線性代數(shù)齊次線性方程組

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1、第二節(jié) 齊次線性方程組,一 齊次線性方程組解的性質,三 應用舉例,二 基礎解系及其求法,、解向量,設有齊次線性方程組,若記,（1）,一、齊次線性方程組解的性質,則上述方程組（1）可寫成向量方程,若,稱為方程組（1）的解向量，,它也就是向量方程的解,、齊次線性方程組解的性質,（1）若 為 的解，則,也是 的解.,（2）若 為 的解， 為實數(shù)，則,也是 的解,易知，方程組的全體解向量構成一個向量空間，,則,使得方程 成立，,稱其為齊次線性方程組的解空間,、基礎解系的定義,二、基礎解系及其求法,基礎解系，則方程組的通解可表示為：,方程組的解空間N(A)中，它的某一個部分組,線性相關.

2、,線性無關；,則稱為齊次線性方程組的一組基礎解系.,滿足：,如果為齊次線性方程組的,其中為任意實數(shù).,注：基礎解系為解空間的一組基,、線性方程組基礎解系的求法,設齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為r，,量線性無關,因此，的前r個行向,又任意r+個行向量線性相關，所以齊,即（）中的前r個方程與（）同解.,（）,并不妨,設的左上角r階子式,次線性方程組的m-r個方程多余.,所以對系數(shù)矩陣進行行初等變換，將其化為行標準形,所以,即,（）,于是，（）的全部解就可以寫成,根據(jù)向量的運算法則，（）可以整理成為：,令（）為,（）,（）,則（）就為方程組的通解.,如果,為齊次線性方程組（）的一個,基礎解系.,、證

3、明,線性無關.,由于n-r個n-r維列向量,線性無關，,所以n-r個n維向量,、證明解空間的任一解都可由,線性表示.,設,為某一解向量，,再構造,的一個線性組合：,亦線性無關.,下證,是線性方程組的一組基礎解系.,由于 是 的解，故也是的解.,易知：方程組的前r個未知量可由后nr個未知量,唯一確定.,所以 是齊次線性方程組解空間的一個基.,說明,、解空間的基不是唯一的,、解空間的基又稱為方程組的基礎解系,、任n-r個線性無關的解向量構成基礎解系,定理,n元齊次線性方程組 的全體解所構成的,集合N(A)是一個向量空間，當系數(shù)矩陣的秩為r時，解空,間N(A)的維數(shù)為n-r.,當 時，線性方

4、程組必有含n-r個向量的基,解系（此時解空間只含有零向量，稱為維向量空間）,當時，線性方程組只有零解，故沒有基礎,礎解系，此時線性方程組的解可以表示為,其中為任意實數(shù)，解空間可以表示為,解,把系數(shù)矩陣用初等行變換變成為,,例1求下列齊次線性方程組的基礎解系與通解.,三、應用舉例,所以,基礎解系為,所以線性方程組的通解為,例2齊次線性方程組,只有零解，,則滿足（）.,,例3設n階矩陣的各行元素之和為0，且秩為,的通解為_______________.,n-1，則線性方程組,分析：,則,的基礎解系只有一個向量.,設,的第個方程為,又矩陣的各行元素之和為0，即,為它的一個解向量.,的通解為,例4設三階矩陣，且的每一列均為方程,的解，,（）求.,（）證明,解（）因為，且的每一列均為方程的解，,所以方程組有非零的解，即方程組的系數(shù)行列式等于零.,（）當時，方程組的矩陣為,所以,則線性方程組基礎解系所含向量的個數(shù)為321個，,例5設A為mn的矩陣，證明：r(A)=r(ATA),分析：A為mn的矩陣，則ATA為nn的矩陣,r(A)=r(ATA)dimN(A)=dimN(ATA),事實上，AX=0與ATAX=0同解,I. 若AX0=0，則ATAX0=0,II. 若ATAX1=0 ，則X1TATAX1=0，即,(AX1, AX1)=0 AX1=0,