三軸數(shù)控平面磨床幾何精度分析與穩(wěn)健設(shè)計

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1、三軸數(shù)控平面磨床幾何精度分析與穩(wěn)健設(shè)計 　　摘要：為了經(jīng)濟合理地分配三軸數(shù)控平面磨床零部件幾何精度，提出了一種幾何精度分析設(shè)計的方法。針對磨床具體結(jié)構(gòu)，基于多體系統(tǒng)理論和齊次坐標(biāo)變換方法，建立了磨床幾何誤差傳遞模型，并通過試驗驗證了該模型具有理想的預(yù)測性能；根據(jù)誤差傳遞模型，運用正交試驗設(shè)計和參數(shù)試驗的試驗設(shè)計方法分析識別了影響磨床加工精度的11項關(guān)鍵幾何誤差因素；基于穩(wěn)健設(shè)計理論，在成本分析和誤差溯源基礎(chǔ)上，建立了11項關(guān)鍵幾何誤差因素下的磨床成本質(zhì)量模型，并運用該模型對關(guān)鍵幾何誤差因素的公差進行了穩(wěn)健設(shè)計。研究結(jié)果表明：上述方法能實現(xiàn)對磨床幾何精度的經(jīng)

2、濟合理的分配。 　　關(guān)鍵詞：平面磨床；多體系統(tǒng)；幾何誤差；誤差模型；穩(wěn)健設(shè)計 　　中圖分類號：TH161 文獻標(biāo)識碼：A 　　影響機床加工精度的各類誤差主要有機床零部件的幾何誤差、熱誤差、載荷誤差和伺服誤差等，其中幾何誤差所占比重達25%～35%，故對幾何精度的分析與研究是精度設(shè)計的主要工作。傳統(tǒng)精度設(shè)計主要是經(jīng)驗設(shè)計，依靠經(jīng)驗的方法分配機床各零部件的公差等級。由于各環(huán)節(jié)誤差對機床整體加工精度的影響程度不同，而且其精度控制實現(xiàn)的難易程度也不一樣，傳統(tǒng)的經(jīng)驗設(shè)計方法已經(jīng)難以滿足日益提高的精度要求，因此，為滿足機床加工精度的要求，建立機床的誤差傳遞模型，分析影響機床加工精度的關(guān)鍵誤差

3、因素，并合理分配機床零部件的精度顯得尤為重要。 　　建立準(zhǔn)確有效的幾何誤差傳遞模型則是對幾何精度進行分析和研究的首要條件。目前，以多體系統(tǒng)理論結(jié)合齊次坐標(biāo)變換為基礎(chǔ)的誤差建模與分析方法已被普遍采用?；谠摲椒?，國內(nèi)外眾多學(xué)者在誤差建模、誤差分析等方面取得了一系列的進展。在分析及識別影響加工精度的關(guān)鍵幾何誤差因素方面，黃強等以滾齒機YK3610為對象，介紹基于多體系統(tǒng)理論和齊次坐標(biāo)變換的機床誤差建模方法，并依托該模型對機床敏感誤差辨識方法、步驟和關(guān)鍵點進行闡述。程強等基于多體系統(tǒng)理論構(gòu)建加工中心的精度模型，并利用矩陣微分法建立四軸數(shù)控機床誤差敏感度分析的數(shù)學(xué)模型，通過計算與分析誤差敏感度系數(shù)，

4、最終識別出影響機床加工精度的關(guān)鍵性幾何誤差。在分配機床零部件的精度方面，王禹林等基于多體系統(tǒng)理論建立螺桿轉(zhuǎn)子磨床的精度模型，并綜合考慮磨床整體精度和制造成本，提出一種精度分配優(yōu)化方法，通過調(diào)整精度權(quán)數(shù)實現(xiàn)了不同應(yīng)用需求的目標(biāo)優(yōu)化。余治民等基于多體系統(tǒng)理論建立龍門導(dǎo)軌磨床精度模型，分析了不同工作位置加工精度可靠性，針對最小可靠度工作位置進行靈敏度分析，并遵循精度均衡原則逐步優(yōu)化誤差變量的分布，實現(xiàn)了磨床精度的優(yōu)化分配。但上述研究都沒有把關(guān)鍵幾何誤差因素分析與識別和精度分配結(jié)合起來應(yīng)用到機床的精度設(shè)計之中。 　　本文結(jié)合關(guān)鍵幾何誤差因素分析與識別方法和基于穩(wěn)健設(shè)計理論的精度分配方法，對三軸數(shù)控平

