) 并 寫 出 所 有的 排 列 3. 8 ,某 段 鐵 路 上 有 個 車 站 共 需 準 備 多 少 種 普 通 客 票 ?答 案答 案答 案答 案 5.計 算 ：4 5 2 211 5 1(1) ?; (2) 3 , . 若 求n nA A A A n 6.回 答 ： 1 11 1 1 (1) 17 16 15 5 4, ; .; 1 ? 若 則 以 上 兩 等 式 成 立

26、嗎mnn n n nn n n nA n mA A A n A (2) 手 機 由 11位 數(shù) 字 組 成 ,問 可 有 多 少 個 不 同 手 機 用 戶 ?答 案答 案0 2 3 4 5 6 7 8n!n4. , 階 乘 即 為 全 排 列 階 乘 數(shù) 等 于 正 整 數(shù) 1到 的 連 乘 積 .這 個積 叫 的 階 乘 . nn 1 2 6 24 120 720 5040 40320（ 單 擊 左 鍵 顯 示 答 案 ） 第 三 節(jié) 組 合一 、 組 合 的 概 念 例 1 飛 行 在 北 京 -上 海 -廣 州 間 的 民 用 飛 機 ， 有 多 少 種 不 同 的票 價 ？ 從 北

27、京 、 上 海 、 廣 州 三 個 站 中 每 次 取 出 兩 個 站 ， 不 管 哪一 個 是 起 點 ， 票 價 都 是 一 樣 的 ， 所 以 我 們 可 把 它 看 成 是 從 三 個站 中 每 次 取 出 兩 個 站 ， 不 管 順 序 如 何 ， 把 它 們 并 成 一 組 ， 共 可并 成 多 少 種 不 同 的 組 ， 就 有 多 少 種 不 同 的 票 價 .因 此 ，北 京 ,上 海 間 (即 北 京 上 海 或 上 海 北 京 );北 京 ,廣 州 間(即 北 京 廣 州 或 廣 州 北 京 );廣 州 ,上 海 間 (即 廣 州 上 海 或上 海 廣 州 ); 解 各

28、是 一 種 票 價 ,票 價 的 種 數(shù) 共 計 3種 .這 類 問 題 與 排 列 有 相 似 之 處 ,它 也 是 從 個 不 同 的 元 素 中 每次 取 出 個 不 同 的 元 素 ,但 與 排 列 的 區(qū) 別 是 :取 出 的 個 元 素 不 是按 順 序 排 成 一 列 ,而 是 不 論 順 序 如 何 并 成 一 組 ,對 于 這 類 問 題 ,給 出 以 下 定 義 . nm m定 義 , , . .(! )從 個 不 同 的 元 素 中 ,每 次 任 意 取 出 個 不 同 的 元 素m 不 管 順 序 如 何 并 成 一 組 叫 做 從 個 不 同 的 元 素 中 每 次取

29、 出 個 元 素 的 一 個 組 合 所 有 不 同 的 組 合 的 種 數(shù) 記 作組 合 與 順 序 無 關(guān) . mnn mn nm C :例 如 (1) . ;210 210 一 個 組 10個 人 ,從 中 選 取 正 副 組 長 各 1人 ,共 有 多 少 種不 同 的 選 法 是 排 列 問 題 ,記 作 從 中 選 出 代 表 2人 去 開 會 ,共有 多 少 種 不 同 的 選 法 ,是 組 合 問 題 ,記 作A C(2); , ;2 210 10 有 10位 同 學(xué) 商 定 ,春 節(jié) 時 每 兩 人 要 互 贈 一 張 賀 年 卡 ,互 通 一 次 電 話 ,他 們 共 贈

30、了 多 少 張 賀 年 卡 ,是 排 列 問 題 ,記 作共 通 了 多 少 次 電 話 是 組 合 問 題 ,記 作A C 24(3); , , .24 四 個 字 母 ,每 次 任 取 兩 個 字 母 ,一 個 作 分 子 ,一 個 作 分 母 ,可 以 組 成 多 少 個 不 相 恒 等 的 分 數(shù) ,是 排 列 問 題 ,記 作 而 從 中 任 取 兩 個 作 因 數(shù) 可 以 組 成 多 少 個 不 相 恒 等 的乘 積 是 組 合 問 題 記 作a,b,c,dA C 二 、 組 合 種 數(shù) 的 計 算 公 式.從 個 不 同 的 元 素 中 每 次 任 取 個 元 素 的 組 合 與

