《信號與線性系統(tǒng)分析第四版第4章.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《信號與線性系統(tǒng)分析第四版第4章.ppt（141頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、4.0 引言 4.1 信號分解為正交函數(shù) 4.2 傅里葉級數(shù) 4.3 周期信號的頻譜 4.4 非周期信號的頻譜 4.5 傅里葉變換的性質(zhì) 4.6 周期信號的傅里葉變換 4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析 4.8 取樣定理,第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析,4.0 引言,時域分析，以沖激函數(shù)為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列沖激函數(shù)之和；而 yzs(t) = h(t)f(t)。 本章將以正弦信號和虛指數(shù)信號ejt為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指數(shù)信號之和。 用于系統(tǒng)分析的獨立變量是頻率， 故稱為頻域分析 。,頻域分析,從本章開始由時域轉(zhuǎn)入變換域分析
2、，首先討論傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級數(shù)正交函數(shù)展開的基礎上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問題也稱為傅里葉分析（頻域分析）。將信號進行正交分解，即分解為三角函數(shù)或復指數(shù)函數(shù)的組合。 頻域分析將時間變量變換成頻率變量，揭示了信號內(nèi)在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之間的密切關系，從而導出了信號的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制等重要概念。,發(fā)展歷史,1822年，法國數(shù)學家傅里葉(J.Fourier,17681830)在研究熱傳導理論時發(fā)表了“熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉級數(shù)的理論基礎。 泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把這一成果應用到電學中去
3、，得到廣泛應用。 進入20世紀以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進一步應用開辟了廣闊的前景。 在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實際應用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點。 “FFT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。,傅立葉的兩個最主要的貢獻,“周期信號都可表示為成諧波關系的正弦信號的加權和”傅里葉的第一個主要論點 “非周期信號都可用正弦信號的加權積分表示”傅里葉的第二個主要論點,將信號表示為不同頻率正弦分量的線性組合,意義：,1.從信號分析的角度，將信號表示為不同頻率正弦分量的線性組合，為不同信號之間進行比較提供了途徑。,2. 從系統(tǒng)分析
4、角度，已知單頻正弦信號激勵下的響 應，利用迭加特性可求得多個不同頻率正弦信號同 時激勵下的總響應而且每個正弦分量通過系統(tǒng)后， 是衰減還是增強一目了然。,4.1 信號分解為正交函數(shù),矢量正交與正交分解,信號正交與正交函數(shù)集,信號的正交分解,一、矢量正交與正交分解,矢量正交的定義： 指矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)與Vy = ( vy1, vy2, vy3)的內(nèi)積為0。 即,正交矢量集：指由兩兩正交的矢量組成的矢量集合,如三維空間中，以矢量 Vx=（2，0，0）、Vy=（0，2，0）、Vz=（0，0，2) 所組成的集合就是一個正交矢量集，且完備。 矢量A =(2，5，8)表示為 A