5、面磨床幾何精度進行分析和設(shè)計。為有效識別影響磨床加工精度的關(guān)鍵幾何誤差因素，首先基于多體系統(tǒng)理論，建立三軸數(shù)控平面磨床的幾何誤差傳遞模型；然后采用正交試驗設(shè)計和參數(shù)試驗的試驗設(shè)計方法分析識別關(guān)鍵幾何誤差因素；最后，建立關(guān)鍵幾何誤差因素的公差穩(wěn)健設(shè)計的成本質(zhì)量模型，從而對其公差進行穩(wěn)健設(shè)計。 　　1 三軸數(shù)控平面磨床結(jié)構(gòu)拓?fù)浞治龊蛶缀握`差分析 　　1.1 磨床結(jié)構(gòu)及其拓?fù)浞治? 　　三軸數(shù)控平面磨床主要包括以下功能部件：前后床身、工作臺、立柱、主軸箱、主軸和砂輪，具體結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中工作臺沿床身z向?qū)к壸鳈M向運動，立柱沿床身y向?qū)к壸骺v向運動，主軸箱沿立柱z向?qū)к壸鞔瓜蜻\動，主軸及砂輪固

6、定在主軸箱上。拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)描述多體系統(tǒng)各體之間的連接關(guān)系，磨床即是一個典型的多體系統(tǒng)，為便于誤差建模，對其進行拓?fù)浞治?，磨床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及低序體陣列分別如圖2及表1所示。其中L0（K）等為低序體算子。 　　1.2 三軸數(shù)控平面磨床幾何誤差分析 　　機床幾何誤差是指由組成機床各零部件的幾何形狀、表面質(zhì)量及相互之間的位置誤差等制造和裝配因素所導(dǎo)致的機床誤差。對于三軸數(shù)控平面磨床，當(dāng)三平動進給軸x，y，z運動時，將分別產(chǎn)生6項幾何誤差。以x進給軸為例，當(dāng)工作臺沿x向?qū)к夁\動時，將產(chǎn)生3項線性誤差：定位誤差δxx，兩直線度誤差δyx與δzx，以及3項角誤差：滾轉(zhuǎn)角誤差εxx，俯仰角誤差εyx與偏擺角誤差ε

7、zx，如圖3（a）所示。另外，Y進給軸相對于X進給軸存在垂直度誤差Sxy，Z進給軸相對于X和Y進給軸分別存在垂直度誤差Sxz和Syz，如圖3（b）所示。 　　綜合可知，三軸數(shù)控平面磨床共有21項幾何誤差，表2詳細(xì)列出了磨床各項幾何誤差的幾何意義及其表達式。為便于區(qū)分，對于除三項垂直度誤差以外的18項誤差，其誤差符號下標(biāo)定義如下：第一個下標(biāo)表示誤差方向，第二個下標(biāo)表示運動方向。 　　2 三軸數(shù)控平面磨床幾何誤差傳遞模型及其試驗驗證 　　2.1 三軸數(shù)控平面磨床坐標(biāo)系的建立 　　為便于磨床的誤差建模，應(yīng)建立磨床床身上的基坐標(biāo)系和各部件上的局部坐標(biāo)系。具體設(shè)置如下： 　　1）在磨床床身上建

8、立基坐標(biāo)系O0x0y0z0，其x，y，z軸方向分別與X，Y，Z三進給軸理想運動方向一致。 　　2）分別在工件鏈部件和刀具鏈部件上建立局部坐標(biāo)系Oixiyizi（i=1～6），各坐標(biāo)系方向?qū)?yīng)平行。并設(shè)坐標(biāo)系Oixiyizi（i=1～6）與基坐標(biāo)系O0x0y0z0重合，以便于建模。 　　2.2 三軸數(shù)控平面磨床運動分析及描述 　　將做相對運動的兩相鄰典型體狀態(tài)分為運動初始時的相對靜止和其后的相對運動兩種狀況，則兩相鄰典型體之間的位姿變換可以由相對靜止時的理想位姿矩陣、相對靜止時的位姿誤差矩陣、理想運動位姿矩陣和運動位姿誤差矩陣相乘得到，如式（1）所示： 　　Tij=TijpTijpeT

