機(jī)器人學(xué)-坐標(biāo)轉(zhuǎn)換.ppt

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1、機(jī)器人技術(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) Mathematic Preparation for Robotics 2.1 位置和姿態(tài)的表示 2.2 坐標(biāo)變換 2.3 齊次坐標(biāo)變換 2.4 物體的變換及逆變換 2.5 通用旋轉(zhuǎn)變換 Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.1 位置和姿態(tài)的表示 1.位置描述 在直角坐標(biāo)系 A中 ,空間任意一點(diǎn) p的位置 (Position)可用 3x1列向量 (位置矢量 )表示 : 2.方位描述 空間物體 B的方位 (Orientation) 可由某個(gè)固接于此物體的坐標(biāo)系 B 的三個(gè)單位主矢量 xB,yB,zB相對(duì)于 參考坐標(biāo)系 A的方向余弦組成的 3x3 矩

2、陣描述 . T zyx A pppP Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.1 位置和姿態(tài)的表示 上述矩陣稱為旋轉(zhuǎn)矩陣 ,它是正交的 .即 若坐標(biāo)系 B可由坐標(biāo)系 A,通過繞 A的某一坐標(biāo)軸獲 得 ,則繞 x,y,z三軸的旋轉(zhuǎn)矩陣分別為 100 0 0 ),( 0 010 0 ),( 0 0 001 ),( cs sc z cs sc y cs scx RRR 1RR1 ABTABAB R 333231 232221 131211 rrr rrr rrr

3、 A B R Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.1 位置和姿態(tài)的表示 這些旋轉(zhuǎn)變換可以通過右圖推導(dǎo) 這是繞 Z軸的旋轉(zhuǎn) . 其它兩軸只要把坐標(biāo)次序調(diào)換可得 上頁結(jié)果 . p B p A p B p B p A p B p B p A zz yxy yxx c o ss in s inc o s p B p B p B p A p A p A z y x z y x 100 0c oss in 0s inc os Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.1 位置和姿態(tài)的表示 旋轉(zhuǎn)矩陣的幾何意義 :

4、 1) 可以表示固定于剛體上的坐標(biāo)系 B對(duì)參考坐標(biāo) 系的姿態(tài)矩陣 . 2) 可作為坐標(biāo)變換矩陣 .它使得坐標(biāo)系 B中的點(diǎn)的 坐標(biāo) 變換成 A中點(diǎn)的坐標(biāo) . 3) 可作為算子 ,將 B中的矢量或物體變換到 A中 . RAB RAB pB pA RAB Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.1 位置和姿態(tài)的表示 3.位姿描述 剛體位姿 (即位置和姿態(tài) ),用剛體的方位矩陣和 方位參考坐標(biāo)的原點(diǎn)位置矢量表示，即 0B AA B pRB Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.2 坐標(biāo)變換 1. 平移坐標(biāo)變換 坐標(biāo)系 A和 B 具有相同的方位 ,但 原點(diǎn)不重合 .則

5、點(diǎn) P在 兩個(gè)坐標(biāo)系中的位置 矢 量 滿 足 下 式 : 0B ABA PPP Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.2 坐標(biāo)變換 2.旋轉(zhuǎn)變換 坐標(biāo)系 A和 B有 相同的原點(diǎn)但方位不同 , 則點(diǎn) P的在兩個(gè)坐標(biāo)系 中的位置矢量有如下關(guān) 系 : PRP BABA TABABBA RRR 1 Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.2 坐標(biāo)變換 3.復(fù)合變換 一般情況原點(diǎn)既 不重和 ,方位也不同 . 這時(shí)有 : (2-13) 0BABABA PPRP Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.2 坐標(biāo)變換 例 2.1 已知坐標(biāo)系 B的初始位姿與 A重合 ,

