概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第3講

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第 3講 本文件可從網(wǎng)址 http:/ 上下載 (單擊 ppt講義后選擇概率論講義 子 目錄 ) 概率 每一個(gè)事件都有它的發(fā)生概率 即給定事件 A, 存在著一個(gè)正數(shù) P 與之對(duì)應(yīng) , 稱(chēng) 之為事件 A的概率 , 記作 P(A)或 PA. 最高的發(fā)生概率為 1, 表示必然發(fā)生 . 最低的概率為 0, 表示不可能發(fā)生 . 而一般的隨機(jī)事件的概率介于 0與 1之間 . 這里只是概率的數(shù)學(xué)上的規(guī)定 , 其實(shí)就是任何 一個(gè)事件到實(shí)數(shù)軸上的 0,1區(qū)間的映射 . 但怎樣獲得切合實(shí)際的一個(gè)事件的概率呢 ? 概率的統(tǒng)計(jì)定義 在 n次重復(fù)試驗(yàn)中 , 如果事件 A發(fā)生了 m次 , 則 m/n稱(chēng)為事件 A發(fā)生的 頻率 . 同樣若事件 B發(fā) 生了 k次 , 則事件 B發(fā)生的頻率為 k/n. 概率的統(tǒng)計(jì)定義 如果 A是必然事件 , 有 m=n, 即必然事件的頻率 是 1, 當(dāng)然不可能事件的頻率為 0. 概率的統(tǒng)計(jì)定義 如果 A與 B互不相容 , 則事件 A+B的頻率為 (m+k)/n, 它恰好等于兩個(gè)事件的頻率的和 m/n+k/n, 這稱(chēng)之為頻率的可加性 . 定義 在不變的條件下 , 重復(fù)進(jìn)行 n次試驗(yàn) , 事件 A發(fā) 生的頻率穩(wěn)定地某一常數(shù) p附近擺動(dòng) , 且一 般說(shuō)來(lái) , n越大 , 擺動(dòng)幅度越小 , 則稱(chēng)常數(shù) p為 事件 A的概率 , 記作 P(A). 但這不是概率的數(shù)學(xué)上的定義 , 而只是描述了 一個(gè)大數(shù)定律 . 歷史上的擲硬幣試驗(yàn) 試驗(yàn)者 拋擲次數(shù) n 正面出現(xiàn)次 數(shù) m 正面出現(xiàn)頻 率 m/n 德 .摩爾根 2048 1061 0.518 蒲豐 4040 2048 0.5069 皮爾遜 12000 6019 0.5016 皮爾遜 24000 12012 0.5005 維尼 30000 14994 0.4998 概率的穩(wěn)定性是概率的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ) 但并不是說(shuō)概率決定于經(jīng)驗(yàn) . 一個(gè)事件發(fā)生的 概率完全決定于事件本身的結(jié)構(gòu) , 指試驗(yàn)條 件 , 是先于試驗(yàn)而客觀存在的 . 概率的統(tǒng)計(jì)定義僅僅指出了事件的概率是客 觀存在的 , 但并不能用這個(gè)定義計(jì)算 P(A). 實(shí)際上 , 人們是采取一次大量試驗(yàn)的頻率或 一系列頻率的平均值作為 P(A)的近似值的 . 例如 ,對(duì)一個(gè)婦產(chǎn)醫(yī)院 6年出生嬰兒的調(diào)查中 , 可以看到生男孩的頻率是穩(wěn)定的 , 約為 0.515 新生兒性別統(tǒng)計(jì)表 出生年份 新生兒總數(shù) n 新生兒分類(lèi)數(shù) 頻率 (%) 男孩數(shù) m1 女孩數(shù) m2 男孩 女孩 1977 3670 1883 1787 51.31 48.69 1978 4250 2177 2073 51.22 48.78 1979 4055 2138 1917 52.73 47.27 1980 5844 2955 2889 50.56 49.44 1981 6344 3271 3073 51.56 48.44 1982 7231 3722 3509 51.47 48.53 6年總計(jì) 31394 16146 15248 51.48 48.52 概率的古典定義 (概率的古典概型 ) 有一類(lèi)試驗(yàn)的特點(diǎn)是 : 1,每次試驗(yàn)只有有限種可能的試驗(yàn)結(jié)果 2,每次試驗(yàn)中 ,各基本事件出現(xiàn)的可能性完全 相同 . 