《變速運動》PPT課件.ppt

第一章 （ 2） 復 習 1、基本概念： 位矢： )(trr 運動學方程。 位移： 12 rrr 速度： t rv d d 加速度： 2 2 d d d d t r t va 2、兩類基本問題： 1、已知： ),(tr 求： 、軌跡方程等。)(),( tvta 2、已知： ),(ta 求： )(),( trtv 一、勻變速運動： 特點： )( 恒矢量ca 1、速度： tav dd tavv 0 2、位矢： ttavtvr d)(dd 0 故有： 2 00 2 1 tatvrr 3、特例：若直線運動，則有： tavv xxx 0 200 21 tatvxx x 0 zyx aaa 常數(shù)、 )(2 0202 xxavv x 注意： x 、 v x 、 a x 符號的意義。 1 - 4 變速運動 五、變加速運動 特點： )( taa 例 3 一質(zhì)點沿 x 軸正向運動 ， 其加速度 a 與位置 x 的關系為 a = 3 + 2x。 若在 x = 0 處 ， 其速度 v0 = 5 m/s， 求質(zhì)點運動 到 x = 3m 處時所具有的速度 V 。 解： xatv 23dd txxvtv dddddd 又 x vv d d xxvv 23dd xxvv d)23(d 作定積分，有： 305 d)23(d xxvvV 3 0 2 5 2 |)3(| 2 1 xxv V 因而有： smV /81.7 通過兩個例題來說明求解方法。 例 4以初速度 v0 由地面豎直向上拋出一個質(zhì)量為 m 小球 ， 若上 拋小球受到與其瞬時速度成正比的空氣阻力 ， 求小球能 升到的最大高度是多少 ？ mgkvma v m kga )(dd kmgvmktv 由于： y vv t y y v t v d d d d d d d d 代入上式： )(dd kmgvmkyvv yv k mgv k mg k m dd)1( 0v m f v gm y o kvf 令 解：選豎直向上為正方向，原點選在地面處。 受力分析如圖： 考慮初始條件： y = 0 時， v = v0 ，作定積分： yv v yv k mgv k mg k m 0 dd)1( 0 可得： k mgv k mgv k gm vv k m y 0 2 2 0 ln)( h 最大時， v = 0 ，于是有： )1l n ( 02 2 0m a x mg kv k gmv k mh 切向 （ tangential）單位矢量 te 法向 （ normal）單位矢量 ne 二、自然坐標系中的加速度 t sv evv t d d 由 加速度的定義 設軌跡曲線上點的 曲率圓半徑 為 R，曲率圓圓心為 O。 一、自然坐標系 t eve t v t t d d d d 1.5 平面曲線運 動 方向都是隨位置（時間）變化的 t eva t d )d( 設 A點的 自然坐標 為 s， 曲線上無限靠近 A點的 B點自然坐 標為 s+ds， A、 B兩點對曲率圓 圓心的張角 為 d dddd nt ee Rs nt esR 1e dd 兩邊除以 dt 得 nn t e R ve t s R 1 t e d d d d nnttnt ea+ea=eR v+e t v=a 2 d d可得 sdRds dd R 1 設軌跡曲線上點的 曲率圓半徑 為 R，曲率圓圓心為 O。 t eve t v t t d d d d teva td )d( 質(zhì)點速率變化的快慢 速度方向變化的快慢 切向加速度 法向加速度 2 2 22 )() d d( R v t va=a t 2 na 2 2 d d d d t s= t v=a t R v=a n 2 切向：速度方向沿質(zhì)點所在點的切線 方向。（ ） te ji c o ss i n te ji s i nc o s ne 切向和法向單位矢量與沿 x、 y 軸單位 矢量的關系為： ne 法向：指向圓心的方向。（ ） )(dddd te vttva 由于： 故： tvt va d d d d t t ee n t e e t ji t j t i t ji tt d d s i nc o s d d d d s i n d d c o s)c o ss i n( d d d d dd nt ee v x m y ne j i te 0 1、圓周運動的角量描述： 1）角位置 ( 弧度 rad ) t 平均角速度 （瞬時）角速度 ttt d dl i m 0 3）角速度 ( 矢量 ) ： 二、圓周運動： 軌跡為圓的運動稱為圓周運動。它是最簡單、最基本 的平面曲線運動。 