6、首先 B 相對(duì)于 A的 ZA軸轉(zhuǎn) 30 ,再沿 A的 XA軸移動(dòng) 12單位 , 并沿 A的 YA軸移動(dòng) 6單位 .求位置矢量 APB0和旋轉(zhuǎn)矩陣 BAR.設(shè)點(diǎn) p在 B坐標(biāo)系中的位置為 BP=3,7,0,求它在 坐標(biāo)系 A中的位置 . 0 6 12 ; 100 0866.05.0 05.0866.0 )30,( 00 BAAB zR pR 0 562.13 098.11 0 6 12 0 562.7 902.0 0B ABA B A ppRp Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.3

7、齊次坐標(biāo)變換 1.齊次變換 (2-13)式可以寫為 : (2-14) P點(diǎn)在 A和 B中的位置矢量分別增廣為 : 而齊次變換公式和變換矩陣變?yōu)?: (2-15,16) 1101 0 PPRP B B AA B A TBBBBTAAAA zyxzyx 1,1 PP 10 , 0B AA BA B BA B A PRTPTP Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.3 齊次坐標(biāo)變換 2.平移齊次坐標(biāo)變換 A分別沿 B的 X、 Y、 Z坐標(biāo)軸平移

8、 a、 b、 c距離 的平移齊次變換矩陣寫為： 用非零常數(shù)乘以變換矩陣的每個(gè)元素，不改變特性。 例 2-3:求矢量 2i+3j+2k被矢量 4i-3j+7k平移得到的新 矢量 . 1000 100 010 001 ),,( c b a cbaT r ans 1 9 0 6 1 2 3 2 1000 7100 3010 4001 Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.3 齊次坐標(biāo)變換 3.旋轉(zhuǎn)齊次坐標(biāo)變換 將上式增廣為齊次式：

9、 100 0 0 ),( 0 010 0 ),( 0 0 001 ),( cs sc z cs sc y cs scx RRR 1000 0100 00 00 ),( 1000 00 0010 00 ),( 1000 00 00 0001 ),( cs sc z cs sc y cs sc x RRR Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.3 齊次坐標(biāo)變換 引入齊次變換后， 連續(xù)的變換可以變成 矩陣的連乘形式。計(jì) 算簡(jiǎn)化。 例 2-4 ： U=7i

10、+3j+2k,繞 Z軸轉(zhuǎn) 90度后，再繞 Y 軸轉(zhuǎn) 90度。 例 2-5：在上述基礎(chǔ)上再 平移（ 4， -3， 7）。 1 2 7 3 ;;; 1 2 3 7 ;;; 1000 0100 0001 0010 )90,( zR 1 3 7 2 ;;; 1 2 7 3 ;;; 1000 0101 0010 0100 )90,( yR ;;; 1000 7100 3010 4001 )7,3,4( Tr a n s

11、Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.3 齊次坐標(biāo)變換 由矩陣乘法沒有交 換性，可知變換次序?qū)?結(jié)果影響很大。 1000 7010 3001 4100 )90,()90,()7,3,4( zR otyR otT r an s Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.4 物體的變換及 逆變換 1.物體位置描述 物體 可以由固定于 其自身坐標(biāo)系上的若干 特征點(diǎn)描述。 物體的變 換 也可通過這些特征點(diǎn) 的變換獲得。 Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.4 物體的變換及逆變換 1.物體位置描述

12、 111111 440000 111111 446644 111111 002200 440000 111111 1000 0010 0001 4100 1000 0010 0001 4100 )90,()90,()0,0,4( zR otyR otTr a n sT Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.4 物體的變換及逆變換 2.齊次坐標(biāo)的復(fù)合變換 B相對(duì)于 A: ABT; C相對(duì)于 B: BCT; 則 C相對(duì)于 A: 10 1010 00 00 B A C BA B B C A B C BB CB

13、 AA B B C A B A C ppRRR pRpT TTT Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.4 物體的變換及逆變換 3.齊次坐標(biāo)的逆變換 B相對(duì)于 A: ABT; A相對(duì)于 B: BAT; 兩者互為 逆矩陣 .求逆的辦法 : 1.直接求 ABT-1 2.簡(jiǎn)化方法 0ppRp T pRRpR T 000 100 )( 1010 A B B AB AB AB A B B ATA B TA BA BB AB A Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.4 物體的變換及逆變換 3.齊次坐標(biāo)的逆變換 一般 ,若 則 10

