題型五 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題.doc

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目錄 題型五 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題 2 類型一 與特殊三角形形狀有關(guān) .2 類型二 與特殊四邊形形狀有關(guān) .8 類型三 與三角形相似有關(guān) .18 類型四 與圖形面積函數(shù)關(guān)系式、最值有關(guān) .23 類型五 與線段、周長最值有關(guān) .29 題型五 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題 類型一 與特殊三角形形狀有關(guān) 針對演練 1. (’16 原創(chuàng))如圖，已知拋物線 y=-x2+bx+c 的對稱軸為 x=1,與 y 軸的交點(diǎn)第 1 題 圖 C 為（ 0,3） ，與 x 軸交于點(diǎn) A、B，頂點(diǎn)為 D. （1）求拋物線的解析式； （2）求 A、B、D 的坐標(biāo)，并確定四邊形 ABDC 的面積； （3）點(diǎn) P 是 x 軸上的動點(diǎn)，連接 CP，若△CBP 是等腰三角形，求點(diǎn) P 的坐標(biāo). 2. （’15 長沙模擬）如圖，拋物線 y=ax2+bx+c 的圖象過點(diǎn) M（-2, ） ，頂點(diǎn)為3 N（-1, ） ，與 x 軸交于點(diǎn) A、B （點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的右側(cè)） ，與 y 軸交于點(diǎn) C.43 （1）求拋物線解析式； （2）判斷△ABC 的形狀，并說明理由； （3）若點(diǎn) Q 是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)△QBC 是直角三角形時，求點(diǎn) Q 的坐 標(biāo). 3. （’16 原創(chuàng)）如圖，拋物線 y = - x2+mx+n 與 x 軸交于點(diǎn) A、B 兩點(diǎn)，與 y 軸1 交于點(diǎn) C，其對稱軸與 x 軸的交點(diǎn)為 D，已知 A（-1,0） ，C（0,2）. （1）求拋物線的解析式； （2）判斷△ACD 的形狀，并說明理由； （3）在拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn) P，使得△ PBC 是以 P 為直角頂點(diǎn)的直 角三角形，若存在，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由 . 4. 如圖，已知二次函數(shù) L1:y=x2-4x+3 與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左 邊） ，與 y 軸交于點(diǎn) C. （1）寫出 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）二次函數(shù) L2:y=kx2-4kx+3k(k≠0),頂點(diǎn)為 P. ①直接寫出二次函數(shù) L2 與二次函數(shù) L1 有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)； ②是否存在實數(shù) k，使△ ABP 為等邊三角形？如果存在，請求出 k 的值；如不 存在，請說明理由； ③若直線 y=8k 與拋物線 L2 交于 E、F 兩點(diǎn)，問線段 EF 的長度是否會發(fā)生變化？ 如果不會，請求出 EF 的長度；如果會，請說明理由. 答案 1. 解：（1）∵拋物線 y =-x2+bx+c 的對稱軸為 ，12bx??? 解得 b=2，∵ 拋物線過點(diǎn) C（0,3） ，∴c=3 ， ∴拋物線解析式為 y=-x2+2x+3； （2）由拋物線 y=-x2+2x+3，令 y =0 得，-x 2+2x+3=0， 解得 x1=-1,x2=3，∴點(diǎn) A（-1,0 ） ，點(diǎn) B（3,0） ， 當(dāng) x=1 時，y=-1 2+2+3=4,∴點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（1,4）. 如解圖，過 D 作 DM⊥AB 于 M，則 OM =1，DM =4， ∴S 四邊形 ABDC =S△AOC +S 四邊形 OMDC+S△BMD = AO·OC + （OC+ MD）·OM + BM·DM1212 = ×1×3+ ×（3+4 ）×1+ ×4×2 =9. （3）設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（t,0） ，則 PC 2=t 2+32，PB 2=(3-t)2， ∴BC 2=32+32=18， 若△PBC 是等腰三角形， 則有①PC 2=PB 2，即 t 2+9=(3-t)2，解得 t =0，此時點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（0,0） ； ②PC 2=BC 2，則 t 2+9=18，解得 t =3（舍）或 t =-3，此時點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（-3,0） ； ③PB 2=BC 2 則(3-t) 2=18，解得 t =3+ 或 t =3- ，32 此時點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（3+ ,0）或（3- ,0）. 