【備戰(zhàn)2012】高考數(shù)學歷屆真題專題20不等式選講理

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1、 歷屆真題專題 【 2011 年高考試題】一、選擇題 : 1. (2011 年高考山東卷理科 4) 不等式 | x 5| | x 3| 10 的解 集為 （ A） [- 5.7] （ B） [-4,6] （ C） ( , 5] [7, ) （ D） ( , 4] [6, )

2、 3. (2011 年高考廣東卷理科 9) 不等式 x 1 x 3 0 的解集是 ______. 【解析】 { x | x 1} 。由題得 | x 1| | x 3 | ( x 1)2 ( x 3) 2 x 1 所以不等式的解集為 1 { x | x 1} 。 4． (2011 年高考陜西卷理科 15) （不等式選做題 ）若關于 x 的不等式 a x 1 x 2 存在實數(shù)解，則

3、 實數(shù) a 的取值范圍是 【答案】 ( , 3] [3, ) 【解析】：因為 x 1 x 2 | x 1 x 2| 3 所以 a x 1 x 2 存在實數(shù)解， 有 a 3 a 3 或 a 3 三、解答題 : 1． (2011 年高考遼寧卷理科 24) （本小題 滿分 1 0 分）選修 4-5 ：不等式選講 已知函數(shù) f （ x） =|x-2|-|x-5|. （ I ）證明： -3 ≤ f （x）≤ 3； 2 （ II ）求不等式 f （x）≥ x -8x+15 的解集 .

4、 2. (2011 年高考全國新課標卷理科 24) （本 小題滿分 10 分） 選修 4-5 不等選講 設函數(shù) f ( x) x a 3x,a 0 a 1 時，求不等式 f ( x) 3x 2 的解集； (2) 如果不等式 f (x) 0 （ 1）當 的解集為 x x 1 ，求 a 的值。 分 析：解含有絕對值得不等式， 一般采用零點分段法， 去掉

5、絕對值求解； 已知不等式的解集要求字母的值， 2 先用字母表示解集，再與原解集對比可得字母的值； 3.(2011 年高考江蘇卷 21) 選修 4-5 ：不等式選講（本小題滿分 10 分） 解不等式： x | 2x 1| 3 解析：考察絕對值不等式的求解，容易題。 原不等式等價于： x 3 2x

6、1 3 x, 2 4 4 x，解集為 ( 2, ) . 3 3 4． (2011 年高考福建卷理科 21) （本小題滿分 7 分）選修 4-5 ：不等式選講 設不等式 2x - 1＜1的解集為 M． （ I ）求集合 M； （ II ）若 a， b∈ M，試比較 ab+1 與 a+b 的大?。? 解析：本小題主要考查絕對值不等式等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分 7 分。 解：（ I ）由 | 2x 1| 1得 1 2x 1 1,解得 0 x 1.

7、 所以 M { x | 0 x 1}. （ II ）由（ I ）和 a, b M 可知 0

8、 4 二、解答題： 1．（ 2

9、010 年高考福建卷理科 21 ）（本小題滿分 7 分）選修 4-5 ：不等式選講 已知函數(shù) f ( x) | x a |。 （Ⅰ）若不等式 f ( x) 3 的解集為 x | 1 x 5 ，求實數(shù) a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若 f (x) f ( x 5) m 對一切實數(shù) x 恒成立，求實數(shù) m的取值范圍。 【命題意圖】本小題主要考查絕對值的意義、絕對值不等式等基礎知識，考查運算求解能力。 【解析】（Ⅰ）由 f ( x) 3 得 | x a |

10、 3 ，解得 a 3 x a 3 ， 又已知不等式 f (x) 3 的解集為 x | 1 x 5 a 3 1 ，所以 3 ，解得 a 2 。 a 5 （Ⅱ）當 a 2 時， f ( x) | x 2 |，設 g (x)=f ( x) f (x 5) ，于是 2x 1,x< 3 g (x)=|x-2| | x 3| = 5, 3 x 2 ，所以 2x 1,x>2

11、 當 x<-3 時， g(x)>5 ；當 -3 x 2 時， g(x)>5 ；當 x>2 時， g(x)>5 。 2．（ 2010 年高考江蘇卷試題 21）選修 4-5 ：不等式選講 （本小題滿分 10 分） 設 a、 b 是非負實數(shù)，求證： a3 b3 ab (a2 b2 ) 。 5

12、 3. (2010 年全國高考寧夏卷 24）（本小題滿分 10 分）選修 4-5 ，不等式選講 設函數(shù) f ( x) 2x 4l 1 （Ⅰ）畫出函數(shù) y f (x) 的圖像 （Ⅱ）若不等式 f (x) ≤ ax 的解集非空，求 a 的取值范圍。 6

13、 （ 24） 解： 1 （Ⅱ）由函數(shù) y f (x) 與函數(shù) y ax 的圖像可知，當且僅當 a 或 a 2 時，函數(shù) y f (x) 與函數(shù)

14、 2 7 y ax 的圖像有交點。故不等式 f ( x) ax 的解集非空時， a 的取值范圍為 ， 2 1， 2 。 4．（ 2010 年高考遼寧卷理科 24）（本小題滿分 10 分）選修 4-5 ：不等式選講 已知 a,b, c 均為正數(shù)，證明： a2 b 2 c2 ( 1 1 1) 2 6 3 ，并確定 a, b, c

