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1、第七章 數字控制器的 狀態(tài)空間設計方法,7.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述及線性離散系統(tǒng)狀態(tài)空間 7.2 線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性 7.3 狀態(tài)反饋設計法 7.4 輸出反饋設計法 7.5 狀態(tài)觀測器設計,7.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述及線性離散系統(tǒng)狀態(tài)空間,線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 狀態(tài)和狀態(tài)變量 狀態(tài)向量 狀態(tài)空間 狀態(tài)方程和輸出方程 狀態(tài)空間描述 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立,狀態(tài)和狀態(tài)變量,描述動力學系統(tǒng)在時間域內的動態(tài)行為或運動信息的集合稱為系統(tǒng)的狀態(tài)。能夠完全描述系統(tǒng)的所用的相對獨立且數目最少的一組狀態(tài)，稱為狀態(tài)變量。 狀態(tài)變量的選取具有不唯一性，只要被選取的狀態(tài)之間
2、相互獨立即可，但狀態(tài)變量中包含的狀態(tài)的個數卻是唯一的。 一般意義上講，所選取的狀態(tài)變量可以具有物理意義，也可以只具有數學上的意義，但在工程實踐中，往往選取容易測量的量作為狀態(tài)變量以便實現狀態(tài)反饋。,狀態(tài)向量,如果完全描述一個給定系統(tǒng)的動態(tài)行為需要n個狀態(tài)變量，那么可將這些狀態(tài)變量看作是向量的各個分量，即 則x(t)稱為n維狀態(tài)向量。通常意義上的狀態(tài)是指狀態(tài)變量或狀態(tài)向量。,狀態(tài)空間,以n維狀態(tài)變量的各個分量作為基底所形成的n維空間叫做狀態(tài)空間。系統(tǒng)在任何時刻的狀態(tài)都可用狀態(tài)空間中的一個點來表示。,狀態(tài)方程和輸出方程,在狀態(tài)空間分析方法中，用三種變量來描述一個系統(tǒng)：即輸入變量、狀態(tài)變量、輸出
3、變量。 連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程通常用一階微分方程組表示 輸出方程的一般形式為 離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程通常用一階差分方程組表示 輸出方程的一般形式為,狀態(tài)空間描述,用狀態(tài)方程和輸出方程來描述系統(tǒng)的方法稱為狀態(tài)空間描述。狀態(tài)方程和輸出方程也被統(tǒng)稱為動態(tài)方程。 對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，其動態(tài)方程可以表示為 對于線性定常離散系統(tǒng)，其動態(tài)方程可以表示為,線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立,給定如下的單輸入單輸出線性定常離散系統(tǒng)的差分方程 式中，k表示kT時刻；T為采樣周期;y(k)，u(k)分別為kT時刻的輸出量和輸入量 ,可以如下選取狀態(tài)變量,可得如下所示的動態(tài)方程,線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立,寫
4、成向量矩陣形式為 式中，A為友矩陣；A, B為能控標準型；D為零矩陣。,線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立,離散動態(tài)方程與脈沖傳遞函數的關系,給出了脈沖傳遞函數，可以用不同形式的狀態(tài)方程和輸出方程表示；同樣，給出了狀態(tài)方程和輸出方程可以導出系統(tǒng)的脈沖傳遞函數或脈沖傳遞矩陣 。 線性定常離散系統(tǒng)的動態(tài)方程 對上面方程兩端求z變換（零初始狀態(tài)下），可得 即 因此，系統(tǒng)的脈沖傳遞矩陣為,7.2 線性定常離散系統(tǒng)的 能控性和能觀性,線性定常離散系統(tǒng)的能控性 線性定常離散系統(tǒng)的能觀性 對偶原理 系統(tǒng)狀態(tài)能控性、能觀性的其它特性 輸出能控性,1. 線性定常離散系統(tǒng)的能控性,對于n階線性定常離散