2. 解：（1）由拋物線的頂點(diǎn)為 N（-1, ） ，故設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式為 y=a(x+1)43 2+ ，43 將點(diǎn) M（-2, ）代入解析式得， a×(-2+1)2+ =3，43 解得 a = ,? ∴拋物線的解析式為 y = - (x+1)2+ .343 即 y= x2 x + .3? （2）對于拋物線 y= x2- x + ，令 y = 0,3?3 得 x2- x + =0，3? 解得 x1=1,x2=-3， ∴點(diǎn) A（1,0） ，點(diǎn) B（-3,0） ， 令拋物線 x=0,得 y= ，3 ∴點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（0, ）. ∴AB 2=42=16,AC 2=12+( )2=4,BC 2=32+( )2=12,3 ∴AB 2=AC 2+BC 2, ∴△ABC 是直角三角形. (3)由拋物線頂點(diǎn) N（-1, ）知拋物線的對稱軸為 x =-1，43 設(shè)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為（-1,t） ， 則 BQ 2=(-3+1)2+t 2=4+t 2,CQ 2=(-1)2+(t- )2=t 2- t+4，BC 2=12.3 要使△BQC 是直角三角形， (ⅰ) 當(dāng)∠BQC ＝90°，則 BQ 2+QC 2=BC 2, 即 4+t 2+t 2- t+4=12，3 解得 t1= + ,t2= - ，此時點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為（-1， + ）或（-1，3321 - ） ；32 （ⅱ）當(dāng)∠QBC＝90° ，則 BQ 2+BC 2=QC 2， 即 4+t 2+12=t 2- t+4，解得 t=- ，此時點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為（-1，- ） ；3323 （ⅲ）當(dāng)∠BCQ = 90°時，則 QC 2+BC 2=BQ 2， 即 t 2- t+4+12=4+t 2，解得 t = ，此時點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為（-1, ）. 綜上，當(dāng)△QBC 是直角三角形時，點(diǎn) Q 坐標(biāo)為（ -1， ） ， （-312? 1，± ）23 3. 解：（1）∵點(diǎn) A（-1,0） ，C（0,2）在拋物線上， ∴ ，解得02mn ???????32n????? ∴拋物線解析式為 y=- x2+ x+2；1 （2）△ACD 是等腰三角形. 理由：∵拋物線 y=- x2+ x+2 的對稱軸為直線 x = ，332 ∴點(diǎn) D（ ,0） ，3 ∵A（-1,0） ， C（0,2） ， ∴AC = ， AD =1+ = ,CD = ，5325235()?? ∴AD=CD≠ AC， ∴△ACD 是等腰三角形； （3）令拋物線 y=- x2+ x+2=0，得 x1=-1,x2=4,13 ∴點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（4,0） ，則 BC = ，5 取 BC 的中點(diǎn)為 S，則點(diǎn) S 的坐標(biāo)為（2,1） ； 設(shè)點(diǎn) P（ ,t） ，32 則 PS = BC = ，即(2- )2+(t-1)2=5，153 解得 t1=1+ ,t2=1- ，91 ∴存在這樣的點(diǎn) P，其坐標(biāo)為（ ,1+ ）或（ ，1- ）.32193219 4. 解：（1）當(dāng) y=0 時，x 2-4x+3=0， ∴x 1=1，x 2=3， 即：A(1，0),B(3，0); （2） ①二次函數(shù) L2 與 L1 有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)： （Ⅰ）對稱軸都為直線 x=2 或頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為 2； （Ⅱ）都經(jīng)過 A(1，0),B(3，0)兩點(diǎn)； ②存在實數(shù) k，使△ABP 為等邊三角形. ∵y=kx 2-4kx+3k=k（x -2） 2-k, ∴頂點(diǎn) P（2，- k）. ∵A(1，0)，B(3，0) ，∴AB = 2， 要使△ABP 為等邊三角形，必滿足|-k|=3，∴k=±3； ③線段 EF 的長度不會發(fā)生變化. ∵直線 y=8k 與拋物線 L2 交于點(diǎn) E、F 兩點(diǎn)， ∴kx 2-4kx+3k=8k, ∵k≠0, ∴x 2-4x+3=8, ∴x 1=-1，x 2=5， ∴EF =x 2-x1=6， ∴線段 EF 的長度不會發(fā)生變化且 EF＝6. 