《數(shù)學(xué)分析14-8條件極值》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)分析14-8條件極值（19頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、20090420 14.8 條 件 極 值 實例： 小王有200元錢，他決定用來購買兩種急需物品：光盤和磁帶，設(shè)他購買 張光盤， 盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為 設(shè)每張光盤8元，每盒磁帶10元，問他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果xy yxyxU lnln),( 問題的實質(zhì)：求 在條件 下的極值點yxyxU lnln),( 200108 yx條件極值：對自變量有附加條件的極值 拉格朗日乘數(shù)法找函數(shù)),( yxfz 在條件0),( yx下的可能極值點，先構(gòu)造函數(shù)),(),(),( yxyxfyxL 其中為某一常數(shù)，可由 .0),( ,0),(),( ,0),(),( yxL yxyxfL y
2、xyxfL yyy xxx 在條件組)( ,2,1 ,0),( 21 nmmkxxx nk 的限求目標(biāo)函數(shù). ),( 21的極值nxxxfy ,制下其拉格朗日函數(shù)是：),( 2121 mnxxxL mk nkkn xxxxxxf 1 1121 ),( ),( . , 21為拉格朗日常數(shù)其中m )1(一般形式： ：定理1 ,),2,1( 內(nèi)有均在如上和設(shè)Dmkf k ,一階偏導(dǎo)數(shù)是若 ),( )0()0(2)0(10 DxxxP n ,上述問題的極值點且雅可比矩陣01 111 Pnmm nxx xx ,m的秩為使得個常數(shù)則存在 , )0()0(2)0(1 mm ),( )0()0(1)0()0(
3、1 mnxx 連續(xù)的的為拉格朗日函數(shù))1(.穩(wěn)定點 : ),( )0()0(1)0()0(1為下述方程的解即mnxx 0),( 0),( 00111 11 1111 nm nmk nkknx mk kkx xxL xxL xxfL xxfL mn :驟條件極值問題的一般步用拉格朗日乘數(shù)法求解; 1.和條件組根據(jù)問題確立目標(biāo)函數(shù) 2.作拉格朗日函數(shù)),( 2121 mnxxxL mk kkf 1 ,.3有穩(wěn)定點求出拉格朗日函數(shù)的所這些穩(wěn)定點;就是可能的條件極值點. , 4.據(jù)理說明確實是值點對每一個可能的條件極 ?據(jù)什么理,2,1 ,0),( 1. 21 mkxxx nk 如條件組 ,滿足隱函數(shù)
4、定理的條件個變量則在n nxxx , 21 中唯一確定了其中.個變量的一組隱函數(shù)個變量為其余mnm 得到一個有個函數(shù)代入目標(biāo)函數(shù)將這 ,fm .個獨立變量函數(shù)mn ,算出此函數(shù)的黑賽矩陣 ,應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)法則由此判斷極值點的.類型 ,),( 2. )0()0(1)0()0(1的穩(wěn)定點是若Lxx mn 020 )( Pkj xx LPHL : 則; ,)( 1. 00取條件極小值在那么正定如PfPHL . ,)( 2. 00取條件極大值在那么負(fù)定如PfPHL . :元函數(shù)的泰勒公式利用證明n ,),( )0()0(2)0(10 DxxxP n 記 . 3.判斷根據(jù)問題本身的特點來而其拉格朗日函數(shù)
5、值如果某實際問題確有極 ,僅有一個穩(wěn)定點或逼近且在定義域的邊界上(,)不取極值邊界時的則這個穩(wěn)定點就是所求.條件極值點. 3. . , 2. 1.較為常用一般不用計算量大 :1例rzyxxyzzyxf 1111),( 在條件求)0,( rzyx .下的極小值:解設(shè)拉格朗日函數(shù)為).1111(),( rzyxxyzzyxL 0000 LLLLzyx由,3: rzyxL 穩(wěn)定點為知4)3( r ? )3()3,3,3( 3是否為條件極值判斷rrrrf ),(1111 yxzzrzyx 看成隱函數(shù)把條件則目標(biāo)函數(shù)).,(),(),( yxFyxzxyzyxf , yyxyxxyxyx FFFFFzz
6、計算出,)3,3(正定rrHF ,)3,3,3(為極小值點故穩(wěn)定點rrr .進(jìn)而最小值點,)3( 3rxyz 所以)1111 rzyx 且0,( rzyx , czbyax 令1)111( cbar則 )3( 3得代入rxyz 31)111(3 cbaabc . )111(3 31 abccba 或 4).P174( :2例教材例 解設(shè)),( 000 zyxP為橢球面上一點, 令1),( 222222 czbyaxzyxF , 過),( 000 zyxP的切平面方程為 )( 020 xxax )( 020 yyby 0)( 020 zzcz , 化簡為 12 02 02 0 czzbyyaxx
7、 , 該切平面在三個軸上的截距各為 02xax，02yby ，02zcz , 所圍四面體的體積 000 222661 zyx cbaxyzV , 在條件1220220220 czbyax下求V的最小值, 令 ,lnlnln 000 zyxu ),( 000 zyxG 000 lnlnln zyx )1( 220220220 czbyax , 由,01 0,0,0 220220220 000 cybyax GGG zyx 可得30 ax 30 by ，30 cz 此為唯一的駐點 四面體的體積最小abcV 23min . 根據(jù)實際情況四面體體積有最小值 拉 格 朗 日 乘 數(shù) 法小結(jié)作業(yè)習(xí) 題 14 61 (4, 5, 6); 2； 3； 4.
數(shù)學(xué)分析14-8條件極值
