《(新課標)高中數(shù)學《2.2.1雙曲線及其標準方程》課件新人教A版選修1-1.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《(新課標)高中數(shù)學《2.2.1雙曲線及其標準方程》課件新人教A版選修1-1.ppt（32頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2 2 雙曲線 2 2.1 雙曲線及其標準方程 【課標要求】 1 了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程 2 會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的應用問題 【核心掃描】 1 用 定義法、待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程 ( 重點 ) 2 與雙曲線定義有關(guān)的應用問題 ( 難點 ) 自學導引 1 雙曲線的定義 把平面內(nèi)與兩個定點 F 1 、 F 2 的距離的 等于常數(shù) ( 小 于 | F 1 F 2 | ) 的點的軌跡叫做雙曲線，這 叫做雙曲線 的焦點， 叫做雙曲線的焦距 差的絕對值 兩個定點 兩焦點間的距離
2、 試一試 ： 在雙曲線的定義中，必須要求 “ 常數(shù)小于 | F 1 F 2 |” ，那 么 “ 常數(shù)等于 | F 1 F 2 |” ， “ 常數(shù)大于 | F 1 F 2 |” 或 “ 常數(shù)為 0 ” 時， 動點的軌跡是什么？ 提示 ( 1) 若 “ 常數(shù)等于 | F 1 F 2 |” 時，此時動點的軌跡是以 F 1 ， F 2 為端點的兩條射線 F 1 A ， F 2 B ( 包括端點 ) ，如圖所示 ( 2) 若 “ 常數(shù)大于 | F 1 F 2 |” ，此時動點軌跡不存在 ( 3) 若 “ 常數(shù)為 0 ” ，此時動點軌跡為線段 F 1 F 2 的垂直平分線 2 雙曲線的標準方
3、程 焦點在 x 軸上 焦點在 y 軸上 標準方程 x 2 a 2 y 2 b 2 1 ( a 0 ， b 0) y 2 a 2 x 2 b 2 1 ( a 0 ， b 0) 焦點坐標 F 1 ( c ， 0) ， F 2 ( c ， 0) F 1 (0 ， c ) ， F 2 (0 ， c ) a ， b ， c 的關(guān)系 c 2 a2 b2 想一想 ： 如何判斷方程 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 和 y 2 a 2 x 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 所表示雙曲線的焦點的位置？ 提示 如果
4、 x 2 項的 系數(shù)是正的，那么焦點在 x 軸上，如果 y 2 項 的系數(shù)是正的，那么焦點在 y 軸上對于雙曲線， a 不一定大 于 b ，因此，不能像橢圓那樣比較分母的大小來判定焦點在哪 一個坐標軸上 名師點睛 1 對雙曲線定義的理解 ( 1) 把定常數(shù)記為 2 a ，當 2 a | F 1 F 2 |時，其軌跡不存在 ( 2) 距離的差要加絕對值，否則只為雙曲線的一支若 F 1 、 F 2 表示雙曲線的左、右焦點，且點 P 滿足 | PF 1 | | PF 2 | 2 a ，則點 P 在右支上；若點 P 滿足 | PF 2 | | PF 1 | 2 a ，則點 P 在左支上
5、( 3) 雙曲線定義的表達式是 | PF 1 | | PF 2 | 2 a ( 0< 2 a b 0 ，而雙曲線中 a 、 b 大小則不確定 ( 3) 焦點 F 1 、 F 2 的位置，是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線 標準方程的類型 “ 焦點跟著正項走 ” ，若 x 2 項的系數(shù)為正， 則焦點在 x 軸上；若 y 2 項的系數(shù)為正，那么焦點在 y 軸上 ( 4) 用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程時，如不能確定焦點的位 置，可設(shè)雙曲線的標準方程為 Ax 2 By 2 1( AB 0 ， b 0) 和 y 2 a 2 x 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 兩種