5、= Vx+ 2.5 Vy+ 4 Vz,矢量空間正交分解的概念可推廣到信號空間。,二、信號正交與正交函數(shù)集,1. 信號正交：,定義在(t1，t2)區(qū)間的 1(t)和 2(t)滿足,(兩函數(shù)的內(nèi)積為0),則稱 1(t)和 2(t) 在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交。,2. 正交函數(shù)集：,若n個函數(shù) 1(t)， 2(t)，， n(t)構(gòu)成一個函數(shù)集，這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足,則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)的正交函數(shù)集。,3. 完備正交函數(shù)集：,如果在正交函數(shù)集1(t)， 2(t)，， n(t)之外，不存在函數(shù)(t)(0）滿足,則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。,例如： 三角函數(shù)集 1，cos (
6、nt)，sin (nt)，n=1,2, 虛指數(shù)函數(shù)集ejnt，n=0，1，2， 是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2/)上的完備正交函數(shù)集。,( i =1，2，，n),三、信號的正交分解,設有n個函數(shù) 1(t)， 2(t)，， n(t)在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這n個正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為 f(t)C11+ C22++ Cnn,如何選擇各系數(shù)Cj使f(t)與近似函數(shù)之間的誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小。,通常使誤差的方差均值(稱為均方誤差)最小。均方誤差為,為使上式最小,展開上式中的被積函數(shù)，并求導。上式中只有兩項不為0，寫為,即
7、,所以系數(shù),代入，得最小均方誤差（推導過程見教材）,在用正交函數(shù)去近似f(t)時，所取的項數(shù)越多，即n越大，則均方誤差越小。當n時（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時有,上式稱為(Parseval)帕斯瓦爾公式，表明：在區(qū)間(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量之和。,函數(shù)f(t)可分解為無窮多項正交函數(shù)之和,小結(jié),函數(shù)f(t)可分解為無窮多項正交函數(shù)之和,帕斯瓦爾能量公式,4.2 傅里葉級數(shù),傅里葉級數(shù)的三角形式,波形的對稱性與諧波特性,傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式,周期信號的功率Parseval等式,傅里葉級數(shù) 19世紀初葉,法國數(shù)學家吉傅里葉證明
8、:任何正常的周期為T的函數(shù)f(t)都可分解為無限個正弦和余弦函數(shù)的代數(shù)和。即 通常稱（46）式為傅里葉級數(shù)。如果已知f(t),則可通過式(47)、(48)和(49)分別求出an,bn,c的值。,(46),(47),(48),(49),根據(jù)三角函數(shù)的運算法則,式(46)還可寫成式(410)。,(410),(411),(413),(412),典型的應用領域,1.線性系統(tǒng):,,,,2.天線:方向圖=發(fā)射電流的付立葉變換,3.光學：,4.隨機過程：,5.概率論：,6.量子物理：,7.邊值問題：,,一、傅里葉級數(shù)的三角形式,1. 三角函數(shù)集,在一個周期內(nèi)是一個完備的正交函數(shù)集。,由積分可知,1，cos
9、(nt)，sin (nt)，n=1，2 ，,2級數(shù)形式,設周期信號f(t)，其周期為T，角頻率=2/T，當滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時，它可分解為如下三角級數(shù) 稱為f(t)的傅里葉級數(shù),系數(shù)an , bn稱為傅里葉系數(shù),可見， an 是n的偶函數(shù)， bn是n的奇函數(shù)。,狄里赫利(Dirichlet)條件,條件3:在一周期內(nèi)，信號絕對可積。,條件2：在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應是有限個。,條件1：在一周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的數(shù)目應是有限個。,例2,例1,例3,例1,不滿足條件1的例子如下圖所示，這個信號的周期為8，它是這樣組成的：后一個階梯的高度和寬度是前一個階梯的