14、00 zzzz yyyy xxxx paon paon paon T 1000 1 ap op np T zyx zyx zyx aaa ooo nnn TzyxTzyxTzyxTzyx aaaooonnnppp aonp ,,, Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.4 物體的變換 及逆變換 3.變換方程初步 B:基坐標(biāo)系 T:工具坐標(biāo)系 S:工作臺(tái)坐標(biāo)系 G:目標(biāo)坐標(biāo)系 或工件坐標(biāo)系 滿足方程 TTTT GTSGBSBT Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 習(xí)題 : P43, 題 2.3 P44, 題 2.9 Rob

15、otics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.5 通用旋轉(zhuǎn)變換 1.通用旋轉(zhuǎn)變換公式 求 :繞從原點(diǎn)出發(fā)的 f旋轉(zhuǎn) 角 時(shí)的旋轉(zhuǎn)矩陣 . S:物體上固接的坐標(biāo)系 T:參考坐標(biāo)系 C:Z軸與 f重合的輔助坐標(biāo)系 xT YT ZT T C S zS f, Zc O ),( fRot Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.5 通用旋轉(zhuǎn)變換 在 S上取一點(diǎn) p,其坐標(biāo)為向量 P,它繞 T中直線 f旋 轉(zhuǎn) 角。 1）將 S上 p點(diǎn)坐標(biāo)變換到 T中，其坐標(biāo)為 2）直接計(jì)算繞 f旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)為， 目前上式在 T無法直接求。采取如下步驟： 3）建立輔助坐標(biāo)系 C，使其 Z軸與 f重合。這樣問題

16、變?yōu)槔@ ZC旋轉(zhuǎn)。將 S中的點(diǎn) p變換到 C中，變換 為： 4）在 C中繞 Z軸旋轉(zhuǎn)有： 5）將 C中坐標(biāo)變換回 T中有， pTST ),( pfR ot TS T pTSCT TT ),( pzR TSCT TT ),( pzTR TSCTTC TT Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.5 通用旋轉(zhuǎn)變換 步驟 2）和 5）中的結(jié)果應(yīng)該相同， 即： 由于 C的 Z軸與 f重合 ,所以 ),(),( pfR o tpzTR T ST SCTTC TTT 1),(),(),( TT TCTCCTTC zTRzTRfR o t

17、 1000 0 0 0 1000 0100 00 00 1000 0 0 0 zyx zyx zyx zzz yyy xxx aaa ooo nnn cs sc aon aon aon zzyyxx fafafa Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.5 通用旋轉(zhuǎn)變換 根據(jù)坐標(biāo)軸的正交性 , ,有 令 ,則 ona 1 222 zyx zyxyxz yxzxzy xzyzyx aaa fnoona fnoona fnoona c os1)( v e r s 1000 0 0

18、 0 ),( cv e r sffsfv e r sffsfv e r sff sfv e r sffcv e r sffsfv e r sff sfv e r sffsfv e r sffcv e r sff fR o t zzxzyyzx xyzyyzyx yxzzxyxx Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.5 通用旋轉(zhuǎn)變換 2.等效轉(zhuǎn)角與轉(zhuǎn)軸 給出任一旋轉(zhuǎn)變換 ,能夠由上式求得進(jìn)行 等效旋轉(zhuǎn) 角 的 轉(zhuǎn)軸 .已知旋轉(zhuǎn)變換 R,令 R=Rot(f, ),即有 將上式對(duì)角線元素相加 ,并簡(jiǎn)化得 1000 0 0

19、 0 1000 0 0 0 cv e r sffsfv e r sffsfv e r sff sfv e r sffcv e r sffsfv e r sff sfv e r sffsfv e r sffcv e r sff aon aon aon zzxzyyzx xyzyyzyx yxzzxyxx zzz yyy xxx ccv e r sfffaon zyxzyx 213)( 222 )1(21 xyx aonc Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.5 通用旋轉(zhuǎn)變換 非對(duì)角元素成對(duì)相減 ,有 平方后有 設(shè) , sfon