6、情況，分別求解另外 也可以設(shè)雙曲線方程為 mx 2 ny 2 1( mn < 0) 或 x 2 m y 2 n 1( mn 0 ， b 0) 或 x 2 y 2 6 1( 0< 0 ， b 0) ， 由于點 P 3 ， 15 4 和 Q 16 3 ， 5 在雙曲線上， 所以 9 a 2 225 16 b 2 1 ， 256 9 a 2 25 b 2 1 ， 解得 a 2 16 ， b 2 9 ( 舍去 ) 若焦點在 y 軸上，設(shè)雙曲線的方程為 y 2 a 2 x 2 b 2 1( a 0 ， b 0
7、) ， 將 P 、 Q 兩點坐標代入可得 225 16 a 2 9 b 2 1 ， 25 a 2 256 9 b 2 1 ， 解之得 a 2 9 ， b 2 16 ， 所以雙曲線的標準方程為 y 2 9 x 2 16 1. 法二 設(shè)雙曲線方程為 x 2 m y 2 n 1( mn 0 ， b 0 ) 依題設(shè)有 a 2 b 2 6 ， 25 a 2 4 b 2 1 ， 解得 a 2 5 ， b 2 1 ， 所求雙曲線的標準方程為 x 2 5 y 2 1. 法二 焦點在 x 軸上， c 6 ，
8、 設(shè)所求雙曲線方程為 x 2 y 2 6 1( 其中 0< < 6 ) 雙曲線經(jīng)過點 ( 5 ， 2) ， 25 4 6 1 ， 5 或 30( 舍去 ) 所求雙曲線的標準方程是 x 2 5 y 2 1 . 規(guī)律方法 求雙曲線的標準方程與求橢圓的標準方程的方法相 似，可以先根據(jù)其焦點位置設(shè)出標準方程的形式，然后用待定 系數(shù)法求出 a ， b 的值若焦點位置不確定，可按焦點在 x 軸和 y 軸上兩種情況討論求解，此方法思路清晰，但過程復雜，注 意到雙曲線過兩定點，可設(shè)其方程為 mx 2 ny 2 1( mn <0 ) ，通過 解方
9、程組即可確定 m 、 n ，避免了討論，實為一種好方法 【變式 1 】 求適合下列條件的雙曲線的標準方程： ( 1) a 3 ， c 4 ，焦點在 x 軸上； ( 2) 焦點為 (0 ， 6) ， (0 ， 6) ，經(jīng)過點 A ( 5 ， 6) 解 ( 1) 由題設(shè)知， a 3 ， c 4 ， 由 c 2 a 2 b 2 ，得 b 2 c 2 a 2 4 2 3 2 7. 因為雙曲線的焦點在 x 軸上，所以所求雙曲線的標準方程為 x 2 9 x 2 7 1. ( 2) 由已知得 c 6 ，且焦點在 y 軸上因為點 A ( 5 ， 6) 在雙
10、曲 線上，所以點 A 與兩焦點的距離的差的絕對值是常數(shù) 2 a ， 即 2 a | （ 5 0 ） 2 （ 6 6 ） 2 （ 5 0 ） 2 （ 6 6 ） 2 | | 13 5| 8 ，則 a 4 ， b 2 c 2 a 2 6 2 4 2 2 0. 因此，所求雙曲線的標準方程是 y 2 16 x 2 20 1. 題型二 雙曲線定義的應用 【例 2 】 如圖，若 F 1 ， F 2 是雙曲線 x 2 9 y 2 16 1 的兩個焦點 ( 1) 若雙曲線上一點 M 到它 的一個焦點 的距離等于 16 ，求點 M 到另一個焦點的距離； (
11、2) 若 P 是雙曲線左支上的點，且 | PF 1 | | PF 2 | 32 ，試求 F 1 PF 2 的面積 思路探索 ( 1) 由雙曲線的定義，得 || MF 1 | | MF 2 || 2 a ，則點 M 到另一焦點的距離易得； ( 2) 結(jié)合已知條件及余弦定理即可求得面積 解 雙曲線的標準方程為 x 2 9 y 2 16 1 ， 故 a 3 ， b 4 ， c a 2 b 2 5. ( 1) 由雙曲線的定義，得 || MF 1 | | MF 2 || 2 a 6 ，又雙曲線上一點 M 到它的一個焦點的距離等于 16 ，假設(shè)點 M 到另一個焦點的
12、距離等于 x ，則 | 16 x | 6 ，解得 x 10 或 x 22 .故點 M 到另一 個焦點的距離為 6 或 22. (2) 將 || PF 2 | | PF 1 || 2 a 6 ，兩邊平方，得 | PF 1 | 2 | PF 2 | 2 2| PF 1 | | PF 2 | 36 ， | PF 1 | 2 | PF 2 | 2 36 2| PF 1 | | PF 2 | 36 2 32 100. 在 F 1 P F 2 中，由余弦定理，得 c os F 1 PF 2 | PF 1 | 2 | PF 2 | 2 | F 1 F 2