10、一半?？梢娫谝粋€周期內(nèi)它的面積不會超過8，但不連續(xù)點的數(shù)目是無窮多個。,例2,不滿足條件2的一個函數(shù)是,對此函數(shù)，其周期為1，有,例3,周期信號 ，周期為1，不滿足此條件。,式中，A0 = a0,上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。 A0/2為直流分量 A1cos (t+1)稱為基波或一次諧波，其角頻率與原周期信號相同 A2cos (2t+2)稱為二次諧波，其頻率是基波的2倍 一般而言，Ancos (nt+n)稱為n次諧波。,可見：An是n的偶函數(shù)， n是n的奇函數(shù)。 an = Ancos n， bn = Ansin n，n=1,2,,將上式同頻率項合并，可寫為其他形式,求周
11、期鋸齒波的三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式。,周期鋸齒波的傅里葉級數(shù)展開式為,直流,基波,二次諧波,,解：,二、波形的對稱性與諧波特性,1 .f(t)為偶函數(shù)對稱縱坐標,bn =0，展開為余弦級數(shù)。,2 .f(t)為奇函數(shù)對稱于原點,an =0，展開為正弦級數(shù)。,例,3 .f(t)為奇諧函數(shù)f(t) = f(tT/2),此時 ，其傅里葉級數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即 a0=a2==b2=b4==0,4 f(t)為偶諧函數(shù)f(t) = f(tT/2),此時 ，其傅里葉級數(shù)中只含偶次諧波分量，而不含奇次諧波分量即 a1=a3==b1=b3==0,三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運
12、算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。,系數(shù)Fn 稱為復傅里葉系數(shù),利用 cos x=(ejx + ejx)/2可從三角形式推出：,,推導,虛指數(shù)函數(shù)集ejnt，n=0，1，2，,三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式,指數(shù)形式傅氏級數(shù)推導,上式中第三項的n用n代換，A n=An， n= n， 則上式寫為,令A0=A0ej0ej0 t ，0=0,所以,,令復數(shù),n = 0, 1, 2，,表明：任意周期信號f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號之和， F0 = A0/2為直流分量。,傅里葉系數(shù)之間關系,n的偶函數(shù)：an ， An ， |Fn | n的奇函數(shù): bn ，n,四、周期信號的功率Parse
13、val等式,直流和n次諧波分量在1電阻上消耗的平均功率之和。 n0時， |Fn| = An/2。,周期信號一般是功率信號，其平均功率為,這是Parseval定理在傅里葉級數(shù)情況下的具體體現(xiàn)。,證明,周期信號功率式證明,對于三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù),平均功率,對于指數(shù)形式的傅里葉級數(shù),總平均功率=直流、各次諧波的平均功率之和,信號的傅里葉級數(shù)正交分解 由于傅里葉級數(shù)具有正交性及完備性,故任何周期信號均可正交分解成傅里葉級數(shù)。這種分解,在對信號進行分析時將會表現(xiàn)出很大的優(yōu)勢。 例41 試將圖4.2所示的方波信號f(t)展開為傅里葉級數(shù)。,圖4.2 方波信號的傅里葉級數(shù),解 我們將信號按式(46)
14、分解成傅里葉級數(shù),并按式(4 7)、(48)、(49)分別計算an,bn及c。,4.3 周期信號的頻譜,信號頻譜的概念,周期信號頻譜的特點,頻帶寬度,一、信號頻譜的概念,從廣義上說，信號的某種特征量隨信號頻率變化的關系，稱為信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。 周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關系，即 將An和n的關系分別畫在以為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因為n0，所以稱這種頻譜為單邊譜。 也可畫|Fn|和n的關系，稱為雙邊譜。若Fn為實數(shù)，也可直接畫Fn 。,圖示,頻譜圖示（單邊）,幅度頻譜,相位頻譜,離散譜，譜線,