5、系統(tǒng) 若存在有限個輸入向量序列能將某個初始狀態(tài)在第 l 步控制到零狀態(tài)，則稱此狀態(tài)是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，或簡稱系統(tǒng)是能控的。 由上式描述的線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件是能控性矩陣 行滿秩。 例7.1 例7.2,2. 線性定常離散系統(tǒng)的能觀性,對于線性定常離散系統(tǒng) 若已知輸入序列和有限個采樣瞬間測量到的輸出序列，可以唯一地確定出系統(tǒng)的任意初始狀態(tài) ，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能觀測的，或簡稱能觀測。 由上式描述的線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是能觀測性矩陣 滿秩。 例7.3,3. 對偶原理,給定線性定常離散系統(tǒng)S
6、1、S2的狀態(tài)空間表達式分別為 S1 S2 設S1=(A,B,C)、S2=(AT, CT, BT)是互為對偶的兩個系統(tǒng)，則S1的能控性等價于S2的能觀測性；S1的能觀測性等價于S2的能控性?；蛘哒f，若S1是狀態(tài)完全能控的(完全能測觀的)，則S2是狀態(tài)完全能觀測的(完全能控的)。,4. 系統(tǒng)狀態(tài)能控性、能觀性的其它特性,非奇異相似變換不改變系統(tǒng)的能控性 非奇異變換不改變系統(tǒng)的能觀性 離散系統(tǒng)狀態(tài)能控性、能觀性與脈沖傳遞函數的關系 單輸入單輸出線性定常離散系統(tǒng)完全能控和完全能觀的充分必要條件是脈沖傳遞函數不存在著零、極點相消。如果存在著零、極點相消，系統(tǒng)或者是不完全
7、能控，或者是不完全能觀，或者既不完全能控又不完全能觀。 例7.4,5. 輸出能控性,對于n階線性定常離散系統(tǒng)，輸入向量為r維，輸出向量為m維 若存在有限個輸入向量序列能將系統(tǒng)輸出從某個初始狀態(tài)在第q步控制到任意最終輸出，則稱此系統(tǒng)是輸出完全能控的，簡稱輸出能控。 由上式描述的線性定常離散系統(tǒng)輸出能控的充要條件是輸出能控性矩陣 行滿秩 。,7.3 狀態(tài)反饋設計法,控制系統(tǒng)的品質好壞主要取決于系統(tǒng)的極點在z平面上的位置。因此，在對系統(tǒng)進行綜合設計時，往往是給出一組期望的極點，或者根據時域指標提出一組期望的極點。所謂極點配置問題就是通過對反饋增益矩陣的設計，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點恰好處于z平面上所期望的位
8、置，以獲得期望的動態(tài)特性。這種方法可以看作是對經典控制理論中的根軌跡法的擴展。 基于狀態(tài)反饋的單輸入系統(tǒng)極點配置方法 多輸入系統(tǒng)狀態(tài)反饋設計法,1.基于狀態(tài)反饋的單輸入系統(tǒng) 極點配置方法,被控系統(tǒng)如圖7.3所示 ，其狀態(tài)方程為 式中x(k)為k時刻的n維狀態(tài)向量；u(k)為k采樣時刻的控制信號；A為nn維矩陣；B為n1維列向量。,圖7.3 被控對象結構圖,采用如下形式的狀態(tài)反饋 式中，K為狀態(tài)反饋增益矩陣，v(k)為參考輸入。將其代入狀態(tài)方程中構成如圖7.4的閉環(huán)系統(tǒng)。,圖7.4 狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng),基于狀態(tài)反饋的單輸入系統(tǒng) 極點配置方法,經反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)可以表述為 若系統(tǒng)(A, B)是完
9、全能控 ，則采用上述狀態(tài)反饋得到的閉環(huán)系統(tǒng)的極點可以任意配置。不妨假設它已是能控標準型 ( 若不是，可通過非奇異非線性變換轉換成能控標準型 ) 。,基于狀態(tài)反饋的單輸入系統(tǒng) 極點配置方法,經過狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣和輸入矩陣分別為 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為,基于狀態(tài)反饋的單輸入系統(tǒng) 極點配置方法,設閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點為 則系統(tǒng)的期望特征方程為 令上兩式中的各項次冪系數對應相等，即 即可得到狀態(tài)反饋增益矩陣 K。 例7.5,基于狀態(tài)反饋的單輸入系統(tǒng) 極點配置方法,2. 多輸入系統(tǒng)狀態(tài)反饋設計法,至少有一路輸入可使系統(tǒng)是完全能控 在這種情況下，只需單獨使用該輸入實現狀態(tài)反饋。方法同前面所
10、述單輸入系統(tǒng)的狀態(tài)反饋設計法基本一樣。 例7.6 針對任意單獨輸入系統(tǒng)不完全能控 若一多輸入系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，但針對任意單獨輸入系統(tǒng)不完全能控，此時，可將各輸入看成是某單一輸入信號的線性分解，則原多輸入系統(tǒng)等價成某一單輸入系統(tǒng)。 例7.7,7.4 輸出反饋設計法,假設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 采用如圖7.5所示輸出反饋，引入參考輸入 其中H為輸出反饋增益矩陣。,圖7.5 多輸入多輸出系統(tǒng)的輸出反饋,輸出反饋設計法,,閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為 設閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點為 則系統(tǒng)的期望特征方程為 令上兩式中z各次冪項系數對應相等，即可求得輸出反饋系數矩陣H。,7.5 狀態(tài)觀測器設計,利用狀態(tài)
