《平面的投影》PPT課件

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1、5.1 平面的投影 一、平面的表示法 a b c a b c 不在同一 直線上的 三個點 a b c a b c 直線及線 外一點 a b c a b c d d 兩平行直線 a b c a b c 兩相交直線 a b c a b c 平面圖形 1、用幾何元素表示平面 2、平面的跡線表示法 V H P PV PH PV PH V H QV QH Q H QV Q 平行 垂直 傾斜 投 影 特 性 平面平行投影面 -投影就把實形現(xiàn) 平面垂直投影面 -投影積聚成直線 平面傾斜投影面 -投影類似原平面 實形性 類似性 積聚性 平面對一個投影面的投影特性 二、平面的投影特性 平面在三投影面體系中的投影

2、特性 平面對于三投影面的位置可分為三類 ： 投影面垂直面 投影面平行面 一般位置平面 特殊位置平面 垂直于某一投影面，傾 斜于另兩個投影面 平行于某一投影面，垂 直于另兩個投影面 與三個投影面都傾斜 正垂面 側(cè)垂面 鉛垂面 正平面 側(cè)平面 水平面 1） 投影面垂直面 鉛垂面 正垂面 側(cè)垂面 V W H P PH 鉛垂面 投影特性： 1、 abc積聚為一條線 2 、 abc、 abc為 ABC的類似形 3 、 abc與 OX、 OY的夾角 反映 、 角的真實大小 A B C a c b a b a b b a c c c V W H Q QV 正垂面 投影特性： 1、 abc 積聚為一條線 2

3、、 abc、 abc ABC的類似形 3 、 abc與 OX、 OZ的夾角 反映 、 角的真實大小 a b a b b a c c c A c C a b B V W H SW S 側(cè)垂面 投影特性： 1、 abc積聚為一條線 2 、 abc、 abc為 ABC的類似形 3 、 abc與 OZ、 OY的夾角 反映 、 角的真實大小 C a b A B c a b b b a a c c c a b c a c b c b a 類似性 類似性 積聚性 鉛垂面 投影特性： 在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該 直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影 面夾角的大小。 另外兩個投影面上的投影有類

4、似性。 為什么？ 是什么位置 的平面？ 2） 投影面平行面 水平面 正平面 側(cè)平面 V W H 水平面 投影特性： 1、 abc、 abc積聚為一條線積聚為一條線，具有積聚性 2 、 水平投影 abc反映 ABC實形 C A B a b c b a c a b c c a b b b a a c c 正平面 V W H 投影特性： 1、 abc 、 abc 積聚為一條線，具有積聚性 2 、正平面投影 abc反映 ABC實形 c a b b a c b c a b a c a b c b c a C B A 投影特性： 1、 abc 、 abc 積聚為一條線，具有積聚性 2 、 側(cè)平面投影 ab

5、c 反映 ABC實形 側(cè)平面 V W H a b b b a c c c a b c b a c a b c C A B a a b c a b c a b c 積聚性 積聚性 實形性 水平面 投影特性： 在它所平行的投影面上的投影反映實形。 另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行 的直線。 3） 一般位置平面 一般位置平面 投影特性 1 、 abc 、 abc 、 abc 均為 ABC的類似形 2 、 不反映 、 、 的真實角度 a b c b a c a b a b b a c c b a c C A B 判斷直線在平 面內(nèi)的方法 定 理 一 若一直線過平面 上的兩點，則此 直線

6、必在該平面 內(nèi)。 定 理 二 若一直線過平面上的 一點，且平行于該平 面上的另一直線，則 此直線在該平面內(nèi)。 平面上取任意直線 三、平面上的直線和點 a b c b c a a b c b c a d m n n m d 例 1：已知平面由直線 AB、 AC所確定，試在平面內(nèi)任 作一條直線。 解法一 解法二 根據(jù)定理二 根據(jù)定理一 例 2：在平面 ABC內(nèi)作一條水平線，使其到 H面 的距 離為 10mm。 n m n m 10 c a b c a b 平面上取點 先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線， 然后再在該直線上確定點的位置。 例 1：已知 K點在平面 ABC上，求 K點的水平投