15、 為何值時，等號成立。 a b c 8

16、 【 2009 年高考試題】 7. （ 2009 廣東 14) 不等 式 | x 1 | 1的實數(shù)解為 . | x 2 | 9 7. 【答案】 x 3 且 x -2

17、 2 【解析】 x 1 1 x 1 x 2 ( x 1) 2 (x 2)2 3 且 x 2 . x 2 x 2 0 x 2 0 x 2 8．（ 2009 福建選考 21（ 3）） 解不等式∣ 2x-1 ∣ <∣ x∣+1 8. 【解析】：當 x 0 時，原不等式可化為

18、 2x 1 x 1， 解得 x 0, 又 x 0, x 不存在； 當 0 x 1 2x 1 x 1 ， 解得 x 0, 時，原不等式可化為 2 又 0 x 1 , 0 x 1 ; 1 2 2 當 x 時，原不等式可化為 2x 1 x 1 ， 2

19、 1 , 1 解得 x 2， 又 x x 2. 2 2 綜上，原不等式的解集為 { x | 0 x 2} 。 9．（ 2009 海南寧夏選作（ 24） ) 如力， O 為數(shù)軸的原點， A， B， M為數(shù)軸上三點， C 為線段 OM上的動點。 設 x 表示 C 與原點的距離， y 表示 C到 A 距離 的 4 倍與 C 到 B 距離的 6 倍的和。 （ I ）將 y 表示為 x 的函數(shù)；

20、 （Ⅱ） 要使 y 的值不超過 70， x 應該在什么 范圍內(nèi)取值？ 9. 【解析】： （Ⅰ） y 4 | x 10 | 6 | x 20 |,0 x 30. （Ⅱ）依題意， x 滿足 4 | x 10 | 6 | x 20 | 70, 0 x 30. 解不等式組，其解集為 [9 ， 23] . 所以 x [9,23]. 10．（ 2009 遼寧選作 24） 10 設

21、函數(shù) f (x) | x 1 | | x a | . （ I ）若 a 1,解不等式 f ( x) 3 ； （ II ）如果 x R, f (x) 2, 求 a 的取值范圍。 x 1 3 , 不等 式組 的解集為 。 y( x) 3 2 綜上得，

22、 f (x) 3 的解集為 ( , 3) ( 3 , ) 。 2 2 （ II ）若 a 1, f ( x) 2 | x 1 | ，不滿足題設條件。 2x a 1,x a,. 若 a 1, f ( x) 1 a, a x 1, f (x)的 2x (a 1), x 1, [ 最小值 1 a ； 11 2x a 1,

23、 x 1,. 若 a 1, f ( x) a 1, 1 x a, f (x)的 2x ( a 1), x a, 最小值 : a 1 所以 x R , f (x 2) 的充要條件是 | a 1 | 2,從而 a 的取值范圍為 ( , 1) (3 ) 。 【 2008 年高考試題】 1．（ 2008 廣東， 14）（不等式選講選做題） 已知 a R ，若關于 x 的方程 x 2 x | a 1 | | a | 0 有實根， 4 則 a 的取值范圍是 。

24、 圖象如下： 12 （ 2）不等式不等式的解集為 

25、 | x 8 | | x 4 | 2, 即 f ( x) 2, 由 2x 12 2 得 x 5. 由函數(shù) f (x) 圖象可知， 原 ( ,5). 4．（ 2008 江蘇， 21D， 10 分）（選修 4 – 5 ：不等式選講）設 a, b, c 為正實數(shù)，求證： 1 1 1 abc 2 3. a3 b 3 c3

26、 6．（ 2008山東高考題）若不等式 | 3x b | 4 的解集中的整數(shù)有且僅有 1、 2、 3，則 b 的取值范圍為 。 13 6．【解析】 | 3x b | 4 4 b x 4 b 3 , 3 由已知得： b 4 0 1, 4 b 7. 3 b 4 5

27、 b 5 b 7 8 3 4 3 答案：（ 5， 7） 11．（ 2008 廣東選作 14）已知 a R，若關于 x 的方程 x 2 x | a 1 | | a | 0 有實根， 4 則 a 的取值范圍是 . 11. 【答案】 0, 1 【 解析】： 4 1 1 1 1 0 a 1 4( a a 4 a ) 0a ，利用絕對值的幾何

28、意義，知 。 4 4 4 【 2007 年高考試題】 2．（ 2007 廣東， 14）（不等式選講選做題） 設函數(shù) f (x) | 2x 1 | x 3,則 f ( 2) = ；若 f (x) 5 ， 則 x 的取值范圍是 。 2．【答案】 6； [ — 1， 1] 【解析】 f ( 2) | 4 1 | 2 3 6. | 2x 1 | x 3 5 (2x 1) 2

29、 (2 x) 2 , [ 1,1]. 2 x 0 x 5．（ 2007 海南、寧夏， 22C，10 分）（選修 4 –5：不等式選講 ）設函數(shù) f ( x) | 2x 1 | | x 4 | . （ 1）解不等式 f (x) 2 ； （ 2） 求函數(shù) y f ( x) 的最小值。 14 15