2）角位移 ( 標量 ) ：由圖知 Rs ,0 時得：當由 tRs Rv s x y R 方向 :由右手螺旋法則確定 注意： (1) 4）角加速度 (矢量 )： 2 2 0 d d d dlim tttt v r x y z R (2)由： Rv s i ns i n rr rv 5） 運動方程 )( t= 三、角量與線量的關系 r=s t r= t s 0t0t l i m l i m rv 1、線速度和角速度的關系： 切向：速度方向沿質(zhì)點所在點的切線 方向。（ ） te v x m y ne j i te 0 ne 法向：指向圓心的方向。（ ） 2、圓周運動的切向加速度和法向加速度： nnttnt ea+ea=eR v+e t v=a 2 d d Rtva t dd 2 2 RRva n 則： 反映速度大小變化快慢。 反映速度方向變化快慢。 特例： 1、勻速轉(zhuǎn)動： 0 常量 R vRaav nt 2 20 常量 由 td d 得： t 2、勻變速轉(zhuǎn)動： 常量 由： td d 得： td d 2 0 0 2 1 tt t v、 an 、 at 、 s 也可以根據(jù)角量與線量的關系求出。 三、一般平面曲線運動： n p s 0 質(zhì)點作一般曲線運動時，同樣可 將速度、加速度沿切向和法向分解， 但切向和法向是指該點軌跡上曲率圓 的切向和法向。不同點處曲率半徑 不同。 22| nt aaaa ,R t va t d d 2v a n 特例 : 1 ) = R （ 常量 ） 圓周運動 2 ) at = 0 勻速率運動 3 ) an = 0 直線運動 ga )4 拋體運動 五、圓周運動的第二類運動學問題 積分 積分 t v=a t d d t+v=v 0 d t ta0 t s=v d d )( ts=s 切向加速度 at 和初始條件 速率方程和自然坐 標表示的運動方程 角加速度 和初始條件 角速度方程和以角 量表示的運動方程 解 （ 1） 由 角速度 和 角加速度 的定義，得 t = d d t = d d 把 t = 2s代入 運動方程 、 角速度 和 角加速度方程 ，可得 2 22 33 r a d / s2421212 r a d / s273+2636 r a d2223+2232 =t= =+t= =t+t= 例題 1 一質(zhì)點作半徑為 R=1.0m的圓周運動，其運動方程為 =2t3+3t， 其中 以 rad 計， t 以 s 計。 試求 ：（ 1） t = 2s時質(zhì)點的角位置、角速度和角加速度。 （ 2） t = 2s時質(zhì)點的切向加速度、法向加速度和加速度。 36 2 +t= t= 12 （ 2） 根據(jù) 線量與角量的關系 ，可得 2R =a R =a n t 加速度 )( m / s72924 2ntnntt e+e=ea+ea=a 加速度的大小 2222 n 2 t m / s7 2 97 2 924 aaa 設加速度與法向加速度的夾角為 ， 則 9.1,0 3 2 9.07 2 924t a n n t a a 22 2 7 2 9 m / s=271 . 0= 2 4 m / s=241 . 0= 例 2已知圓周運動 R = 3m， at = 3 m / s 2， v0 = 0 求 ： 1） an（ t = 2s ） sta 2)2 解： 1） 3dd tva t tv d3d 22 /12 sma stn tv tv 00 d3d tv 3 R t R va n 22 9 22 /)312( sma st tn ee tn ee 39 R taaa tn 2） 例 3 已知 : jtitr )1(2 求 : , nt aa 解 : t rv d d)1 jit 2 14| 2 tvv t va t d d又 注意 : | d d | d d d d d d t v t v a t v a t v a t itva 2dd)2 2a 22 tn aaa 14 2 14 164 22 2 tt t 2 )3 va n na v 2 2 )14( 14/2 14 2/32 2 2 t t t 14 4 14 8 2 1 22 t t t ta t 例 4 一質(zhì)點在 oxy平面內(nèi)作曲線運動，其加速度是時間的函數(shù)。 已知 ax = 2, ay = 36 t 2。 設質(zhì)點 t = 0 時 r0 = 0,v0 = 0。 dd)1 tva xx d2d tv x d2d 00 tv x tvx 2 tv x jtitv 3122 求： 1) 此質(zhì)點的運動方程 2) 此質(zhì)點的軌道方程 解： 3) 此質(zhì)點的切向加速度。 t va y y d d ttv y d36d 2 tv y ttvy 0 20 d36d 312 tv y 質(zhì)點的運動方程為： ttyttx d12dd2d 3 tytx ttyttx 0 3000 d12dd2d 42 3 tytx jtit ty tx 42 4 2 3r 3 或 2) 上式中消去 t ,得： 即為軌道方程。 可知是拋物線。 