7、影。 b a c c a k b k 面上取點的方法： 首先面上取線 a b c a b k c d k d 利用平面的積聚性求解 通過在面內(nèi)作輔助線求解 例題 2 已知 ABC給定一平面，試判斷點 D是 否屬于該平面。 d d a b c a b c e e b c k a d a d b c a d a d b c k b c 例 3：已知 AC為正平線，補全平行四邊形 ABCD的水平投影。 解法一 解法二 3、平面上的投影面平行線 一般位置平面上存在 一般位置直線 和 投影面平行 線 ，不存在投影面垂直線。 a b c b a c 例題 已知 ABC給定一平面，試過點 C作屬于該平面的

8、正平線，過點 A作屬于該平面 的水平線 。 m n n m 例：在平面 ABC上取一點 K，使點 K在點 A之下 15mm、在點 A之前 20mm處。 5.2 圓的投影 圓的投影特性： 1、圓平面在所平行投影面上的投影反映實形； 2、圓平面在所垂直的投影面上的投影是直線，其長度等于圓 的直徑； 3、圓平面在所傾斜的投影面上的投影是橢圓。其長軸是圓的 平行于這個投影面的直徑的投影；短軸是圓的與上述直徑垂直 的直徑的投影； 5.3直線與平面及兩平面的相對位置 相對位置包括 平行 、 相交 和 垂直 。 一、平行問題 直線與平面平行 平面與平面平行 包 括 直線與平面平行 定理： 若一直線平行于平面

9、上的某一直 線，則該直線與此平面必相互平行。 n a c b m a b c m n 例 1：過 M點作直線 MN平行于平面 ABC。 正平線 例 2：過 M點作直線 MN平行于 V面和平 面 ABC。 c b a m a b c m n 唯一解 n 例題 3 試判斷直線 AB是否平行于定平面 f g f g b a a b c e d e d c 結(jié)論：直線 AB不平行于定平面 兩平面平行 若一平面上的 兩相交直 線 對應(yīng)平行于另一平面上 的 兩相交直線 ，則這兩平 面相互平行。 若兩 投影面垂直面 相 互平行，則它們 具有積聚 性 的那組投影必相互平行。 f h a b c d e f h

10、 a b c d e c f b d e a a b c d e f 例題 1 試判斷兩平面是否平行 f e d e d f c a a c b b m n m n r r s s 結(jié)論：兩平面平行 例題 2 已知定平面由平行兩直線 AB和 CD給定。 試過點 K作一平面平行于已知平面 。 e m n m n f e f s r s r d d c a a c b b k k 二、相交問題 直線與平面相交 平面與平面相交 直線與平面相交 直線與平面相交，其 交點是直線與平面的共有點。 要討論的問題： 求 直線與平面的 交點。 判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即 判別可見性。 我們只討論直線與平面中

11、至少有一個處于特殊 位置的情況 。 a b c m n c n b a m 平面為特殊位置 例：求直線 MN與平面 ABC的交點 K并判別可見性。 空間及投影分析 平面 ABC是一鉛垂面，其 水平投影積聚成一條直線，該 直線與 mn的交點即為 K點的水 平投影。 求交點 判別可見性 由水平投影可知， KN段 在平面前，故正面投影上 kn 為可見。 還可通過重影點判別可見性。 k 1 (2) 作 圖 k 2 1 k m(n) b m n c b a a c 直線為特殊位置 空間及投影分析 直線 MN為鉛垂線，其水平 投影積聚成一個點，故交點 K的 水平投影也積聚在該點上。 求交點 判別可見性 點

12、 位于平面上，在前；點 位 于 MN上，在后。故 k 2為不可見。 1(2) k 2 1 作圖 用面上取點 法 兩平面相交 兩平面相交其交線為直線， 交線是兩平面的 共有線， 同時 交線上的點都是兩平面的共有點。 要討論的問題： 求 兩平面的 交線 方法： 確定兩平面的 兩個共有點。 確定 一個共有點及交線的方向。 只討論兩平面中至少有一個處于特殊位置 的情況。 判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即： 判別可見性。 可通過正面投影 直觀地進行判別。 a b c d e f c f d b e a m(n) 空間及投影分析 平面 ABC與 DEF都為 正 垂面 ，它們的正面投影都積 聚成直線。 交線