31、 元 素 的 排 列順 序 無 關(guān) ,所 以 可 以 把 從 n個 不 同 的 元 素 中 每 次 任 取 m個 元 素 的排 列 ,看 成 是 先 從 n個 不 同 的 元 素 中 每 次 取 m個 元 素 的 組 合 ,再對 任 取 的 m個 元 素 進 行 全 排 列 的 結(jié) 果 ,于 是 ,根 據(jù) 乘 法 原 理 可 有 :m mn n mn mA C A , :于 是 可 以 得 到 . 12 6 mm nn mAC A . :這 就 是 組 合 的 計 算 公 式 這 個 公 式 還 可 寫 成 ! 12 7! ! mn nC m n m 三 、 組 合 的 兩 個 性 質(zhì)性 質(zhì)

32、1 1(! , 1 .)2當(dāng) 用 性 質(zhì) 較 方 便m n mn nC C m n 證 ,由 公 式 12-7 可 得:等 式 左 邊 ! !mn nC m n m ， 等 式 右 邊 : ! .! !n mn nC n m m .所 以 有 m n mn nC C .7072 計 算 C例 2 :由 公 式 12-7 可 得 272 72 71 25562 17072C C 解 性 質(zhì) 2 1 1m m mn n nC C C (!化 簡 、 證 明 常 用 性 質(zhì) 2.)證 :由 公 式 12-7 可 得 1 ! ! ! 1 ! 1 !m mn n n nC C m n m m n m 1

33、 ! ! 1 ! 1 ! ! 1 !n m n m n n nm n m m n m 11 ! 1 ! mnn Cm n m 1 1.所 以 有 m m mn n nC C C 97 99 .9699 計 算 C C例 3 97 3 2 399 99 99 100 100 99 98C C C C C 9699 161700.3 2 1解 平 面 上 有 12個 點 ,其 中 沒 有 3點 在 同 一 條 直 線 上 ,問 : (1) 這 些 點 可 以 確 定 多 少 條 不 同 的 直 線 ; (2) 以 這 些 點 中 的 任 意 3點 為 頂 點 作 一 個 三 角 形 ,一 共 可

34、以 作多 少 個 三 角 形 ?例 4 (1) 因 為 每 2點 可 以 確 定 一 條 直 線 ,并 且 沒 有 3點 在 同一 條 直 線 上 ,所 以 ,在 這 樣 的 直 線 中 ,任 何 兩 條 都 不 重 合 .因 此 ,所 求 的 直 線 條 數(shù) 就 是 12個 不 同 元 素 中 取 出 2個 元 素 的 組 合 數(shù) ,即12 11 662 1C 212 條 , , (2) 因 為 以 每 3點 為 頂 點 都 可 以 作 一 個 三 角 形 為 什 么 ? 所 以所 求 的 三 角 形 就 是 從 12個 不 同 元 素 中 取 出 3個 元 素 的 組 合 數(shù) ,即12 1

35、1 103 2 1C 312 =220個答 :(1)可 以 確 定 66條 直 線 ;(2)可 以 作 220個 三 角 形 .解 有 20個 隊 參 加 籃 球 賽 ,比 賽 時 先 分 成 三 組 ,第 一 組 7個 隊 ,第 二 組 6個 隊 ,第 三 組 7個 隊 ,每 組 都 進 行 單 循 環(huán) 賽 (即 每 隊 都 要 與本 組 其 他 各 隊 比 賽 一 場 ),然 后 由 各 組 的 前 兩 名 共 6個 隊 進 行 單循 環(huán) 賽 ,共 需 要 多 少 場 ?例 5 26 ;6 ; 6 , , CC 2726 根 據(jù) 題 意 ,第 一 組 和 第 三 組 都 是 7個 隊 ,比

36、 賽 場 數(shù) 都 是第 二 組 個 隊 ,比 賽 場 數(shù) 是 C 各 組 的 前 兩 名 共 個 隊 再 進 行 單 循環(huán) 賽 時 還 要 比 賽 場 所 以 共 需 要 比 賽 的 場 數(shù) 是 :21 21 15 15 722 2 2 27 7 6 6C C C C 解 習(xí) 題0 1; ; .nn n nC C C 組 合 與 順 序 有 關(guān) 嗎 ?用 什 么 符 號 表 示 ?組 合 數(shù) 公 式 及 性 質(zhì)是 什 么 ?填 出 : 思 考 題 ：課 堂 練 習(xí) 題 ： 4 3 98 96 97 180 1010 7 100 99 99 190 1901. : , , , , .C C C