9、ijse. （1） 　　根據(jù)磨床的結(jié)構(gòu)和各部件之間的運動關(guān)系，結(jié)合多體系統(tǒng)理論和齊次變換矩陣的方法，可以建立磨床各部件之間的位姿變換矩陣。 　　2.2.1 磨床各部件典型體間相對靜止時的位姿矩陣 　　工件與工作臺之間，主軸與主軸箱之間，砂輪與主軸之間固定，且相對靜止時位姿誤差只考慮垂直度誤差，根據(jù)前述坐標(biāo)系的設(shè)定，相對靜止時的位姿誤差矩陣如下所示，其余各部件間矩陣均為單位矩陣： 　　2.2.2 磨床各部件典型體間相對運動時的位姿矩陣 　　工件與工作臺之間，主軸與主軸箱之間，砂輪與主軸之間固定，故相對運動時的位姿變換矩陣均為單位矩陣。 　　工作臺相對于床身運動a時的理想與誤差位姿變換

10、矩陣分別為：同理，可求得立柱相對于床身運動b，主軸及主軸箱相對于立柱運動c時的理想與誤差齊次變換矩陣。 　　2.3 三軸數(shù)控平面磨床幾何誤差傳遞模型 　　設(shè)砂輪成形點在砂輪坐標(biāo)系O6x6y6z6中的齊次坐標(biāo)為：Pt=（PtxPtyPtz1）T，則砂輪成形點在磨床基坐標(biāo)系中的齊次坐標(biāo)為： 　　工件上成形點在工件坐標(biāo)系O2x2y2z2中的齊次坐標(biāo)為：Pw=（PwxPwyPwz1）T，則工件成形點在磨床基坐標(biāo)系中的齊次坐標(biāo)為： 　　由成形原理可知，在理想情況下，P0t與P0w在磨床工作空間應(yīng)是重合的，但在實際加工過程中，P0t與P0w不可避免會發(fā)生偏離，從而產(chǎn)生空間位置誤差。它們之間的偏差即

11、為磨床空間位置誤差，則有： 　　E=（ExEyEz1）T=P0t-P0w. 　?。?）式中：Ex，Ey，Ez為空間位置誤差在x，y，z三向分量。式（3）即為三軸數(shù)控平面磨床的誤差傳遞模型，它由磨床各部件的幾何誤差組成。 　　2.4 幾何誤差傳遞模型的試驗驗證 　　幾何誤差檢測方法主要有9線法、14線法、22線法等，其中9線法測量線路少，測量時機床不需要多進給軸進行聯(lián)動，操作相對簡單，效率高，因此，本文采用9線法測量辨識磨床21項幾何誤差。 　　利用Renishaw公司的XL-80激光干涉儀系統(tǒng)，采用9線法原理，測量磨床21項幾何誤差。試驗時工作臺和立柱靜止不動，主軸沿立柱上z向?qū)к夁\

12、動，在z向工作行程范圍內(nèi)取19個測量點，通過試驗測量得到主軸運動到19個測量點位置處砂輪工作點x，y和z三個方向上的位移誤差以及分別與之對應(yīng)的21項幾何誤差，測量現(xiàn)場如圖4所示。 　　將相應(yīng)測得的21項幾何誤差代入式（2）中，即可求得砂輪工作點x，y和z三向誤差。將計算結(jié)果與試驗測量結(jié)果進行比較，檢驗?zāi)Ｐ偷念A(yù)測精度，結(jié)果如圖5及表3所示。其中：殘余誤差一實測誤差一預(yù)測誤差。 　　表3為殘余誤差與實測誤差在最大絕對誤差及誤差均值方面的數(shù)據(jù)對比，綜合圖5及表3數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)：模型預(yù)測誤差值最低能達到實測誤差值的80%，最高達到95%，因此幾何誤差傳遞模型具有比較理想的預(yù)測性能。 　　3 三軸數(shù)