20、sfna sfao zxy yzx xyz 2 2 2 222 21 )()()( xyzxyz onnaaos o1800 1 )()()( t a n 222 zyx xyzxyz aon onnaao sonf snaf saof xyz zxy yzx 2/)( 2/)( 2/)( Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.5 通用旋轉(zhuǎn)變換 例 2-7 一坐標(biāo)系 B與參考系重合 ,現(xiàn)將其繞通過原點(diǎn) 的軸 轉(zhuǎn) 30 ,求轉(zhuǎn)動(dòng)后的 B. 以 ,代入算式 ,有 Tf 0707.0707.0 ozyx fff 0.3

21、00.07 0 7.0 1000 0866.0354.0354.0 0354.0933.0067.0 0354.0067.0933.0 )30,( o kR ot Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.5 通用旋轉(zhuǎn)變換 一般情況 ,若 f不通過原點(diǎn) ,而過 q點(diǎn) (qx,qy,qz),則齊次 變換矩陣為 : 其中 , 1000 ),( Ccv e r sffsfv e r sffsfv e r sff Bsfv e r sffcv e r sffsfv e r sff Asfv e r sffsfv e r sffcv e

22、 r sff fR o t zzxzyyzx xyzyyzyx yxzzxyxx z y x zzxzyyzx xyzyyzyx yxzzxyxx z y x q q q cv e r sffsfv e r sffsfv e r sff sfv e r sffcv e r sffsfv e r sff sfv e r sffsfv e r sffcv e r sff q q q C B A Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.5 通用旋轉(zhuǎn)變換 例 2-8 一坐標(biāo)系 B與參考系重合 ,現(xiàn)將其繞

23、通過 q=1,2,3T的軸 轉(zhuǎn) 30 ,求轉(zhuǎn)動(dòng) 后的 B. 以 ,代入算式 ,有 Tf 0707.0707.0 321 0.300.0707.0 zyx o zyx qqq fff 1000 04.0866.0354.0354.0 13.1354.0933.0067.0 13.1354.0067.0933.0 )30,( o kR o t Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) Matlab使用與矩陣計(jì)算 Matlab是美國 Mathworks公司推出的數(shù)值 計(jì)算軟件 .在數(shù)值計(jì)算及科學(xué)研究中 ,是其 它語言

24、無法相比的 .其主要特點(diǎn)有 : 1.語言簡(jiǎn)潔緊湊 ,使用方便靈活 ,庫含數(shù)極其豐富 . 2.具有非常多的矩陣函數(shù) ,矩陣計(jì)算異常方便 . 3.具有多種功能的工具包 . 4.具有與 FORTRAN、 C等同樣多的運(yùn)算符和結(jié)構(gòu)控制指令的同 時(shí)，語法限制卻不嚴(yán)格，使程序設(shè)計(jì)很自由 . 5.圖形功能強(qiáng)大 ,數(shù)據(jù)可視化好 . 6.原程序和庫函數(shù)代碼公開 . 但 .程序執(zhí)行效率較低 . 本節(jié)主要介紹其矩陣計(jì)算在機(jī)器人分析中的應(yīng)用 . Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) Matlab使用與矩陣計(jì)算 矩陣的輸入 : 1)矩陣的直接輸入 .(操作 ) 以 作為首尾 ,行分隔用 ” ;”,元素分隔用 ”

25、,”或 空格 . 2)矩陣編輯器 .(操作 ) 先在工作區(qū)定義矩陣 ,用編輯器修改矩陣 . 3)用函數(shù)創(chuàng)建矩陣 ,如 .(操作 ) zeros(m,n):零矩陣 ones(m,n):全部元素都為 1的矩陣 eye(m,n):單位陣 randn(m,n):正態(tài)分布的隨機(jī)矩陣 vander(A):由矩陣 A產(chǎn)生的 Vandermonde矩陣 Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) Matlab使用與矩陣計(jì)算 矩陣的計(jì)算 .(操作 ) 1)加減 2)轉(zhuǎn)置 3)乘法 4)除法與線性方程組 5)逆 6)冪和指數(shù) Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) Matlab使用與矩陣計(jì)算 例