15、是f(t)的(/4)/(/12 )=3次諧波分量；,是f(t)的(/3)/(/12 )=4次諧波分量；,畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖,頻譜概念演示,頻譜概念演示,既是奇函數(shù)又是奇諧函數(shù) 只含奇次諧波,且為正弦波.,例1,例2,對于雙邊頻譜，負頻率只有數(shù)學意義，而無物理意義。為什么引入負頻率？ f(t)是實函數(shù)，分解成虛指數(shù)，必須有共軛對ejnt和ejnt，才能保證f(t)的實函數(shù)的性質(zhì)不變。,,,單邊頻譜圖例1,例：周期信號 f(t) = 試求該周期信號的基波周期T，基波角頻率，畫出它的單邊頻譜圖，并求f(t) 的平均功率P。,解： 首先應用三角公式改寫f(t)的表達式，即
16、,顯然1是該信號的直流分量。,的周期T1 = 8,的周期T2 = 6,所以f(t)的周期T = 24，基波角頻率=2/T = /12,例2,,請畫出其幅度譜和相位譜。,解：化為余弦形式,單邊頻譜圖,三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的譜系數(shù),雙邊頻譜圖,整理,二、周期信號頻譜的特點,舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為的周期矩形脈沖，其周期為T，如圖所示。求頻譜。,令Sa(x)=sin x/x (取樣函數(shù)）,, n = 0 ,1，2，,(1)包絡線形狀：取樣函數(shù),(3)離散譜（諧波性）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,周期信號頻譜的特點,譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關系 T一定，變小，此時（譜線間隔）不變。兩零
17、點之間的譜線數(shù)目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。 一定，T增大，間隔減小，頻譜變密。幅度減小。 如果周期T無限增長（這時就成為非周期信號），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜，各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。,(1)周期信號的頻譜具有諧波(離散)性，譜線位置是基頻的整數(shù)倍； (2)一般具有收斂性，總趨勢減小。,三、頻帶寬度,1.問題提出,,第一個零點集中了信號絕大部分能量（平均功率） 由頻譜的收斂性可知，信號的功率集中在低頻段。,周期矩形脈沖信號的功率,而總功率,二者比值,2頻帶寬度,在滿足一定失真條件下，信號可以用某段頻率范圍內(nèi)的信號來表示，
18、此頻率范圍稱為頻帶寬度。,對于一般周期信號，將幅度下降為0.1|Fn|max 的頻率區(qū)間定義為頻帶寬度。,,語音信號 頻率大約為 3003 400 Hz，,音樂信號 5015 000 Hz，,擴音器與揚聲器 有效帶寬約為 1520 000 Hz。,3系統(tǒng)的通頻帶信號的帶寬，才能不失真,4.4 非周期信號的頻譜,傅里葉變換,常用函數(shù)的傅里葉變換,一、傅里葉變換,：周期信號,非周期信號,,連續(xù)譜，幅度無限??；,離散譜,,引出,,0,再用Fn表示頻譜就不合適了，雖然各頻譜幅度無限小，但相對大小仍有區(qū)別，引入頻譜密度函數(shù)。令,,0,(單位頻率上的頻譜）,稱為頻譜密度函數(shù)。,考慮到：T，無窮小，記為d；
19、 n （由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而,同時， ,于是，,傅里葉變換式“-”,傅里葉反變換式,F(j)稱為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜。 f(t)稱為F(j)的傅里葉反變換或原函數(shù)。,由傅里葉級數(shù),也可簡記為,f(t) F(j),F(j)一般是復函數(shù)，寫為 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX(),說明： (1)前面推導并未遵循嚴格的數(shù)學步驟?？勺C明，函數(shù)f(t)傅里葉變換存在的充分條件:,(2)用下列關系還可方便計算一些積分,或F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j),二、常用函數(shù)的傅里葉變換,1.矩形脈沖 (門函數(shù)）,記為g(t)