13、控平面磨床關(guān)鍵幾何誤差識別 　　根據(jù)加工原理可知，在被加工表面的法線方向上，刀具與工件的相對位置誤差將最大程度地反映為加工誤差。對于三軸數(shù)控平面磨床，根據(jù)坐標(biāo)系的設(shè)置可知，被加工平面的法線方向為z向，因此磨床空間位置誤差z向分量Ez為重點關(guān)注對象。由此將對Ez影響較大的幾何誤差因素看做關(guān)鍵幾何誤差。本文采用正交試驗設(shè)計和參數(shù)試驗的試驗設(shè)計方法分析識別磨床關(guān)鍵幾何誤差。 　　3.1 正交試驗設(shè)計 　　正交試驗設(shè)計（Orthogonal Design）是利用正交表科學(xué)地安排與分析多因素試驗的方法，對試驗結(jié)果進行方差分析可以解析各試驗因素對試驗結(jié)果影響的重要程度。 　　對于21項幾何誤差的正

14、交試驗設(shè)計，選取三水平的等水平正交表L54（325），根據(jù)誤差測量試驗數(shù)據(jù)確定水平值表，見表4。根據(jù)誤差模型，編寫MATLAB程序，進行試驗計算，并對結(jié)果進行方差分析，如表5所示，其中“*”表示高度顯著。 　　對于表4中線性誤差值，其單位為mm，對于角誤差和垂直度誤差，其單位為μrad，0.01/1000=1010-6=10μrad對于表5中Fα值，α取0.01及0.05。 　　從方差分析表可知，對磨床工作空間位置誤差2向分量Ez影響大的幾何誤差因素為：δyx，δyy，δzx，δzy，δzz，εxx，εxy，εyz，εyz，εyy，εyz，Syz，Sxz。 　　3.2 幾何誤差參數(shù)試驗

15、 　　參數(shù)試驗研究每一個設(shè)計因子獨立于其他所有因子情況下對響應(yīng)的敏感性，即一次改變一個參數(shù)來分析參數(shù)對響應(yīng)的影響。根據(jù)式（3），對于磨床21項幾何誤差的參數(shù)試驗有： 　　△E=F（u1，u2，ui+△u，…，u21）-F（u1，u2，…，u21）. （4）式中：u（i=1～21）表示21項幾何誤差。 　　根據(jù)式（4）對21項幾何誤差進行參數(shù)試驗，初始值均設(shè)為0，線性誤差單位微變量取0.001mm，角誤差和垂直度誤差單位微變量取10μrad試驗結(jié)果見表6。 　　對表6幾何誤差參數(shù)試驗結(jié)果分析： 　　1）單位各線性誤差微變量均等大小地反映在誤差的同一方向上，但其值可正可負(fù)。凡是引起E變化

16、的誤差因素，均為敏感誤差。 　　2）單位各角誤差及垂直度誤差微變量引起的空間位置誤差變化存在較大的差異，但其數(shù)值的大小基本相同，且相對于單位微變量有較大的誤差放大效應(yīng)。對于引起Ez變化的誤差因素，均為敏感誤差，在設(shè)計中應(yīng)加以嚴(yán)格的控制。 　　3.3 關(guān)鍵幾何誤差識別 　　綜合幾何誤差正交試驗設(shè)計和參數(shù)試驗的結(jié)果發(fā)現(xiàn)：兩者關(guān)鍵幾何誤差分析識別結(jié)果基本一致，而對于δyx和δyy兩項，根據(jù)前述誤差方向的定義，δyx和δyy兩誤差方向均為y向，與敏感誤差方向即z向垂直，因此不予以重點關(guān)注。綜上，關(guān)鍵幾何誤差因素為δzx，δzy，δzz，εxx，εxy，εxz，εyx，εyy，εyz，Syz和Sx