13、| 2 2| PF 1 | | PF 2 | 100 100 2| PF 1 | | PF 2 | 0 ， F 1 PF 2 90 ， S F 1 PF 2 1 2 | PF 1 | | PF 2 | 1 2 32 16. 規(guī)律方法 ( 1) 求雙曲線上一點到某一焦點的距離時，若已知該 點的橫、縱坐標，則根據(jù)兩點間距離公式可求結(jié) 果；若已知該 點到另一焦點的距離，則根據(jù) || PF 1 | | PF 2 || 2 a 求解，注意對所 求結(jié)果進行必要的驗證 ( 負數(shù)應該舍去，且所求距離應該不小于 c a ) ( 2) 在解決雙曲線中與焦點三角形有關(guān)的問題時，
14、首先要注意定 義中的條件 || PF 1 | | PF 2 || 2 a 的應用；其次是要利用余弦定理、 勾股定理或三角形面積公式等知識 進行運算，在運算中要注意 整體思想和一些變形技巧的應用 【變式 2 】 已知雙曲線 x 2 9 y 2 16 1 的左、右焦點分別是 F 1 、 F 2 ， 若雙曲線上一點 P 使得 F 1 PF 2 60 ，求 F 1 PF 2 的面積 解 由 x 2 9 y 2 16 1 ，得 a 3 ， b 4 ， c 5. 由定義和余弦定理，得 | PF 1 | | PF 2 | 6 ， | F 1 F 2 | 2 | PF 1
15、| 2 | PF 2 | 2 2| PF 1 || PF 2 | c os 60 ， 所以 10 2 (| PF 1 | | PF 2 | ) 2 | PF 1 | | PF 2 |， 所以 | PF 1 | | PF 2 | 64 ， S F 1 PF 2 1 2 | PF 1 | | PF 2 | sin F 1 PF 2 1 2 64 3 2 16 3 . 題型三 與雙曲線有關(guān)的軌跡問題 【例 3 】 ( 12 分 ) 如圖，在 ABC 中， 已知 | AB | 4 2 ，且三內(nèi)角 A ， B ， C 滿足 2 sin A sin C 2
16、 si n B ，建立適當 的坐標系，求頂點 C 的軌跡方程 審題指導 建立坐標系 利用正弦定理角化邊 利用定義判斷 C 點軌跡 寫出軌跡方程 剔除不滿足條件的點 規(guī)范解答 以 AB 邊所在的直線為 x 軸， AB 的垂直平分線為 y 軸，建立平面直 角坐標系如圖所示，則 A ( 2 2 ， 0) ， B (2 2 ， 0) (2 分 ) 由正弦定理，得 sin A a 2 R ， sin B b 2 R ， sin C c 2 R ( R 為 ABC 的外接圓半徑 ) (4 分 ) 2sin A s
17、in C 2 sin B ， 2 a c 2 b ，即 b a c 2 ， (6 分 ) 從而有 | CA | | CB | 1 2 | AB | 2 2 2 ) ( 12 分 ) 【題后反思】 求解與雙曲線有關(guān)的點的軌跡問題，常見的方法 有兩種： ( 1) 列出等量關(guān)系，化簡得到方程； ( 2) 尋找?guī)缀侮P(guān)系， 得到雙曲線的定義，從而得出對應的方程 求解雙 曲線的軌跡問題時要特別注意： ( 1) 雙曲線的焦點所在的 坐標軸； ( 2) 檢驗所求的 軌跡對應的是雙曲線的一支還是兩支 【變式 3 】 如圖所示，已知定圓 F 1 ： ( x 5) 2
18、 y 2 1 ，定圓 F 2 ： ( x 5) 2 y 2 4 2 ， 動圓 M 與定圓 F 1 ， F 2 都外切，求動圓圓心 M 的軌跡方程 解 圓 F 1 ： ( x 5) 2 y 2 1 ，圓心 F 1 ( 5 ， 0) ，半徑 r 1 1 ； 圓 F 2 ： ( x 5) 2 y 2 4 2 ，圓心 F 2 (5 ， 0) ，半徑 r 2 4. 設(shè)動圓 M 的半徑為 R ， 則有 | MF 1 | R 1 ， | MF 2 | R 4 ， | MF 2 | | MF 1 | 3 0 ， | m | 3 < 0 解得 3< m <2 ，
19、 m 的取值范圍是 m | 3< m 0 | m | 3 < 0 或 2 m 0 ， 解得 3< m 3. m 的取值范圍是 m | 3< m 3 答案 m | 3< m 3 方程 x 2 m y 2 n 1 既可以表示橢圓又可以表示雙曲 線當方程表示橢圓時， m 、 n 應滿足 m n 0 或 n m 0 ，當 m n 0 時，方程表示焦點在 x 軸上的橢圓；當 n m 0 時，方程表示焦 點在 y 軸上的橢圓當方程表示雙曲線時， m 、 n 應滿足 mn 0 ， n <0 時，方程表示焦點在 x 軸上的雙曲線；當 m 0 時，方程表示焦點在 y 軸上的雙曲線
(新課標)高中數(shù)學《2.2.1雙曲線及其標準方程》課件新人教A版選修1-1.ppt