20、,頻譜圖,幅度頻譜,相位頻譜,頻寬：,2單邊指數(shù)函數(shù),f(t) = e t(t)， 0,頻譜圖,幅度頻譜：,相位頻譜：,3雙邊指數(shù)函數(shù),f(t) = e|t| ， 0,4沖激函數(shù)(t)、(t),5直流信號1,有一些函數(shù)不滿足絕對可積這一充分條件，如1，(t) 等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。 可構(gòu)造一函數(shù)序列f (t)逼近f (t) ，即,而f(t)滿足絕對可積條件，并且f(t)的傅里葉變換所形成的序列F(j)是極限收斂的。則可定義f(t)的傅里葉變換F (j)為,這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。,討論：,推導 1?,構(gòu)造 f(t)=e-t ， 0,所以,又,因此，
21、 12(),求F 1另一種方法,將(t)1代入反變換定義式，有,將-t，t-，有,再根據(jù)傅里葉變換定義式，得,6. 符號函數(shù),不滿足絕對可積條件,頻譜圖,7. 階躍函數(shù),歸納記憶：,1. F 變換對,2. 常用函數(shù) F 變換對：,,(t),(t),et (t),g(t),sgn (t),e|t|,,,,,,,1,1,,2(),4.5 傅里葉變換的性質(zhì),線性,奇偶性,對稱性,尺度變換,時移特性,頻移特性,卷積定理,時域微分和積分,頻域微分和積分,相關定理,一、線性性質(zhì)(Linear Property),若 f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j) 則,a f1(t) + b f2(t)
22、 a F1(j) + b F2(j) ,證明: F a f1(t) + b f2(t),= a F1(j) + b F2(j) ,舉例,線性性質(zhì)舉例,例: 圖示f(t)的頻譜F(j) = ?,解: f (t) = f1(t) g2(t),f1(t) = 1 2(),g2(t) 2Sa(),所以 F(j) = 2() - 2Sa(),=,-,二、奇偶虛實性(Parity),若 f (t) 是實函數(shù)，且,f (t) F(j)=|F(j)|ej() = R()+jX(),則,R()= R()， X()= X()， |F(j)|= |F(j)|， ()= ()， f (t) F(j) = F *(j)
23、 若 f (t)= f (t) 則 X()=0， F(j) = R() 若 f (t)= f (t) 則 R()=0， F(j) = jX(),證明,奇偶虛實性證明,設f(t)是實函數(shù)（為虛函數(shù)或復函數(shù)情況相似，略）,顯然,三、對稱性(Symmetrical Property),若 f (t) F(j) 則,證明:,（1）,式 (1) t ，t 則,（2）,式 (2) 則, F(j t) 2f (),F( jt ) 2f (),舉例,練習,對稱性舉例,例:, F(j) = ?,解:,令 =1,,,四、尺度變換性質(zhì)(Scaling Transform Property),若 f (t) F(
24、j) 則,其中a為非零的實常數(shù)。,證明,特例 a = 1時,,f ( t ) F( j),舉例,意義,尺度變換舉例1,例1:,f(t) = F(j) = ?,解:,利用對稱性,有,尺度變換意義,(1)0
25、 t ) ,故,f (a t ) ,五、時移特性(Timeshifting Property),若 f (t) F(j) 則,其中t0為實常數(shù)。,證明: F f (t t0 ) ,例 1,例 2,例 3,時移特性舉例,例: 圖示f(t)的頻譜 F(j) = ?,解: f1(t) = g6(t 5) , f2(t) = g2(t 5),g6(t 5) ,g2(t 5) ,所以 F(j) =,,+,時移尺度舉例,例 2 :,已知 f (t)F( j), 求 f (at b) ?,解: f (t b),e -jb F( j),f (at b) ,或,f (at) ,f (at b) =,時移舉
26、例3,求圖(a)所示三脈沖信號的頻譜。,解：,,,因為,脈沖個數(shù)增多，頻譜 包絡不變，帶寬不變。,六、頻移特性(Frequency Shifting Property),若 f (t) F(j) 則,證明:,其中0為實常數(shù)。,F e j0t f(t),= F j(0),例 1：,f(t) = ej3t F(j) = ?,解: 1 2() ej3t 1 2(-3),,例 2,頻移（調(diào)制）特性舉例,已知矩形調(diào)幅信號,,解：,因為,,七、卷積性質(zhì)(Convolution Property),時域卷積：,若 f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j) 則 f1(t)f2(t) F1(j)F2(j