37、C C C C 計 算 1 2 3 4 5 66 6 6 6 6 62. : .C C C C C C 計 算 3. 7 , 3某 小 組 共 人 從 中 選 出 人 參 加 植 樹 勞 動 ,有 多 少 種 不同 選 法 ?4.從 8名 男 生 ,4名 女 生 中 選 3人 參 加 比 賽 :(1) 2 ?(2) 1 ?恰 有 名 女 生 的 選 法 有 多 少 種至 少 有 名 女 生 的 選 法 有 多 少 種 答 案答 案答 案答 案 答 案 第 四 節(jié) 二 項 式 定 理一 、 二 項 式 定 理我 們 知 道 2 2 22 ,a b a ab b 3 3 2 2 33 3 ,a b

38、 a ab ab b ,繼 續(xù) 做 乘 法 運 算 可 以 得 到 : 4 4 3 2 2 3 44 6 4a+b a ab ab ab b 5 5 4 3 2 2 3 4 55 10 10 5 ,a b a ab ab ab ab b ,可 以 看 出 二 項 式 的 次 冪 的 展 開 式 的 各 項 是 有 規(guī)律 的 人 們 分 析 了 上 述 展 開 式 的 特 點 歸 納 出 以 下 命 題 :a b n 0 1 1n n n r n r r n nn n n na+b C a Ca b C a b C b n Z + 下 面 用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 來 證 明 這 一 命 題 .

39、10 1 1 11 1(1) , ,n= a b a bC a Cb a b 證 明 當(dāng) 1時 左 邊右 邊 命 題 成 立 .(2) n=k 假 設(shè) 時 ,命 題 成 立 ,即 0 1 1k k k r k r r k kk k k ka b C a Ca b C a b C b k Z + 1 , , :當(dāng) 時 上 式 兩 邊 同 乘 以 則 得n k a b 1 0 1 1 10 1 1 1 1 k k k r k r r k kk k k kk r k r r k k k kk k k ka b C a Ca b C a b C abC a b C a b C ab C b 利 用 組

40、 合 公 式 0 0 0 01 11 1,和 可 知k k k kC C C C 1 11 11 1,和 可 知k k k kk k k kC C C C 以 及 組 合 公 式 1 1r r rk k kC C C :上 式 可 化 為 1 0 1 11 11 1 11 1 .k k kk kr k r r k kk ka b C a C a bC a b C b k Z + 2說 明 當(dāng) +1時 ,命 題 也 成 立 .由 1 和 可 以 斷 定 ,對 一切 正 整 數(shù) ,命 題 都 成 立 .n=kn通 常 ,這 個 式 子 : 0 1 1n n n r n r r n nn n n n

41、a+b C a Ca b C a b C b n Z + 所 表 示 的 定 理 叫 做 二 項 式 定 理 ， 而 等 式 右 邊 的 多 項 式 叫做 的 二 項 展 開 式 . na b 二 、 二 項 展 開 式 的 性 質(zhì) na b 的 二 項 展 開 式 ,具 有 下 面 的 一 些 性 質(zhì) ：(1) n 項 數(shù) :共 +1項 . (2) a nb n a bn 各 項 冪 指 數(shù) : 的 冪 指 數(shù) 從 起 逐 漸 依 次 減 小 1,直 到 0為止 , 的 冪 指 數(shù) 從 0起 逐 項 依 次 增 加 1,直 到 為 止 ,每 一 項 里 與 的指 數(shù) 的 和 等 于 二 項

42、式 的 指 數(shù) .(3) 各 項 系 數(shù) :由 第 一 項 起 ,各 項 系 數(shù) 依 次 為 :1 2 1, , , , , , ,0n 1 1.r n nn n n n nC C C C C C nn n nn 所 以 ,與 展 開 式 的 首 末 兩 項 距 離 相 等 的 兩 項 的 系 數(shù) 相 等 .(!二 項 式 指 數(shù) 為 奇 數(shù) ,中 間 兩 項 的 二 項 式 系 數(shù) 相 等 且 最 大 ,+1 +1分 別 為 第 , +1項 , 為 偶 數(shù) ,中 間 一 項 二 項 式 系 數(shù) 最 大 .2 2即 第 +1項 .)2 1(4) , ,n r rr C a b rT rn 展

43、開 式 中 是 第 +1項 叫 做 二 項 展 開 式 的 通 項記 作 公 式 1 0 .rn n r rrT C a b r n 叫 做 二 項 展 開 式 的 通 項 公 式 ., ,有 了 上 述 公 式 我 們 不 難 展 開 任 何 一 個 二 項 式 并 求 出 它 的某 個 指 定 的 項 .(!二 項 式 系 數(shù) 與 某 一 項 系 數(shù) 不 同 .) 2 .0 1 2 nn n n n求 證 nC C C C 例 1 證 明 在 展 開 式 1 2 2 1 10 1 2n n nn n n n n n n nna b C a Ca b C a b C ab C b 1, :中

