《1.3.2輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)、秦九韶算法》導(dǎo)學(xué)案

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1、《1.3.2輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)、秦九韶算法》導(dǎo)學(xué)案 《1.3.1輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)、秦九韶算法》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的含義，了解其執(zhí)行過程，并會(huì)求最大公約數(shù)． 2．掌握秦九韶算法的計(jì)算過程，了解它提高計(jì)算效率的實(shí)質(zhì)，并會(huì)求多項(xiàng)式的值．3．進(jìn)一步體會(huì)算法的基本思想． 【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】 算法步驟及程序框圖和算法程序 課前預(yù)習(xí)案 【知識鏈接】 1．36與60的最大公約數(shù)是多少？你是如何得到的？ 2．觀察下列等式8251＝61051＋2146，那么8251與6105這兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)和6105與2146的公約數(shù)有什么關(guān)系？ 【知識梳理】 1．輾轉(zhuǎn)相

2、除法 (1)輾轉(zhuǎn)相除法． ①算法步驟： ②程序框圖如圖所示． ③程序： 2、更相減損術(shù) 問題：設(shè)兩個(gè)正整數(shù)m>n(m>n)，若m－n＝k，則m與n的最大公約數(shù)和n與k的最大公約數(shù)相等，反復(fù)利用這個(gè)原理，可求得98與63的最大公約數(shù)是多少？ 算法分析： 3．秦九韶算法 (1)概念：求多項(xiàng)式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的值時(shí)，常用秦九韶算法，這種算法的運(yùn)算次數(shù)較少，是多項(xiàng)式求值比較先進(jìn)的算法，其實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為求n個(gè)____多項(xiàng)式的值，共進(jìn)行__次乘法運(yùn)算和__次加法運(yùn)算．其過程是： (2)算法步驟： (3)程序框圖如圖所示． (4)程序：

3、 自主小測 1、用更相減損術(shù)求294和84的最大公約數(shù)時(shí)，第一步是__________． 2、設(shè)計(jì)程序框圖，用秦九韶算法求多項(xiàng)式的值，所選用的結(jié)構(gòu)是( ) A．順序結(jié)構(gòu)B．條件結(jié)構(gòu)C．循環(huán)結(jié)構(gòu)D．以上都有3．用更相減損術(shù)可求得78與36的最大公約數(shù)是( ) A．24B．18C．12D．6 課上導(dǎo)學(xué)案 教師點(diǎn)撥： 更相減損術(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法的區(qū)別與聯(lián)系 如表所示． 【例題1】 (1)用輾轉(zhuǎn)相除法求8251與6105的最大公約數(shù)； (2)用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù)． 分析：本題是關(guān)于輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)的直接應(yīng)用．輾轉(zhuǎn)相除法的操作是較大的數(shù)除以較小的數(shù)；更相減損術(shù)的操

4、作是以大數(shù)減小數(shù)． 反思：(1)利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)時(shí)經(jīng)常會(huì)取錯(cuò)最后一個(gè)余數(shù)．因?yàn)檩氜D(zhuǎn)相除法有有限個(gè)除法式子，而最后一個(gè)余數(shù)在倒數(shù)第二個(gè)式子的最后． (2)利用更相減損術(shù)求解最大公約數(shù)時(shí)，最大公約數(shù)是直到差等于減數(shù)時(shí)的那個(gè)差，或是該差與約簡的數(shù)的乘積． 【例題2】用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x+1當(dāng)x＝5時(shí)的值． 【當(dāng)堂檢測】 1．用秦九韶算法計(jì)算f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1當(dāng)x＝0.4時(shí)的值，需要進(jìn)行乘法運(yùn)算和加法運(yùn)算的次數(shù)分別為( ) A．6，6B．5，6C．6，5 D．6，12 2．利用輾轉(zhuǎn)相除法求3869與6

5、497的最大公約數(shù)時(shí)，第二步是________． 3．用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1在x＝－2時(shí)的值為________． 4．用輾轉(zhuǎn)相除法求242與154的最大公約數(shù)． 【問題與收獲】 【知識鏈接】 1、【提示】先用兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然 后把所有的除數(shù)連乘起來即為最大公約數(shù)．由于，故36與60的最大公約數(shù)為 223＝12. 2、【提示】8251的最大約數(shù)是2146的約數(shù)，同樣6105與2146的公約數(shù)也是8251 的約數(shù)，故8251與6105的最大公約數(shù)也是6105與2146的最大公約數(shù)．自主小

6、測答案：1、用2約簡由于294和84都是偶數(shù)，先用2約簡． 2、D 3．D先用2約簡得39，18；然后輾轉(zhuǎn)相減得39－18＝21，21－18＝3，18－3＝15，15－3＝12，12－3＝9，9－3＝6，6－3＝3.所以所求的最大公約數(shù)為32＝6. 當(dāng)堂檢測答案： 1．A改寫多項(xiàng)式f(x)＝(((((3x＋4)x＋5)x＋6)x＋7)x＋8)x＋1，則需進(jìn)行6次乘法和6次加法運(yùn)算． 2．3869＝26281＋1241第一步：6497＝38691＋2628， 第二步：3869＝26281＋1241. 3．－1改寫多項(xiàng)式為f(x)＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1，當(dāng)x＝－2時(shí)， v0＝1；v1＝1(－2)＋5＝3； v2＝3(－2)＋10＝4； v3＝4(－2)＋10＝2； v4＝2(－2)＋5＝1； v5＝1(－2)＋1＝－1； 故f(－2)＝－1. 4．解：242＝1541＋88， 154＝881＋66， 88＝661＋22， 66＝223. 所以242與154的最大公約數(shù)是22.