17、z共11項。 　　4 關(guān)鍵幾何誤差的公差的穩(wěn)健設(shè)計 　　基于穩(wěn)健設(shè)計理論，利用最優(yōu)拉丁超立方試驗設(shè)計獲取試驗數(shù)據(jù)，結(jié)合Isight軟件建立磨床加工精度質(zhì)量水平的響應(yīng)面近似模型；考慮產(chǎn)品全壽命周期，在成本分析和誤差溯源的基礎(chǔ)上，建立磨床加工精度的成本質(zhì)量模型，從而實現(xiàn)關(guān)鍵幾何誤差公差的穩(wěn)健設(shè)計。 　　4.1 響應(yīng)面法求解磨床加工精度質(zhì)量水平 　　磨床的加工精度屬于望小特性類型的質(zhì)量特征，且其質(zhì)量損失函數(shù)是關(guān)鍵幾何誤差因素的函數(shù)，則有： 　　L（y）=Ky2=G（V）。式中：V=（v1，v2，…，v11）表示11項關(guān)鍵幾何誤差因素；K為質(zhì)量損失系數(shù)（常數(shù)）。 　　若產(chǎn)品質(zhì)量特性y表現(xiàn)為

18、隨機性，即L（y）為隨機變量時，產(chǎn)品的質(zhì)量水平可用質(zhì)量損失函數(shù)L（y）的期望值來表示，如式（5）所示?，F(xiàn)代機械精度設(shè)計理論表明，機床零部件的幾何誤差均為隨機量。因此，由零部件幾何誤差導(dǎo)致的機床加工誤差也是隨機量，則磨床加工精度的質(zhì)量水平可由式（5）來表示： 　　E{L（y）}=KE{y2}-K（σy2+μy2）。 （5） 　　由誤差模型可知，加工精度質(zhì)量損失函數(shù)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，且高度非線性，難以直接求解其期望值。為此，采用二階多項式形式的響應(yīng)面方法構(gòu)造磨床加工精度質(zhì)量損失函數(shù)的響應(yīng)面近似模型，從而求解加工精度質(zhì)量水平。二階響應(yīng)面模型一般形式如下所示：式中：a0，bi，cij，di為未知系數(shù)，共

19、78項。從而可以求得磨床加工精度的質(zhì)量水平如式（6）所示，其中μvi表示vi的期望，σvi2表示vi的方差。 　　一般情況下機床幾何誤差可以看做是服從正態(tài)分布，且?guī)缀握`差均值μ為0，則幾何誤差的標(biāo)準(zhǔn)差σ與其公差T之間關(guān)系如式（7）所示。這里的幾何誤差的公差T就是允許幾何誤差變動的范圍。 　　T=6σ。 （7）將式（7）代入式（6）中即可求得用關(guān)鍵幾何誤差的公差表示的磨床加工精度質(zhì)量水平為： 　　4.2 磨床加工精度的成本質(zhì)量模型 　　產(chǎn)品壽命周期成本一般包括生產(chǎn)成本和使用成本，且一般情況下產(chǎn)品質(zhì)量越高，生產(chǎn)成本則越高，而使用成本越低。故產(chǎn)品的使用成本可以表示為與產(chǎn)品的質(zhì)量損失成正比，如

20、式（9）所示，其中λ為比例系數(shù)（常數(shù)）。 　　Gu（T）=λE{L（y）}=λCq（T）。 （9） 　　本文選用加工特征模型來表示生產(chǎn)成本與公差之間的函數(shù)關(guān)系，通過對關(guān)鍵幾何誤差因素進行誤差溯源，分析誤差產(chǎn)生的原因，進而選用加工特征模型。 　　對于11項關(guān)鍵幾何誤差因素，其與磨床零部件精度的對應(yīng)關(guān)系如下： 　　1）δzz對應(yīng)絲杠的螺距累計誤差，即絲杠螺母副的制造精度； 　　2）δzy，δzx，εxz，εxy和εyz對應(yīng)各導(dǎo)軌在其垂直面內(nèi)的直線度誤差； 　　3）εyz對應(yīng)各導(dǎo)軌在其水平面內(nèi)的直線度誤差； 　　4）εxx，εyy對應(yīng)導(dǎo)軌的平行度誤差； 　　5）Sxz，Syz與各導(dǎo)

