實驗3一元函數(shù)圖形的繪制

實驗3 一元函數(shù)圖形的繪制,內(nèi)容提要 現(xiàn)在計算機數(shù)學都具有良好的作圖功能,對于一元顯式函數(shù),只要輸入函數(shù)的表達式,并鍵入簡單的作圖命令,計算機的顯示屏上就會出現(xiàn)所求作函數(shù)的圖形.不管函數(shù)的表達式多么復雜，其圖形都能被迅速的顯示出來。與傳統(tǒng)的手工描點作圖法和分析作圖法比較，計算機的作圖的優(yōu)越性是快速、準確。因此，讀者應學會如何使用諸如Mathematica這樣的軟件來制作函數(shù)圖形。,一元函數(shù)圖形的繪制,但是應該指出，如果脫離了微分的知識而單純的依賴計算機作圖，也往往不能獲得理想的函數(shù)圖形。這是因為在一定的條件下，由于計算機的顯示的局限性，它描繪出來的圖形往往會“丟失”一些重要特征，出現(xiàn)“失真”的現(xiàn)象。在實驗中，我們將結(jié)合具體的函數(shù)（例2）來說明這一問題以及相應的處理方法，從中我們可以看到微積分知識與計算機的相互作用。,一元函數(shù)圖形的繪制,實驗步驟 我們采用軟件，先鍵入函數(shù)y=f（x）的具體表達式，然后利用作圖命令，并選定自變量x與因變量y的取值范圍（一般可由系統(tǒng)默認），計算機執(zhí)行后就在顯示屏上出現(xiàn)函數(shù)y=f（x）的圖形。 例1繪出函數(shù)y= 的圖形，并由此觀察的最大值的近似值。 解（1）定義函數(shù)，先鍵入:,一元函數(shù)圖形的繪制,并運行，不妨先在區(qū)間0，10上作出f（x）= 的圖形并取f（x）縱坐標的顯示范圍為0，2，為方便觀察，我們加上網(wǎng)格線，鍵入: 運行后，就得到f(x)的圖形，易見當x4后圖形呈下降趨勢，并在2,4間內(nèi)有f(x)一極大值(即為f(x)的最大值)，該區(qū)間內(nèi)有函數(shù)值在1.25與1.5之間，且最小值在該區(qū)間端點取到即為minf(2),f(4),通過鍵入:,一元函數(shù)圖形的繪制,并運行可得1.414,即函數(shù)f(x)最大值在1.414與1.5之間. (2)為了較精確地觀察出f(x)的最大值,在區(qū)間2,4上作出的圖形并取縱坐標顯示范圍為1.414,1.5,鍵入:,一元函數(shù)圖形的繪制,運行后,從圖12中可見的最小值約為1.44與1.46之間,且明顯靠近1.44,因此我們?nèi)?.44.,一元函數(shù)圖形的繪制,例2 繪出函數(shù)f(x)=2x6+3x5+3x3-2x2的圖形. 解(1)我們不妨先f(x)的自變量顯示范圍設為-5,5,這時Mathematica將自動選擇相應y的顯示范圍約為-100,2100(如圖13)(注意在不同的軟件下y的顯示范圍將是不同的,既使同在Mathematica下,有時也會的不同的顯示范圍),這時圖中的曲線差不多是y=f(x)圖形的”全貌”,它與y=f(x)的圖形很相似.我們看到大約在-2<x<1.2的范圍內(nèi)的圖形近乎是”直線段”,但這并不是曲線y=f(x)的真實寫照.,一元函數(shù)圖形的繪制,(2)現(xiàn)在我們將自變量的顯示范圍調(diào)整為，,相應的的自動選擇范圍約，為,就獲得如圖所示的（）的圖形,看出大約在.出函數(shù)有一個極小值(也就示函數(shù)的最小值)并且函數(shù)在（，）單調(diào)減少,在內(nèi)（，）單調(diào)增加,同時我們發(fā)現(xiàn)在x=與的附近，曲線的凸向似乎有所改變總之，在圖顯示的直線段內(nèi)被埋沒了許多重要的信息，然而，從圖中獲得的這些印象是否屬實呢？,一元函數(shù)圖形的繪制,為了證實這種印象，我們求出 （）542 （）432 1分別在，及作出（）的圖形，借助圖形（圖（）（），并通過標尺可看到當，時，（）,一元函數(shù)圖形的繪制,也就證實f（x）了在（，.）內(nèi)單調(diào)減少的；同時糾正了（）在（.，）內(nèi)單調(diào)減少的錯誤印象，實際情況是（）在（，.）幾（，.）內(nèi)單調(diào)減少，在（.，）及（.,）內(nèi)單調(diào)增加。 2再在，作出（）的圖形借助圖形（圖），我們發(fā)現(xiàn)，當.及=.,一元函數(shù)圖形的繪制,這就證實了圖形在=.及=.處各有一個拐點，并且在（，.）及（.，）內(nèi)是向下凸的，在（.,.）是向上凸的,一元函數(shù)圖形的繪制,（）我們利用了函數(shù)微分的有關知識找出了這些關鍵點，它們是極值點=.、=, =.及拐點對應得橫坐標=.,=.，又為了清楚得反映函數(shù)圖形在這些點附近的走勢，設定自變量顯示范圍為.，.，這時顯示的圖形才反映了函數(shù)f（）在這部分2曲線的真實面貌。如有必要可將圖13、圖14與圖17打印出來，成為由全貌至局部的一組圖形。 由此可見，通過人與機器的相互作用，在微分理論的指導下運用計算機研究函數(shù)圖形，才能作到真正便捷與準確。,