11、反饋實現閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置，需要利用系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量。然而系統(tǒng)的狀態(tài)變量并不都是能夠易于用物理方法量測出來的，有些根本就無法量測；甚至一些中間變量根本就沒有常規(guī)的物理意義。此種情況下要在工程上實現狀態(tài)反饋，就需要對系統(tǒng)的狀態(tài)進行估計，即構造狀態(tài)觀測器。 全維狀態(tài)觀測器 降維狀態(tài)觀測器,1. 全維狀態(tài)觀測器（1）,當對象的所有狀態(tài)均不可直接量測時，若要進行狀態(tài)反饋設計，就需對全部狀態(tài)變量進行觀測。這時構造的狀態(tài)觀測器，其階次與對象的階次相同，被稱為全維狀態(tài)觀測器?？紤]如下 n 階單輸出線性定常離散系統(tǒng) A為nn維系統(tǒng)矩陣， B為nr輸入矩陣，C為1n維輸出矩陣。,圖7.6 全維狀態(tài)觀測器,全維
12、狀態(tài)觀測器（2）,構造一個與受控系統(tǒng)具有相同參數的動態(tài)系統(tǒng) 當兩系統(tǒng)的初始狀態(tài)完全一致時，則兩個系統(tǒng)未來任意時刻的狀態(tài)也應完全相同。但在實際實現時，不可能保證二者初始狀態(tài)完全相同。為此，應引入兩個系統(tǒng)狀態(tài)誤差反饋信號構成狀態(tài)誤差閉環(huán)系統(tǒng)，通過極點配置使誤差系統(tǒng)的狀態(tài)漸趨于零。由于原受控系統(tǒng)狀態(tài)不可直接量測，故用二個系統(tǒng)的輸出誤差信號代替。,全維狀態(tài)觀測器（3）,引入了輸出誤差的狀態(tài)觀測器狀態(tài)方程為 其中，H為狀態(tài)觀測器的輸出誤差反饋系數矩陣,有如下形式 定義狀態(tài)估計誤差為,全維狀態(tài)觀測器（4）,由前述可得 即 若選擇合適的輸出誤差反饋矩陣H使得狀態(tài)估計誤差系統(tǒng)的所有極點均位于z平面單
13、位圓內，則誤差可在有限拍內趨于零，即狀態(tài)估計值在有限拍內可以跟蹤上真實狀態(tài)，且極點越靠近單位圓狀態(tài)估計誤差趨于零的速度越快，反之越慢。,全維狀態(tài)觀測器（5）,若指定狀態(tài)觀測器的特征值為 即期望的特征方程為 狀態(tài)觀測器的特征多項式為 比較兩式兩邊z各次冪項的系數可得到一個n元方程組，可求得輸出誤差反饋系數矩陣H。 例7.8,2. 降維狀態(tài)觀測器（1）,已知n維系統(tǒng)是能觀測的，其輸出矩陣的秩是m，則說明系統(tǒng)狀態(tài)有m個是可以直接觀測的，不需要對系統(tǒng)的n個狀態(tài)全部進行觀測，而只需對另外n-m個狀態(tài)進行觀測即可。即可用n-m維狀態(tài)觀測器代替全維狀態(tài)觀測器。這種維數低于被控系統(tǒng)狀態(tài)向量的觀測器稱為降維觀
14、測器。 單輸入多輸出系統(tǒng)降維觀測器的設計 已知n維線性定常離散系統(tǒng)(A，b，C)能觀測 其中，x(k)為n維狀態(tài)向量，y(k)為m維輸出列向量。 ,降維狀態(tài)觀測器（2）,先將狀態(tài)x(k)分解成兩部分：可直接測量部分x2(k)(m1維)；不能直接測量需重構部分x1(k)（(n-m)1維）。即 其中A11為(n-m)(n-m)維；A12為(n-m)m維；A21為m(n-m)維；A22為m(n-m)維；b1為(n-m)1維; b2為m1維。 為了用可直接觀測的x2(k)估計不可直接觀測的x1(k) ，引入一個虛擬輸出,降維狀態(tài)觀測器（3）,觀測器模型結構 整個系統(tǒng)的降維狀態(tài)觀測器實際上相當于全維觀測器的子系統(tǒng)。因此采用與全維觀測器相同的輸出誤差反饋思想，構造降維觀測器，其結構如圖7.7所示。,圖7.7 降維狀態(tài)觀測器結構,,降維狀態(tài)觀測器（4）,觀測器方程為 令觀測器狀態(tài)誤差為 同全維觀測器情況類似，有,,降維狀態(tài)觀測器（5）,降維觀測器的實現 將z表達式代入觀測器方程中，得 上式中x2(k)，u(k)可直接得到，但最后一項Hx2(k+1)實現有困難，因x2(k+1)是預測值。這時可采用圖7.8結構變換法，則得到降維狀態(tài)觀測器實現的結構如圖7.9所示。 例7.9,圖7.8 降維狀態(tài)觀測器實現的結構變換法示意,圖7.9 降維狀態(tài)觀測器的實現,降維狀態(tài)觀測器（6）,,
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