44、 設(shè) 即 得a b 12 0 1 2 nn n n nn nnC C C C C . 求 - 的 展 開 式 及 通 項 公 式na b例 2解 - nna b a b 21 20 1 2 nn n n n nn n nC a Ca b C a b C b 1 2 2 1 .0 1 2 nn n n nn nn n nC a Ca b C a b C b 1 .r+1通 項 公 式 r rr n r r n r rn nT C a b C a b 9 3 .1 求 - 的 二 項 展 開 式 中 的 的 系 數(shù)x xx 例 3解 二 項 展 開 式 的 通 項 9 9 29 91r+1 1 r

45、 rr r r rT C x C xx , 9 2 3, 3.根 據(jù) 題 意 得 r r 3, :因 此 的 系 數(shù) 是x 3 39 9 8 71 843 2 1C 習(xí) 題思 考 題 ：課 堂 練 習(xí) 題 ： , ; ? ?1 二 項 式 定 理 與 初 中 乘 法 公 式 關(guān) 系 ?什 么 是 二 項 式 定 理 ?二項 式 指 數(shù) 為 為 奇 數(shù) 展 開 式 系 數(shù) 為 偶 數(shù) 展 開 式 系 數(shù) 各 有什 么 變 化 ?如 何 計 算 ? 展 開 為 項 它 的 系 數(shù) 有 何 規(guī) 律第 項 是 什 么 ? nn n na b nr 4p q1.求 2 的 展 開 式 . 7x2.求 1

46、+2 的 第 4項 的 二 項 式 系 數(shù) 和 第 4項 系 數(shù) .101 6 .x x 3.求 的 二 項 展 開 式 的 第 項 84. 1 ?求 的 展 開 式 中 二 項 式 系 數(shù) 最 大 的 項x 55. 0.997計 算 的 近 似 值 .精 確 到 0.001 答 案答 案答 案答 案答 案答 案 答 案 部 分 思 考 題 解 答 ： 1.完 成 一 件 事 ， 有 不 同 類 方 法 .每 類 方 法 都 可 直 接 完 成 叫 加法 原 理 .完 成 一 件 事 需 分 幾 個 步 驟 配 合 完 成 叫 乘 法 原 理 .它 們 都是 計 數(shù) 的 兩 大 基 本 原 理

47、 .所 以 今 后 稱 加 法 原 理 為 分 類 計 數(shù) 原 理(因 為 必 屬 于 某 一 類 方 法 完 成 )， 乘 法 原 理 為 分 步 計 數(shù) 原 理 .返 回 思 考 題 解 答 ：2. 3 2 6 , . 共 有 條 它 是 根 據(jù) 分 步 計 數(shù) 原 理 返 回 1. :30 25 28 83 .得 到 的 不 同 取 法 有 種 課 堂 練 習(xí) 題 解 答 ： 返 回 課 堂 練 習(xí) 題 解 答 ： 2. :5 5 5 125 .允 許 有 重 復(fù) 數(shù) 字 的 三 位 數(shù) 有 個 返 回 思 考 題 解 答 ： , . , !從 個 不 同 元 素 中 ,任 取 個 元

48、素 按 照 一 定 順 序排 成 一 列 ,稱 為 從 個 不 同 元 素 中 取 出 個 元 素 的 一 個 排 列 .當(dāng) 是 選 排 列 叫 全 排 列 也 叫 階 乘 .用 表 示 ;全 排 列所 有 不 同 法 所 含 元 素 完 全 一 樣 ,只 是 元 素 排 列 的 順 序 不 完 全相 同 ;允 許 元 素 重 復(fù) 用 的 排 列 問 題 叫 重 復(fù) 排 列 ;排 列 與 順 序有 關(guān) ;元 素 必 須 完 全 相 同 .排 列 的 順 序 也 必 須 相 同 的 排 列 才叫 相 同 排 列 .n m m nn mmn m n n 返 回 課 堂 練 習(xí) 題 解 答 ：1.這