在古典概型的試驗(yàn)中 , 如果總共有 n個(gè)可能的 試驗(yàn)結(jié)果 , 因此每個(gè)基本事件發(fā)生的概率為 1/n, 如果事件 A包含有 m個(gè)基本事件 , 則事件 A發(fā)生的概率則為 m/n. 定義 若試驗(yàn)結(jié)果一共由 n個(gè)基本事件 E1,E2, En組 成 , 并且這些事件的出現(xiàn)具有相同的可能性 , 而事件 A由其中某 m個(gè)基本事件 E1,E2, Em組 成 , 則事件 A的概率可以用下式計(jì)算 : n mAAP 試驗(yàn)的基本事件總數(shù) 的基本事件數(shù)有利于)( 簡(jiǎn)單的例 擲一枚硬幣的試驗(yàn) , 基本事件為正面和反面 , 而且由于硬幣的對(duì)稱(chēng)性 , 因此出現(xiàn)正面和反 面的概率一樣 , 都是 1/2. 擲一次骰子的試驗(yàn) , 基本事件有 6個(gè) , 因此每個(gè) 基本事件的概率為 1/6, 則 P奇數(shù)點(diǎn) =3/6=1/2, P小于 3=P1,2=2/6=1/3 例 袋內(nèi)裝有 5個(gè)白球 , 3個(gè)黑球 , 從中任 兩個(gè)球 , 計(jì)算取出的兩個(gè)球都是白球的概率 . 2 53 2 5 :, , , nC AA mC 解 組 成 試 驗(yàn) 的 基 本 事 件 總 數(shù) 假 設(shè) 事 件 取 到 兩 個(gè) 白 球 則 的 基 本 事 件 數(shù) 則 2 5 2 8 5 4 1 2 () 1 2 8 7 5 0 .3 5 7 14 Cm PA nC 例 2 一批產(chǎn)品共 200個(gè) , 廢品有 6個(gè) , 求 (1)這批 產(chǎn)品的廢品率 ; (2)任取 3個(gè)恰有一個(gè)是廢品 的概率 ;(3)任取 3個(gè)全非廢品的概率 解 設(shè) P(A), P(A1), P(A0)分別表示 (1),(2),(3)中所 求的概率 ,則 9122.0 198199200 321 321 192193194 )()3( 0855.0 198199200 321 21 193194 6)()2( 03.0 200 6 )()1( 3 200 3 194 0 3 200 2 194 1 6 1 C C AP C CC AP AP 例 3 兩封信隨機(jī)地向標(biāo)號(hào)為 1,2,3,4的 4個(gè)郵筒 投寄 ,求第二個(gè)郵筒恰好被投入 1封信的概率 及前兩個(gè)郵筒中各有一封信的概率 . 解 設(shè)事件 A=第二個(gè)郵筒恰有一封信 事件 B=前兩個(gè)郵筒中各有一封信 兩封信投入 4個(gè)郵筒共有 44種投法 , 而組成事 件 A的投法有 23種 , 組成事件 B的投法則只有 2種 , 因此 8 1 16 2 )(, 8 3 16 6 )( BPAP 例 3 兩封信隨機(jī)地向標(biāo)號(hào)為 1,2,3,4的 4個(gè)郵筒 投寄 ,求第二個(gè)郵筒恰好被投入 1封信的概率 及前兩個(gè)郵筒中各有一封信的概率 . 解 設(shè)事件 A=第二個(gè)郵筒恰有一封信 事件 B=前兩個(gè)郵筒中各有一封信 兩封信投入 4個(gè)郵筒共有 44種投法 , 而組成事 件 A的投法有 23種 , 組成事件 B的投法則只有 2種 , 因此 8 1 16 2 )(, 8 3 16 6 )( BPAP 比較難的例子： 一個(gè)小型電影院出售電影票 , 每張 5元 . 總共有 10個(gè)觀眾隨機(jī)地排成一隊(duì)買(mǎi)票 , 其中有 5人手 持一張 5元的鈔票 , 另 5人手持 10元一張的鈔 票 . 售票開(kāi)始時(shí) , 售票員手里沒(méi)有零鈔 , 求售票 能夠進(jìn)行的概率 (即不因?yàn)槿鄙倭沐X(qián)找不開(kāi)而 需要等的概率 ). 售票能進(jìn)行的例 : 售票不能進(jìn)行的例 : 持五元 持十元 基本事件總數(shù) n的計(jì)算 : 考慮將 5個(gè)手持五元的人隨機(jī)地放入 10個(gè)排隊(duì) 位置中的 5個(gè) , 則剩下的 5個(gè)位置當(dāng)然是手持十 元的人的位置 . 即 10個(gè)位置中拿出 5個(gè)來(lái)放手 持五元的人的總數(shù) n. !5!5 !105 10 Cn !5!5 !105 10 Cn 將問(wèn)題改變一下 , 假設(shè)售票員手里還是有足夠 的零鈔找換的 , 因此 售票能進(jìn)行 的事件就等 于售票員始終沒(méi)有使用自己手中的零鈔的事 件 , 而 售票不能進(jìn)行 的事件就是售票員要?jiǎng)?用自己手中的零鈔的事件 . 