27、),頻域卷積：,若 f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j),則 f1(t) f2(t) F1(j)F2(j),證明,舉例,時域卷積定理的證明,F f1(t)f2(t),所以,交換積分次序,,,利用時移特性,f1(t)f2(t) F1(j)F2(j),卷積定理舉例,例:,解:,由對稱性得,八、時域的微分和積分(Differentiation and Integration in time domain),若 f (t) F(j) 則,證明:,f(n)(t) = (n)(t)f(t) (j)n F(j) f(-1)(t)= (t)f(t) ,例1,例 2,已知f (t) F1(j)
28、f (t) F (j)=?,時域微分特性舉例1,f(t)= 1/t2 ?,例1:,解:,時域微分積分特性舉例2,例2:,求 f (t) F (j),解:,f (t) = (t+2) 2 (t) + (t 2),F2(j)= F f (t) = e j2 2 + e j2= 2cos (2) 2,F (j) =,注意:,d(t)/dt = (t) 1,(t) 1/(j),結(jié)論:,若 f (n)(t) Fn(j)，and f(-)+ f() = 0 則 f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n,九、頻域的微分和積分(Differentiation and
29、Integration in frequency domain),若 f (t) F(j) 則,(jt)n f (t) F(n)(j),其中,例 1,例 2,頻域微分積分特性舉例1,例 1:,f (t) = t(t) F (j)=?,解:,注意: t(t) =(t)(t) ,錯誤! 因為 ()() 和 (1/j)() 無定義。,頻域微分積分特性例2,例2：,求,解:,其中，a為非零常數(shù)。,4.6 周期信號的傅里葉變換,周期信號：f(t)傅里葉級數(shù)Fn 離散譜,周期信號的傅里葉變換如何求？與傅里葉級數(shù)的關系？,非周期信號：f(t)傅里葉變換F(j) 連續(xù)譜,正、余弦的傅里葉變換,一般周期信號的傅
30、里葉變換,傅里葉系數(shù)與傅里葉變換,一、正、余弦的傅里葉變換,已知 12() 由頻移特性得 e j 0 t 2(0 ) e j 0 t 2(+0 ),同理,頻譜圖,二、一般周期信號的傅里葉變換,(1),說明：,(1) 周期信號fT(t)的傅氏變換由沖激序列組成，沖激函數(shù)僅存在于諧波頻率處；,(2) 譜線的幅度不是有限值，因為F(j)代表頻譜密度。,例1,例2,頻域分析舉例1,例1：T(t)?,解：,T(t),周期信號傅氏變換舉例2,例2：周期信號如圖，求其傅里葉變換。,解：周期信號f(t)也可看作一時限非周期信號f0(t)的周期拓展。即,f(t) = T(t)
31、f0(t),F(j) = () F0(j),F(j),本題 f0(t) = g2(t),三、傅里葉系數(shù)與傅里葉變換關系,推導：第一個周期單脈沖f0(t)的傅氏變換F0(j)與周期信號fT(t)的傅氏系數(shù)Fn的關系：,比較(1)(2),4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析,傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。,對周期信號：,對非周期信號：,其基本信號為 ej t,基本信號e j t作用于LTI系統(tǒng)的響應,一般信號f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應,頻率響應H(j)的求法,無失真?zhèn)鬏斉c濾波,一、基本信號e j t作用于LTI系統(tǒng)的響應,設LTI系統(tǒng)的沖激響應為h(t)，當激勵是角頻率
32、的基本信號ej t時，其響應,而上式積分 正好是h(t)的傅里葉變換，記為H(j )，稱為系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)。,y(t) = H(j ) ej t,H(j )反映了響應y(t)的幅度和相位隨頻率變化情況。,y(t) = h(t)ej t,二、一般信號f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應,ej t,,H(j ) ej t,F(j ) ej t d ,,F(j )H(j ) ej t d ,齊次性,,可加性,,f(t),,y(t) =F 1F(j )H(j ) ,,Y(j ) = F(j )H(j ),頻域分析法步驟：,頻率響應H(j)可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應的傅里葉變換Y(j)與激勵f(t)的
