實(shí)驗(yàn)3一元函數(shù)圖形的繪制

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1、實(shí)驗(yàn)3 一元函數(shù)圖形的繪制,內(nèi)容提要 現(xiàn)在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)都具有良好的作圖功能,對(duì)于一元顯式函數(shù),只要輸入函數(shù)的表達(dá)式,并鍵入簡(jiǎn)單的作圖命令,計(jì)算機(jī)的顯示屏上就會(huì)出現(xiàn)所求作函數(shù)的圖形.不管函數(shù)的表達(dá)式多么復(fù)雜，其圖形都能被迅速的顯示出來(lái)。與傳統(tǒng)的手工描點(diǎn)作圖法和分析作圖法比較，計(jì)算機(jī)的作圖的優(yōu)越性是快速、準(zhǔn)確。因此，讀者應(yīng)學(xué)會(huì)如何使用諸如Mathematica這樣的軟件來(lái)制作函數(shù)圖形。,一元函數(shù)圖形的繪制,但是應(yīng)該指出，如果脫離了微分的知識(shí)而單純的依賴(lài)計(jì)算機(jī)作圖，也往往不能獲得理想的函數(shù)圖形。這是因?yàn)樵谝欢ǖ臈l件下，由于計(jì)算機(jī)的顯示的局限性，它描繪出來(lái)的圖形往往會(huì)“丟失”一些重要特征，出現(xiàn)“失真”的

2、現(xiàn)象。在實(shí)驗(yàn)中，我們將結(jié)合具體的函數(shù)（例2）來(lái)說(shuō)明這一問(wèn)題以及相應(yīng)的處理方法，從中我們可以看到微積分知識(shí)與計(jì)算機(jī)的相互作用。,一元函數(shù)圖形的繪制,實(shí)驗(yàn)步驟 我們采用軟件，先鍵入函數(shù)y=f（x）的具體表達(dá)式，然后利用作圖命令，并選定自變量x與因變量y的取值范圍（一般可由系統(tǒng)默認(rèn)），計(jì)算機(jī)執(zhí)行后就在顯示屏上出現(xiàn)函數(shù)y=f（x）的圖形。 例1繪出函數(shù)y= 的圖形，并由此觀察的最大值的近似值。 解（1）定義函數(shù)，先鍵入:,,一元函數(shù)圖形的繪制,并運(yùn)行，不妨先在區(qū)間0，10上作出f（x）= 的圖形并取f（x）縱坐標(biāo)的顯示范圍為0，2，為方便觀察，我們加上網(wǎng)格線(xiàn)，鍵入: 運(yùn)行后，就得到f(x)的圖形，易見(jiàn)

3、當(dāng)x4后圖形呈下降趨勢(shì)，并在2,4間內(nèi)有f(x)一極大值(即為f(x)的最大值)，該區(qū)間內(nèi)有函數(shù)值在1.25與1.5之間，且最小值在該區(qū)間端點(diǎn)取到即為minf(2),f(4),通過(guò)鍵入:,,一元函數(shù)圖形的繪制,并運(yùn)行可得1.414,即函數(shù)f(x)最大值在1.414與1.5之間. (2)為了較精確地觀察出f(x)的最大值,在區(qū)間2,4上作出的圖形并取縱坐標(biāo)顯示范圍為1.414,1.5,鍵入:,一元函數(shù)圖形的繪制,運(yùn)行后,從圖12中可見(jiàn)的最小值約為1.44與1.46之間,且明顯靠近1.44,因此我們?nèi)?.44.,一元函數(shù)圖形的繪制,例2 繪出函數(shù)f(x)=2x6+3x5+3x3-2x2的圖形.

4、解(1)我們不妨先f(wàn)(x)的自變量顯示范圍設(shè)為-5,5,這時(shí)Mathematica將自動(dòng)選擇相應(yīng)y的顯示范圍約為-100,2100(如圖13)(注意在不同的軟件下y的顯示范圍將是不同的,既使同在Mathematica下,有時(shí)也會(huì)的不同的顯示范圍),這時(shí)圖中的曲線(xiàn)差不多是y=f(x)圖形的”全貌”,它與y=f(x)的圖形很相似.我們看到大約在-2

5、并且函數(shù)在（，）單調(diào)減少,在內(nèi)（，）單調(diào)增加,同時(shí)我們發(fā)現(xiàn)在x=與的附近，曲線(xiàn)的凸向似乎有所改變總之，在圖顯示的直線(xiàn)段內(nèi)被埋沒(méi)了許多重要的信息，然而，從圖中獲得的這些印象是否屬實(shí)呢？,一元函數(shù)圖形的繪制,為了證實(shí)這種印象，我們求出 （）542 （）432 1分別在，及作出（）的圖形，借助圖形（圖（）（）），并通過(guò)標(biāo)尺可看到當(dāng)，時(shí)，（）,一元函數(shù)圖形的繪制,也就證實(shí)f（x）了在（，.）內(nèi)單調(diào)減少的；同時(shí)糾正了（）在（.，）內(nèi)單調(diào)減少的錯(cuò)誤印象，實(shí)際情況是（）在（，.）幾（，.）內(nèi)單調(diào)減少，在（.，）及（.,）內(nèi)單調(diào)增加。 2再在，作出（）的圖形借助圖形（圖），我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng).及=.,一元函數(shù)圖形的繪制,這就證實(shí)了圖形在=.及=.處各有一個(gè)拐點(diǎn)，并且在（，.）及（.，）內(nèi)是向下凸的，在（.,.）是向上凸的,一元函數(shù)圖形的繪制,（）我們利用了函數(shù)微分的有關(guān)知識(shí)找出了這些關(guān)鍵點(diǎn)，它們是極值點(diǎn)=.、=, =.及拐點(diǎn)對(duì)應(yīng)得橫坐標(biāo)=.,=.，又為了清楚得反映函數(shù)圖形在這些點(diǎn)附近的走勢(shì)，設(shè)定自變量顯示范圍為.，.，這時(shí)顯示的圖形才反映了函數(shù)f（）在這部分2曲線(xiàn)的真實(shí)面貌。如有必要可將圖13、圖14與圖17打印出來(lái)，成為由全貌至局部的一組圖形。 由此可見(jiàn)，通過(guò)人與機(jī)器的相互作用，在微分理論的指導(dǎo)下運(yùn)用計(jì)算機(jī)研究函數(shù)圖形，才能作到真正便捷與準(zhǔn)確。,