21、軌的直線度及導(dǎo)軌長度有關(guān)。 　　其中，導(dǎo)軌的直線度和平行度與導(dǎo)軌各尺寸有關(guān)，而導(dǎo)軌尺寸屬于平面特征尺寸；絲杠的螺距則可以看做定位特征尺寸。 　　根據(jù)上述誤差溯源的分析，對于δzy，δzx，εxz，εxy，εyx，εyz，εxx，εyy，Sxz和Syz這10個誤差可采用我國中型機械類企業(yè)在中等批量加工時，平面特征尺寸加工的成本公差模型；對于定位誤差δzz，可選用定位特征尺寸加工的成本公差模型，分別如下所示。則磨床整體的生產(chǎn)成本為各項加工成本之和，如式（10）所示： 　　結(jié)合式（8），（9），（10）可得到低成本高質(zhì)量的磨床幾何誤差的公差穩(wěn)健設(shè)計的準(zhǔn)則函數(shù)為： 　　QC（T）=WCq（T）

22、+（1-W）[Cm（T）+Cu（T）]。式中：w∈（0，1）為加權(quán)因子，一般取W>O。5以確保產(chǎn)品質(zhì)量。從而可建立磨床幾何誤差公差穩(wěn)健設(shè)計的成本質(zhì)量模型，如式（11）所示。 　　4.3 磨床關(guān)鍵幾何誤差的公差的穩(wěn)健設(shè)計 　　以11項關(guān)鍵幾何誤差為設(shè)計變量，以磨床工作空間位置誤差z向分量Ez為分析目標(biāo)，利用最優(yōu)拉丁超立方試驗設(shè)計的方法生成試驗數(shù)據(jù)，并代入式（3）的誤差傳遞模型中，得到相應(yīng)的試驗結(jié)果即E值。根據(jù)試驗結(jié)果，應(yīng)用Isight軟件中的最小二乘法擬合響應(yīng)面，從而得到式（8）中磨床加工精度質(zhì)量水平的二階響應(yīng)面模型函數(shù)的未知系數(shù)，見表7。 　　對上述響應(yīng)面近似模型進行適應(yīng)性檢驗，其結(jié)果見

23、表8。根據(jù)檢測結(jié)果可知，模型可靠性在允許精度范圍（大于0.9）內(nèi)。則由試驗數(shù)據(jù)擬合的響應(yīng)面近似模型代替實際模型進行進一步的研究。表中R2為決定系數(shù)，磁為調(diào)整的決定系數(shù)，用來驗證響應(yīng)面模型的擬合程度。 　　根據(jù)現(xiàn)有一般數(shù)控設(shè)備能達到的精度和中華人民共和國臥軸矩臺平面磨床精度檢驗標(biāo)準(zhǔn)（OB/T4022-2007），確定式（11）中幾何誤差的公差值，見表9。這里的公差值是指公差帶寬度，也就是允許幾何誤差變動的范圍值。 　　取W=0.7，λ=1，根據(jù)成本質(zhì)量模型，結(jié)合Isight軟件對幾何誤差公差進行穩(wěn)健設(shè)計，得到穩(wěn)健設(shè)計的公差值見表10。 　　5 結(jié)論 　　1）建立了磨床幾何誤差傳遞模型，且經(jīng)過試驗驗證，模型具有比較理想的預(yù)測性能。 　　2）運用正交試驗設(shè)計和參數(shù)試驗的試驗設(shè)計方法，識別出了影響磨床加工精度的關(guān)鍵幾何誤差因素，即：δzx，δzy，δzz，εxx，εxy，εxz，εyx，εyy，εyz，Syz和Sxz共11項。 　　3）結(jié)合最優(yōu)拉丁超立方試驗設(shè)計及響應(yīng)面的方法，在成本分析和誤差溯源的基礎(chǔ)上，建立了磨床幾何誤差公差穩(wěn)健設(shè)計的成本質(zhì)量模型，并實現(xiàn)了幾何誤差的公差的穩(wěn)健設(shè)計。 　　研究表明，本文幾何精度分析與設(shè)計的過程及結(jié)果為高效合理分配磨床精度、實現(xiàn)可行的磨床精度設(shè)計提供了理論依據(jù)和實踐參考。