33、傅里葉變換F(j)之比，即,H(j)稱為幅頻特性（或幅頻響應）；()稱為相頻特性（或相頻響應）。H(j)是的偶函數(shù)，()是的奇函數(shù)。,傅里葉變換法,對周期信號還可用傅里葉級數(shù)法,周期信號,若,則可推導出,例,頻域分析例,例：某LTI系統(tǒng)的H(j)和()如圖， 若f(t)= 2 + 4cos (5t) + 4cos (10t)，求系統(tǒng)的響應。,解法一：用傅里葉變換,F(j) = 4() + 4(5) + (+5) + 4(10) + (+10),Y(j) = F(j)H(j) = 4() H(0) + 4(5) H(j5) + (+5) H(-j5) + 4(10) H(j10) + (+10)
34、 H(-j10) ,H(j)=H(j) ej(),= 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) ,y(t) = F 1Y(j) = 2 +2sin (5t),解法二：用三角傅里葉級數(shù),f(t)的基波角頻率=5 rad/s,f(t)= 2 + 4cos (t) + 4cos (2t),H(0) =1， H(j) = 0.5ej0.5， H(j2) = 0,y(t) = 2 + 40.5cos (t 0.5) = 2 + 2sin (5t),三、頻率響應H(j)的求法,1. H(j) = F h(t),H(j) = Y(j)/F(j) （1）由微分方程求，對微分方程兩邊取傅里葉變換
35、。 （2）由電路直接求出。,例2,例1,頻率響應舉例1,例1：某系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 2y(t) = f(t) 求f(t) = et(t)時的響應y(t)。,解：微分方程兩邊取傅里葉變換,jY(j) + 2Y(j) = F(j),f(t) = et(t),Y(j) = H(j)F(j),y(t) = (et e2t )(t),頻率響應舉例2,例2：如圖電路，R=1，C=1F，以uC(t)為輸出，求其h(t)。 若uS(t)=2cos t，求uC(t)=？,解：畫電路頻域模型,h(t)= et (t),由于,四、無失真?zhèn)鬏斉c濾波,系統(tǒng)對于信號的作用大體可分為兩類： 信
36、號的傳輸 濾波 傳輸要求信號盡量不失真，而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。,1. 無失真?zhèn)鬏?（1）定義：信號無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號與輸入信號相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時間的先后不同，而沒有波形上的變化。即 輸入信號為f(t)，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽?，輸出信號應? y(t) = K f(ttd) 其頻譜關系為 Y(j)=Ke jtdF(j),(2) 無失真?zhèn)鬏敆l件：,系統(tǒng)要實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?，對系統(tǒng)h(t)，H(j)的要求是： (a) 對h(t)的要求： h(t)=K(t td) (b) 對H(j)的要求： H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd 即 H(j)
37、=K ,()= td,上述是信號無失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件。當傳輸有限帶寬的信號時，只要在信號占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。,例,無失真舉例,例：系統(tǒng)的幅頻特性|H(j)|和相頻特性如圖(a)、(b)所示，則下列信號通過該系統(tǒng)時，不產(chǎn)生失真的是,(1) f(t) = cos t + cos 8t (2) f(t) = sin 2t + sin 4t (3) f(t) = sin 2t sin 4t (4) f(t) = cos2 4t,相位特性為什么與頻率成正比關系？,只有相位與頻率成正比，方能保證各諧波有相同的延遲時間，在延遲后各次諧波疊加方能不失真。,延遲時間td 是相位