49、 是 根 據(jù) 分 步 計 數(shù) 原 理 設(shè) 計 的 . 返 回 課 堂 練 習(xí) 題 解 答 ： 2. , : 無 重 復(fù) 三 位 數(shù) 共 3 2 1=6 個 它 們 是123,132,213,231,312,321. 返 回 283. 8 7 56 .種A 課 堂 練 習(xí) 題 解 答 ： 返 回 4 511 55. (1) 7920 120 7800.A A (2) 1 3 1 2 ,n n n n n =3.課 堂 練 習(xí) 題 解 答 ： 返 回 課 堂 練 習(xí) 題 解 答 ： 6. (1) 17, 1 4 17 1 4 14;= 由 于 兩 等 式 的 排 列數(shù) 都 成 立 ,所 以 這 兩

50、 等 式 都 成 立 .n m n 11 (2) 10 .位 置 數(shù)它 屬 于 重 復(fù) 排 列 計 算 公 式 = 元 素 個 數(shù) 個 用 戶返 回 思 考 題 解 答 ： 1 10 1 !, .! !1: , .21, 1, . mm mnn nmmm n m m m mn n n n nnn n n A nC CA m n mC C m n C C CC C C n 組 合 與 順 序 無 關(guān) ;公 式 有 : 有 兩 個性 質(zhì) 當(dāng) 用 來 解 題 方 便 . 返 回 4 310 710 9 8 7 7 6 51. 210; 35;4 3 2 1 3 2 1C C 課 堂 練 習(xí) 題 解

51、答 ：98 2100 100 100 99 4950;2 1C C 96 97 97 399 99 100 100100 99 98 161700.3 2 1C C C C 180 10 180 180190 190 190 190 0.C C C C 返 回 2 36 62. 6+1+6+2 13 30 20 63.C C 原 式 =課 堂 練 習(xí) 題 解 答 ： 返 回 課 堂 練 習(xí) 題 解 答 ： 37 7 6 53. 35, 353 2 1C 共 有 種 不 同 選 法 . 返 回 課 堂 練 習(xí) 題 解 答 ： 2 14 84.(1) 6 8 48, 48 .C C 有 種 不 同

52、 選 法1 2 2 1 3 3 34 8 4 8 4 12 8(2) 164 164.C C C C C C C 或 164 .至 少 有 一 名 女 生 選 法 有 種 返 回 思 考 題 解 答 ：0 0 1 1 2 2 2 01 ,( ), ,( ) ( 0,1,2, , );1 12n實 質(zhì) 上 是 乘 法 公 式 推 廣 :( ) 這 個 公 式 所 表 示 的 規(guī) 律 叫 二 項 式 定 理 右 邊 多 項 式 叫的 二 項 展 開 式 ,其 中 叫 二 項 系 數(shù) .叫 二 項 式 的 通 項 用 T 表 示 當(dāng) 為 奇 數(shù) ,展 開 式 中 間 兩+1項 系 數(shù) 最 大 用 和

53、 算 出 第 幾 項 . 為 偶 數(shù) 第2 2n n n r n r r n nn n n n nn mnr n r rn ra+b C a b Ca b C a b C a b C abna b C m nC a b n n n +N n n0 2 1 11, , , , , .1 +1 項(即 中 間 項 )系 數(shù) 最 大 .( )展 開 式 共 項 ,它 的 系 數(shù) 一 律 用組 合 數(shù) 表 示 : 可 知 與 展 開 式 首 項 ,末 項 分 別等 距 離 的 兩 項 的 系 數(shù) 相 等 .第 +1項 為nn nn n n n n r n r rr na+b nC C C C Cr T

54、 C a b 返 回 課 堂 練 習(xí) 題 解 答 ：0 4 1 3 2 2 24 4 43 3 4 44 44 3 2 2 3 41. (2 ) (2 ) (2 )(2 )16 32 24 8 .p+q C p C p q C p qC p q C qp pq p q pq q 4(2 ) 返 回 課 堂 練 習(xí) 題 解 答 ：3 7 3 3 37 737 2. 1 (2 ) , 35. 8 280.4 3 第 4項 的 二 項 式 系 數(shù) 為 第 4項的 系 數(shù) 是 指 的 系 數(shù) 為 從 而 知 二 項 展 開 式 中 某 項 的二 項 式 系 數(shù) 與 某 項 的 系 數(shù) 是 兩 個 概 念 .T C x Cx C 返 回 課 堂 練 習(xí) 題 解 答 ：5 5 5 510 1013. ( ) ( ) 252.T C x Cx 6 返 回 課 堂 練 習(xí) 題 解 答 ：4. 8 1n 8 偶 數(shù) 第 項 最 大 的 項 .24 4 48 70 .5即 T C x x 返 回 55. 0.997 (1 0.003)1 5 0.003 10 0.003 5 ( ) 1 5 0.003 0.985. 5由 精 確 可 知 (0.997)課 堂 練 習(xí) 題 解 答 ： 返 回