假設(shè)在售票開(kāi)始時(shí) , 售票員手中的五元零鈔數(shù) 目為 0, 在售票過(guò)程中 , 遇到手持五元鈔的觀眾 則零鈔數(shù)目增 1, 否則零鈔數(shù)目減 1, 如果必須 動(dòng)用售票員手中原有的零鈔時(shí) , 零鈔數(shù)目可能 變?yōu)樨?fù)值 . 將售票過(guò)程中的零鈔數(shù)目的變化繪 成折線圖 . 售票能進(jìn)行的例子 : 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 售票不能進(jìn)行的例子 : 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 將曲線從第一個(gè)不能進(jìn)行的點(diǎn)處開(kāi)始對(duì)折 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 對(duì)于售票不能進(jìn)行的例子 , 在遇到第一個(gè)手持 10元卻必須給他找自己的零鈔的人時(shí) , 將后面 的人的手中鈔票都換一下 , 5元的換 10元 , 10元 的換 5元 , 這樣總的效果就是有 6人持 10元鈔 , 4 人持 5元鈔 , 在售完票時(shí)零鈔總損失必然是 2個(gè) 5元鈔 . 反過(guò)來(lái) , 如果一開(kāi)始就是有 6人持 10元 4人持 5 元 , 則售票必然不能進(jìn)行 , 因此必然存在第一 個(gè)無(wú)法找零鈔的人 , 如果這時(shí)將其后面的人 10 元換 5元 , 5元換 10元 , 則對(duì)應(yīng)于一個(gè) 5人持 10元 5人持 5元且售票不能進(jìn)行的事件 . 因此 , 6人持 10元 4人持 5元 的排隊(duì)事件總數(shù) , 和 5人持 10元 5人持 5元售票不能進(jìn)行 的事件總數(shù) 應(yīng)當(dāng)是一樣的 . 我們只需計(jì)算前者的事件總數(shù) , 而這等于先將 10個(gè)排隊(duì)位置中拿出 4個(gè)放持 5 元的人的總數(shù) . !6!4 !104 10 Cn B 因此 , 假設(shè)事件 A為售票能進(jìn)行 , 事件 B為售票 不能進(jìn)行 , 有利于 A的基本事件數(shù)為 nA, 有利 于 B的基本事件數(shù)為 nB, 則 6 1 6 5 1 !6!4 !10 !10 !5!5 1 11)( 5 10 4 10 C C n n n nn AP BB 這還可以擴(kuò)展到更一般的情況 , 即假設(shè)共有 2k 個(gè)人排隊(duì)買(mǎi)票 , 其中 k個(gè)人持五元鈔 , k個(gè)人持 十元鈔 , 每張票五元 , 售票開(kāi)始時(shí)售票員沒(méi)有 零鈔 , 求售票能夠進(jìn)行的概率 . 假設(shè)所求事件的概率為 P(A), 售票不能進(jìn)行的 概率為 P(B), 則 B的事件總數(shù)為 2k個(gè)排隊(duì)位置 中取出 k1個(gè)位置的事件數(shù) . 1 1 1 1 )!2( ! )!1()!1( )!2( 1 11)( 2 1 2 kk k k kk kk k C C n n n nn n n AP k k k kBBA 幾何概型 設(shè)樣本空間 S是平面上的某個(gè)區(qū)域 , 它的面積 記為 m(S); S A 向區(qū)域 S上隨機(jī)投擲一點(diǎn) , 該點(diǎn)落入任何部分 區(qū)域 A的可能性只與區(qū)域 A的面積 m(A)成比例 . S A 則必然有 () () () A PA S m m (3.2) 如樣本空間 S為一線段或一空間立體 , 則 向 S投點(diǎn)的相應(yīng)概率仍可用上式確定 , 但 m() 應(yīng)理解為長(zhǎng)度或體積 . 例 某人一覺(jué)醒來(lái) , 發(fā)覺(jué)表停了 , 他打開(kāi)收音 機(jī) , 想聽(tīng)電臺(tái)報(bào)時(shí) , 設(shè)電臺(tái)每正點(diǎn)報(bào)時(shí)一次 , 求他 (她 )等待時(shí)間短于 10分鐘的概率 . 解 以分鐘為單位 , 記上一次報(bào)時(shí)時(shí)刻為 0, 則 下一次報(bào)時(shí)時(shí)刻為 60, 于是這個(gè)人打開(kāi)收音 機(jī)的時(shí)間必在 (0,60), 記”等待時(shí)間短于 10分 鐘”為事件 A, 則有 S=(0,60), A=(50,60)S, 于是 10 1 () 60 6 PA 例 甲 ,乙兩人相約在 0到 T這段時(shí)間內(nèi) , 在 預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面 . 