類型二 與特殊四邊形形狀有關(guān) 針對演練 1. 拋物線 y=x2+bx+c 經(jīng)過 A（0，2） ，B（3，2）兩點(diǎn)，點(diǎn) D 在 x 軸的正半軸. （1）求拋物線與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)； （2）若點(diǎn) C 為拋物線與 x 軸的交點(diǎn)，是否存在點(diǎn) D，使 A、B 、C、D 四點(diǎn)圍 成的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn) D 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由 . 2. 如圖，已知平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線 y=- x2+bx+c（c＞0）的頂點(diǎn) D 在第二象限，與 y 軸的交點(diǎn)為 C，過點(diǎn) C 作 CA∥x 軸交拋物線于點(diǎn) A，在 AC 延長線上取點(diǎn) B，使 AC =2BC，連接 OA，OB ，BD 和 AD. （1）若點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（-4,4） ，求拋物線的解析式； （2）在（1）的條件下，求直線 BD 的解析式； （3）是否存在 b、c 使得四邊形 AOBD 是矩形，若存在，直接寫出 b 與 c 的關(guān) 系式；若不存在，說明理由. 3. 如圖，已知直線 y = x+8 與 x 軸交于點(diǎn) A，與 y 軸交于點(diǎn) B，C 是線段 AB43? 的中點(diǎn)，拋物線 y=ax2+bx+c(a0)過 O、A 兩點(diǎn)，且其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 .43? (1)分別寫出 A、B、C 三點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)求拋物線的函數(shù)解析式； (3)在拋物線上是否存在點(diǎn) P，使得以 O、P 、B、C 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若 存在，求所有滿足條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 . 4. （’15 畢節(jié) 16 分）如圖，拋物線 y＝x 2+bx+c 與 x 軸交于 A（-1，0） ， B（3，0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn) M 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)是 M′.第 4 題圖 （1）求拋物線的解析式; （2）若直線 AM′與此拋物線的另一個交點(diǎn)為 C，求 △CAB 的面積; （3）是否存在過 A、B 兩點(diǎn)的拋物線，其頂點(diǎn) P 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)為 Q，使得 四邊形 APBQ 為正方形？若存在，求出此拋物線的解析式; 若不存在，請說明理 由. 5. (’15 黃岡 14 分)如圖，在矩形 OABC 中，OA＝5，AB＝4，點(diǎn) D 為邊 AB 上一 點(diǎn)，將△BCD 沿直線 CD 折疊，使點(diǎn) B 恰好落在 OA 邊上的點(diǎn) E 處，分別以 OC，OA 所在的直線為 x 軸，y 軸建立平面直角坐標(biāo)系. （1）求 OE 的長； （2）求經(jīng)過 O，D，C 三點(diǎn)的拋物線的解析式； （3）一動點(diǎn) P 從點(diǎn) C 出發(fā)，沿 CB 以每秒 2 個單位長的速度向點(diǎn) B 運(yùn)動，同 時動點(diǎn) Q 從 E 點(diǎn)出發(fā)，沿 EC 以每秒 1 個單位長的速度向點(diǎn) C 運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn) P 到 達(dá)點(diǎn) B 時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為 t 秒，當(dāng) t 為何值時，DP =DQ； （4）若點(diǎn) N 在（2）中的拋物線的對稱軸上，點(diǎn) M 在拋物線上，是否存在這樣 的點(diǎn) M 與點(diǎn) N，使得以 M，N，C，E 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在， 請求出 M 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. 