23 xy t yv t xv yx d d d d 又 6222 3 1 4 44 122)3 ttvvv tvtv yx yx 4 2 62 6 361 2 1 62 1 4 44 8 6 48 2 1 d d t t tt tt t va t 解 設加速度與速度方向的夾角 為 ，則 t n a at a n t a nR v t a n a t va n t 2 d d 即 ta n dd 2 R t v v 所以 兩邊積分 ta n 11 ta n dd 0 0 20 R t vv R t v v tv v tvR Rvv 0 0 t a n t a n 例題 5 質(zhì)點沿半徑為 R 的圓軌道運動，初速度為 v0，加速 度與速 度方向的夾角恒定，如圖所示求速度的大小與時間 的關系 1-6 運動描述的相對性 一、運動的相對性： 對兩個不同的參考系，描述同一事件，一般 不同。 avr , 二、位矢關系： 0 rrr 三、速度關系： t rv d d t r t r d d d d 0 0 vv 牽v （ S相對于 S系） 相v （相對于 S系） 絕v （相對于 S系） O o x y z x y z P r 0r r S系 S系 伽利略速度相加定理 : BCCABA vvv 對對對 四、加速度關系： 0 aaa 特例： 若 S 系相對 S 系作勻速運動，則有： 00 a aa 五、適用條件： 宏觀、低速情況。 例：雨中打傘 地對人雨對地雨對人 vvv 地對人v 雨對人v 雨對地v BCCABA aaa 對對對 例 1在河水流速 v0 = 2 m/s 的地方有小船渡河 ， 如希望小船 以 v = 4 m/s 的速率垂直于河岸橫渡 ， 問小船相對于河 水的速度大小和方向應如何 ？ 船對岸v 船對水v 岸對水v 北岸 由于： 所以： 22 岸對水船對岸船對水 vvv 22 42 )s/m(. 474 岸對水 船對岸 v vtg 1 61 1 6 . 解：取河水的流向如圖。要求解的是 。 船對水v 岸對水船對岸船對水 vvv smv /2岸對水 smv /4 船對岸 與水流方向間的夾角為： 船對水v 水對岸v 例 2傾角為 = 300 的劈形物體放置在水平地面上，當斜面上的 木塊沿斜面下滑時，劈形物體以加速度為 4 m/s2 向右運動。 已知木塊相對斜面的加速度為 6 m/s2 。 求：木塊相對地面的加速度。 ia 4斜對地 斜對地木對斜木對地 aaa 解：建如圖坐標系。要求解的是 。 木對地a 30由于： 斜對地木對斜木對地 aaa o y x 木對斜a 斜對地a 木對地a jia 00 30s i n630c o s6 木對斜 )/(3)334( 2smji 解 方法 1： 取 湖岸為 S參考系 ，建由 西向 東為 ox軸 、由 南向北為 oy軸 的直角 坐標系；取 A船為 S參考系 ，建由西 向東為 ox軸的由南向北為 oy軸的 坐標系，如圖所示 i=v=v,j=v=v SSASSBBA 3-4 由 速度疊加原理 SSSBBS v+v=v B 船速度的 大小 -122 ms 5=(- 3 )+4=v BS 例題 3 在湖面上以的速率 3m/s向正東行駛的 A船上看到 B船 以 4m/s的速率由北面駛近 A船 (1)在湖岸上看， B船的速度如 何？ (2) 如果 A船的速度率變?yōu)?6m/s，方向不變， B船的速度又 如何？ ji= 43 - B 船速度的 方向 南偏東 93643 .a r ct a n (2)如果 A船的速度率變?yōu)?6m/s，方向不變，即 i=v=v SSAS 6 j-i=v+v=v SSSBBS 63 -122 ms 6 . 7=(- 3 )+6=v BS 62663 .a r ct a n B 船速度的 大小 B 船速度的 方向 南偏東 j-i=v+v=v SSSBBS 46 22 ( -4 )+6=v BS 6 4a r c t a n 應為： 方法 2：圖解法 (1)由 速度變換公式 ASBABS v+v=v 可作所示的 矢量圖 解直角三角形可得 -12222 ms 5=3+4=v+v=v ASBABS 設 與 （南）之間的夾角為 ， BSv BAv 則 9.3643a rc ta n 小 結 一、運動的描述： 位置矢量 )( trr 位 移 12 rrr 瞬時速度 加速度 1、基本物理量： 2 2 d d d d t r t va t rv d d )(t td d 2 2 d d d d tt 12 線 量 角 量 2、線量與角量的關系： Rtva t dd Rv 22 R R va n 二、運動的相對性 作業(yè)： 1 - 9、 16、 17、 26 BCCABA vvv 對對對 BCCABA aaa 對對對 3、運動學的 兩個 基本問題： 1）已知： )(tr 求： 、軌跡方程等。、 )()( tvta 2）已知： )(ta 求： 。、 )()( trtv