先到的人等候另一個(gè)人 , 經(jīng)過(guò)時(shí)間 t(tT)后離去 . 設(shè)每人在 0到 T這 段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻到達(dá)該地是等可能的 , 且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不牽連 . 求甲 ,乙兩 人能會(huì)面的概率 . 解 以 x,y分別表示甲乙兩人到達(dá)的時(shí)刻 , 那末 0 xT, 0yT. 若以 x,y表示平面上點(diǎn)的坐標(biāo) , 則所有基 本事件可以用一正方形內(nèi)所有點(diǎn)表示 , 兩人能會(huì)面的條件是 |xy|t y O t T x t T A y O t T x t T A 所以所求概率為 O t T x t T A 2 2 22 11 )( T t T tTT p 正方形面積 陰影部分面積 2 2 22 11 )( T t T tTT p 正方形面積 陰影部分面積 介紹蒙特卡洛試驗(yàn)技術(shù) 我們知道象擲硬幣這樣的試驗(yàn)作一次是很費(fèi) 時(shí)間的 . 但是計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以后 , 通常都有一 個(gè)隨機(jī)函數(shù) , 此隨機(jī)函數(shù)每次調(diào)用的返回值 都不一樣 , 會(huì)產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)的數(shù)字 , 因此我 們就可以利用這樣一個(gè)隨機(jī)的數(shù)字進(jìn)行反 復(fù)的試驗(yàn)來(lái)求出我們所希望的事件的概率 . 特別是有一些事件的概率求起來(lái)非常困難 , 但用計(jì)算機(jī)進(jìn)行仿真試驗(yàn) , 就可以通過(guò)統(tǒng)計(jì) 的辦法求出概率的近似值 , 這叫做蒙特卡洛 試驗(yàn) . 在 word上編程試驗(yàn)擲硬幣 Word字處理器帶有一個(gè) virsal basic編譯器 , word的宏都是用它來(lái)編寫(xiě)的 . 在進(jìn)入 word之 后 , 選擇 工具 |宏 |宏菜單 , 在宏名上鍵入你 想要的宏的名字 , 這里我們鍵入 test, 然后單 擊 創(chuàng)建 按鈕 , 這就進(jìn)入 virsal basic編譯器 . Basic語(yǔ)言中有一個(gè)函數(shù)叫 rnd(), 每調(diào)用一次 它就會(huì)返回一個(gè)在區(qū)間 0,1)內(nèi)的隨機(jī)數(shù) , 因 此可以在調(diào)用此函數(shù)后判定返回值是否小 于 0.5, 如果小于就是反面 , 否則就是正面 , 這樣可以保證正面和反面的機(jī)會(huì)都是 0.5. 因此鍵入這樣的語(yǔ)句 If rnd()0.5 then selection.typetext text:=反面 Else selection.typetext text:=正面 End if 則每調(diào)用一次這個(gè)宏就相當(dāng)于用計(jì)算機(jī)模擬 作了一次擲硬幣試驗(yàn) 如果要連做 10次試驗(yàn) , 則語(yǔ)句改成這樣 For i=1 to 10 If rnd()0.5 then selection.typetext text:=反面 Else selection.typetext text:=正面 End if Next i 如果要統(tǒng)計(jì)做 n次試驗(yàn)中正面出現(xiàn)的頻率程序?yàn)?Sub test() n = 200000 m = 0 For i = 1 To n If Rnd() 0.5 Then m = m + 1 End If Next Selection.TypeText Text:=Str(m / n) End Sub 作業(yè) 第 3頁(yè) 習(xí)題 1-2 第 1題 第 4頁(yè)開(kāi)始 習(xí)題 1-3 第 1,2,4,8,10題 學(xué)號(hào)小于 2003021561的學(xué)生交作業(yè) 作業(yè)盡量用紙交 , 盡量不用本子 .