38、特性的斜率：,群時延 或稱群延時,在滿足信號傳輸不產(chǎn)生相位失真的情況下，系統(tǒng)的群時延特性應為常數(shù)。,例,失真的有關概念,線性系統(tǒng)引起的信號失真由兩方面的因素造成 幅度失真： 各頻率分量幅度產(chǎn)生不同程度的衰減； 相位失真： 各頻率分量產(chǎn)生的相移不與頻率成正比，使響應的各頻率分量在時間軸上的相對位置產(chǎn)生變化。,線性系統(tǒng)的失真：幅度、相位變化，不產(chǎn)生新的頻率成分； 非線性系統(tǒng)產(chǎn)生非線性失真：產(chǎn)生新的頻率成分。,對系統(tǒng)的不同用途有不同的要求： 無失真?zhèn)鬏?；利用失真進行波形變換。,2. 理想低通濾波器,具有如圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。c稱為截止角頻率。 理想低通濾波器的頻率響應可寫
39、為：, 的低頻段內(nèi)，傳輸信號無失真 。,理想低通的沖激響應,h(t)= F -1g2C()e-j td =,可見，它實際上是不可實現(xiàn)的非因果系統(tǒng)。,理想低通的階躍響應,g(t)=h(t)(t)=,經(jīng)推導，可得,稱為正弦積分,階躍響應波形,說明,（1）上升時間：輸出由最小值到最大值所經(jīng)歷的時間， ：,（2）有明顯失真，只要c<，則必有振蕩，其過沖比穩(wěn)態(tài)值高約9%。這一由頻率截斷效應引起的振蕩現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。,gmax=0.5+Si()/=1.0895,一種可實現(xiàn)的低通,理想低通濾波器在物理上是不可實現(xiàn)的，近似理想低通濾波器的實例,3. 物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的條件,就時域特性而言，一個物理可實
40、現(xiàn)的系統(tǒng)，其沖激響應在t<0時必須為0，即 h(t)=0 ,t<0 即 響應不應在激勵作用之前出現(xiàn)。 就頻域特性來說，佩利（Paley)和維納（Wiener)證明了物理可實現(xiàn)的幅頻特性必須滿足,并且,稱為佩利維納準則。（必要條件） 從該準則可看出，對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，其幅頻特性可在某些孤立頻率點上為0，但不能在某個有限頻帶內(nèi)為0。,4.8 取樣定理,取樣定理論述了在一定條件下，一個連續(xù)信號完全可以用離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)信號的全部信息，利用這些樣本值可以恢復原信號?？梢哉f，取樣定理在連續(xù)信號與離散信號之間架起了一座橋梁。為其互為轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。,信號的取樣,取樣定理,
41、一、信號的取樣,所謂“取樣”就是利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)信號f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過程。 這樣得到的離散信號稱為取樣信號fs(t) 。 它是對信號進行數(shù)字處理的第一個環(huán)節(jié)。,脈沖序列,數(shù)字處理過程：,需要解決的問題：,,Fs(j)與F(j)的關系,由fs(t)能否恢復f(t)?,1理想取樣（周期單位沖激取樣）,f(t)F(j) (m<
42、j)，即從fs(t)中恢復原信號f(t); 否則將發(fā)生混疊。,二、時域取樣定理,一個頻譜在區(qū)間（-m，m)以外為0的帶限信號f(t)，可唯一地由其在均勻間隔Ts Ts1/(2fm) 上的樣點值f(kTs)確定。,恢復,由取樣信號恢復原信號,理想低通濾波器,濾除高頻成分，即可恢復原信號,從時域運算解釋,對c 要求: m cs-m,時域運算,以理想抽樣為例,理想低通濾波器：,,,,說明,連續(xù)信號f(t)可以展開成Sa函數(shù)的無窮級數(shù)，級數(shù)的系數(shù)等于取樣值f(nTs)。 也可以說在取樣信號fs(t)的每個取樣值上畫一個峰值為f(nTs) 的Sa函數(shù)波形，由此合成的信號就是fs(t) 。,,奈奎斯特(Nyquist) 頻率和間隔,注意：為恢復原信號，必須滿足兩個條件： （1）f(t)必須是帶限信號； （2）取樣頻率不能太低，必須fs2fm， 或者說，取樣間隔不能太大，必須Ts1/(2fm); 否則將發(fā)生混疊。,通常把最低允許的取樣頻率fs=2fm稱為奈奎斯特（Nyquist)頻率； 把最大允許的取樣間隔Ts=1/(2fm)稱為奈奎斯特間隔。,頻域取樣定理,根據(jù)時域與頻域的對稱性，可推出頻域取樣定理: 一個在時域區(qū)間（-tm，tm)以外為0的時限信號f(t)的頻譜函數(shù)F(j)，可唯一地由其在均勻頻率間隔fs fs1/(2tm)上的樣值點F(jns)確定。,
信號與線性系統(tǒng)分析第四版第4章.ppt