26、: 計(jì)算 : 1000 0100 00 00 )60,( 1000 00 0010 00 )45,( 1000 00 00 0001 )45,( 2 1 2 3 2 3 2 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 zR ot yR ot xR ot o o )45,()45,()60,( )60,()45,()45,( ooo ooo xRyRzR zRyRxR Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 習(xí)題 :2.3 坐標(biāo)系 B初始與 A重合 ,讓

27、B繞 ZB旋轉(zhuǎn) 角 ;然后再 繞 XB轉(zhuǎn) 角 .求把 BP變?yōu)?AP的旋轉(zhuǎn)矩陣 . cs csccs ssscc 0 Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 習(xí)題 :2.3變化 坐標(biāo)系 B初始與 A重合 ,讓 B繞 ZB旋轉(zhuǎn) 角 ;然后再 繞 XA轉(zhuǎn) 角 .求把 BP變?yōu)?AP的旋轉(zhuǎn)矩陣 . cscss scccs sc 0 Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 習(xí)題 :2.3變化 坐標(biāo)系 B初始與 A重合 ,讓 B繞 ZB旋轉(zhuǎn) 角 ;然后再 繞 XA轉(zhuǎn) 角 .求把 BP變?yōu)?AP的旋轉(zhuǎn)矩陣 .

28、 cscss scccs sc cs sc cs sc zR otxR ot 0 100 0 0 0 0 001 ),(),( Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 習(xí)題 :2.9將圖 (a)變換到 (b). Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 習(xí)題 :2.9 解一 1000 0010 0100 0001 )90,( oxR ot 1000 0100 0001 0010 )90,( ozR ot Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 習(xí)題 :2.9 解一

29、1000 0100 10010 0001 )0,10,0(1T r ans 1000 0100 9010 0001 )0,9,0(2Tr a n s Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 習(xí)題 :2.9 解一 1000 0010 0100 0001 )90,( oxR ot 1000 0100 0001 0010 )90,( ozR ot Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 習(xí)題 :2.9 解一 1000 0100 0010 2001 )0,0,2(2Tr a n s

30、 1000 0100 10010 0001 )0,10,0(1Tr an s Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 習(xí)題 :2.9 解一 1000 0010 0001 0100 )90,()90,()0,10,0()0,10,0( oo xR o tzR o tTr a n sTr a n s 11 40 11 00 11 00 40 11 1000 0010 0001 0100 Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 習(xí)題 :2.9 解一 1000 9

31、010 0001 2100 )0,9,0()90,()90,()0,0,2( T r a n sxR o tzR o tT r a n s oo 111 004 111 222 111 000 995 111 1000 9010 0001 2100 Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 習(xí)題 :2.9 解二 1000 0010 0100 0001 )90,( oxR ot Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 習(xí)題 :2.9 解二 1000 0100 000

32、1 0010 )90,( ozR ot Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 習(xí)題 :2.9 解二 1000 9100 0010 2001 )9,0,2(T r ans 1000 9010 0001 2100 )90,()90,()9,0,2( 00 xR otzR otTr a n s Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 習(xí)題 :2.9 解三 1000 0 0 001 ),( 1 1 1 1 Ccs Bsc A fR ot 001 zyx fff 1000 9010 9

33、100 0001 )90,( 01fR ot 9 9 0 0 9 0 010 100 001 0 9 0 1 1 1 C B A Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 習(xí)題 :2.9 解三 100 zyx fff 1000 100 0 0 ),( 2 2 2 2 C Bcs Asc fR ot 0 9 9 0 9 0 100 001 010

34、0 9 0 2 2 2 C B A 1000 0100 9001 9010 )90,( 02fR ot Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 習(xí)題 :2.9 解三 1000 0100 9010 2001 )0,9,2(T r ans 1000 9010 0001 2100 1000 9010 9100 0001 1000 0100 9001 9010 1000 0100 9010 2001 )90,()90,()0,9,2( 12 oo fR otfR otTr an s