答案 1. 解:（ 1）把 A(0,2),B(3,2)代入 y=x2+bx+c,得 ，解得 ，293cb?????3bc????? ∴拋物線的解析式為：y =x2-3x+2, 當(dāng) y =0 時，x 2-3x+2=0，解得 x1=1，x 2=2， ∴拋物線與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,0)、(2,0). （2）存在. 理由：∵A(0 ，2)，B(3， 2)， ∴AB∥x 軸，且 AB =3, 要使 A、B 、C、D 四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形， 則只要 CD =AB =3. ①當(dāng) C 點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）時，D 坐標(biāo)為（4，0） ； ②當(dāng) C 點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）時，D 坐標(biāo)為（5，0）. ∴存在點(diǎn) D，使以 A，B ， C，D 四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，D 點(diǎn)的坐 標(biāo)為（4，0）或（5，0）. 2. 解：（1）∵CA∥x 軸，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（-4,4 ） ， ∴點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（0,4） ， 將點(diǎn) A 與點(diǎn) C 代入 y=-x2+bx+c 得 ，解得 ，164bc??????4b???? ∴拋物線的解析式為 y=-x2-4x+4； （2）∵AC =2BC，∴BC =2， ∴點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（2,4） ， 由拋物線 y=-x2-4x+4 得頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（-2,8） ， 設(shè)直線 BD 的解析式為 y=kx+m， 則 ，解得 ，824km??????16k????? ∴直線 BD 的解析式為 y =-x+6. （3）存在，b 與 c 的關(guān)系式為 b=- c.2 【解法提示】∵點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（0，c） ，拋物線的對稱軸為 x = ＜0，即2b b＜0，AC∥x 軸， ∴點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（b,c ） ， ∵AC=2 BC， ∴點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ - ,c） ，2b 則 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ,c） ，4 若四邊形 AOBD 是矩形， 則需①OD 的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ,c） ；②OD= AB，b 由①得點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（ ,2c） ，4 由②得( )2=( )2+(2c)2，整理得 2c2=b2，3b ∵c＞0，b＜ 0, ∴b=- c.2 3. 解：（1）令 y=0，即- x+8=0，得 x=6,∴A 點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0） ，43 令 x=0,則 y=8，∴B 點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8） ， ∴C 點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）. （2）∵點(diǎn) C 在拋物線的對稱軸上， ∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，- ）.43 依題意有 ,解得 , 036493cab???????27890abc??????? ∴拋物線的函數(shù)解析式為 ；2879yx? （3）存在. ∵∠AOB＝90°，A（6，0） 、B（0，8） ， ∴ ,2261BO??? ∵C 是 AB 的中點(diǎn)， ∴OC = AB=BC=5,12 ∵OB=8, ∴OB＞ OC，且 OB＞BC， ∴當(dāng)以 O、P、B 、C 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時，OB 是菱形的對角線， 連接 PC，則 OB 是 PC 的垂直平分線， ∴點(diǎn) P 與點(diǎn) C 關(guān)于 y 軸對稱， ∵C（ 3，4） ， ∴P（-3，4） ， 把點(diǎn) P（-3 ， 4）代入拋物線解析式 得：24879yx?? 