13、必為一條正 垂線 ， 只要求得交線上的一 個點便可作出交線的投影。 求交線 判別可見性 作 圖 從正面投影上可看出， 在交線左側(cè)，平面 ABC在上， 其水平投影可見。 n m 如何判別？ 例：求兩平面的交線 MN并判別可見性。 b c f h a e a b c e f h 1(2) 空間及投影分析 平面 EFH是一水平面，它 的正面投影有積聚性。 ab與 ef的交點 m 、 b c與 f h的交 點 n即為兩個共有點的正面投 影，故 mn即 MN的正面投影 。 求交線 判別可見性 點 在 FH上，點 在 BC 上， 點 在上，點 在下，故 fh可見， n2不可見。 作 圖 m n 2 n m

14、 1 c d e f a b a b c d e f 投影分析 N點的水平投影 n位 于 def的外面，說明點 N 位于 DEF所確定的平面 內(nèi)，但不位于 DEF這個 圖形內(nèi)。 所以 ABC和 DEF的 交線應(yīng)為 MK。 n n m k m k 互交 小 結(jié) 重 點 掌 握 二、如何在平面上確定直線和點。 三、兩平面平行的條件一定是分別位于兩平 面內(nèi)的 兩組相交直線對應(yīng)平行。 四、直線與平面的交點及平面與平面的交線 是兩者的共有點或共有線。 解題思路： 空間及投影分析 目的是找出交點或交線的已知投影。 判別可見性 尤其是 如何利用重影點判別。 一、平面的投影特性， 尤其是特殊位置平 面的投影特

15、性。 要 點 一、各種位置平面的投影特性 一般位置平面 投影面垂直面 投影面平行面 三個投影為邊數(shù)相等的類似多邊形 類似性 。 在其垂直的投影面上的投影積聚成直線 積聚性 。 另外兩個投影類似。 在其平行的投影面上的投影反映實形 實形性 。 另外兩個投影積聚為直線。 二、平面上的點與直線 平面上的點 一定位于平面內(nèi)的某條直線上 平面上的直線 過平面上的兩個點。 過平面上的一點并平行于該平面上的某條直線。 三、平行問題 直線與平面平行 直線平行于平面內(nèi)的一條直線。 兩平面平行 必須是一個平面上的一對相交直線對應(yīng)平行 于另一 個平面上的一對相交直線。 四、相交問題 求直線與平面的交點的方法 一般位

16、置直線與特殊位置平面求交點，利用交點的共有 性和平面的積聚性直接求解。 投影面垂直線與一般位置平面求交點，利用交點的共 有性和直線的積聚性，采取平面上取點的方法求解。 求兩平面的交線的方法 兩特殊位置平面相交，分析交線的空間位置，有時可找 出兩平面的一個共有點，根據(jù)交線的投影特性畫出交線 的投影。 一般位置平面與特殊位置平面相交，可利用特殊位置平 面的積聚性找出兩平面的兩個共 有點，求出交線。 特殊位置線面相交 特殊位置線面相交，其交點的投影可利用直線或平面的 積 聚性投影 直接求出。 （ l）當(dāng)直線為一般位置，平面的某個投影具有積聚性時， 交點的一個投影為直線與平面積聚性投影的交點，另一個投

17、影 可在直線的另一個投影上找到。 （ 2）當(dāng)直線的某個投影具有積聚性，平面為一般位置時， 交點的一個投影與直線的積聚性投影重合，另一個投影可利用 在平面上找點的方法在平面的另一個投影上得到。 b b a a c c m m n n 直線與 特殊位置 平面相交 由于 特殊位置 平面的某些投影有積聚性 ， 交點可直接求出。 V H PH P A B C a c b k N K M k k 判斷直線的可見性 V H PH P A B C a c b k N K M b b a a c c m m n k k n 特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。 一般位置平面與 特殊位置 平面相交 求兩平面交線的問題可以看作是求 兩個 共有點 的問題 ,由于 特殊位置 平面的某些投 影有積聚性 ， 交線可直接求出。 n l m m l n b a c c a b f k f k V H M m n l P B C a c b PH k f F K N L 判斷平面的可見性 b b a c n l m c m a l n f k f k V H M m n l B C a c k f F K N L