當(dāng) x＝-3 時，y ＝ ×（-3） 2- ×（-3）＝4，789 ∴點(diǎn) P（-3 ， 4）在拋物線上 . 故在拋物線上存在點(diǎn) P，使以 O、P、B、C 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且點(diǎn) P 的 坐標(biāo)是（-3 ，4）. 4. 解：（1）∵拋物線與 x 軸交于點(diǎn) A（-1,0 ） ，B(3,0), ∴拋物線的解析式為 y＝（ x+1）(x-3) ＝x 2-2x-3；……………………（4 分） （2）∵拋物線 y＝x 2-2x-3=(x-1)2-4， ∴點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（1,-4 ）. ∵點(diǎn) M 與點(diǎn) M′關(guān)于 x 軸對稱， ∴點(diǎn) M′的坐標(biāo)為（1,4） ，…………………………………………………（6 分） 設(shè)直線 AM′的解析式為 y=kx+m， 將點(diǎn) A（-1,0 ） ，點(diǎn) M′(1，4)代入得， ，解得 ，04km??????2k???? ∴直線 AM′的解析式為 y＝ 2x+2，…………………………………………（8 分） 將直線 AM′與拋物線 y＝x 2-2x-3 聯(lián)立得 ，解得 ，23yx??????10?????251y ∴點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（5,12） ，……………………………………………………（10 分） 又∵AB =3-（ -1）＝4， ∴S △CAB = ×4×12＝24. ……………………………………………………（12 分）12 （3）∵四邊形 APBQ 是正方形， ∴PQ 垂直且平分 AB，且 PQ=AB， 設(shè) PQ 與 x 軸交點(diǎn)為 N，則 PN = AB＝2,12 ∵拋物線的對稱軸為 x＝ 1， ∴點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（1,2）或（1，-2）. …………………………………（13 分） 設(shè)過 A、B 兩點(diǎn)的拋物線的解析式為 y=a(x+1)(x-3)， 將點(diǎn)（1,2）代入得 a =- ，12 此時拋物線解析式為 y =- (x+1)(x-3)=- x2+x + ；………………（15 分）13 將點(diǎn)（1，-2 ）代入得 a = ， 此時拋物線解析式為 .……………………（16 分）21()32yxx???? 5. 解:(1)∵四邊形 OABC 為矩形， ∴BC＝OA＝5，OC＝AB＝4，∠COA＝90°， 又∵△CED 是△BCD 沿直線 CD 折疊得到的，點(diǎn) B 的對應(yīng)點(diǎn)為 點(diǎn) E， ∴CE＝BC＝5， 在 Rt△ COE 中，OE 2＝CE 2-OC 2， ∴OE ＝ ,24? ∴OE＝ 3. ………………………………………………………………………(2 分) （2）設(shè) AD =m, 則 DE=BD=4-m.∵OE ＝3， ∴AE＝OA- OE＝5-3 ＝2. 在 Rt△ ADE 中，AD 2+AE 2=DE 2,即 m 2+22=(4-m)2, ∴m＝ ，32 ∴D（- ，-5）. ………………………………………………………………（4 分） 又∵C （-4，0） ，O（0，0） ， ∴設(shè)過 O，D，C 三點(diǎn)的拋物線的解析式為 y=ax(x+4)， ∴-5＝ - a·（- +4） ，32 ∴a＝ ，4 ∴經(jīng)過 O，D，C 三點(diǎn)的拋物線的解析式為 y= x2+ x. …………………（6 分）4316 （3）①由于運(yùn)動時間為 t 秒，則 EQ＝t，CP＝2t， 如解圖①，∵△BCD 沿直線 CD 折疊得到△ECD, ∴BD＝ DE, 若 DP＝ DQ， 則 Rt△ PBD≌ Rt△QED（HL）, ∴PB＝QE,即 CB-CP＝EQ. ∴5-2t＝t, 解得 t＝ .………………………………………………………………………(8 分)53 （4） （?。┤缃鈭D②，當(dāng) M 點(diǎn)在對稱軸右側(cè)，即為 M1 點(diǎn)， M1N∥CE 且 M1N =CE 時，四邊形 ECNM 1 為平行四邊形， 過 M 1 作 M 1F 垂直對稱軸于點(diǎn) F，則△M 1FN ≌△COE， ∴FM 1＝OC ，∵對稱軸為直線 x＝-2 ， ∴此時，點(diǎn) M 1 的橫坐標(biāo)為 2， 對于 y = x2+ x，當(dāng) x＝2 時，y=16，436 ∴點(diǎn) M 1 的坐標(biāo)為（2，16）. ………………………………………………(10 分) (ⅱ)如解圖③ ，當(dāng) M 點(diǎn)在對稱軸左側(cè)，即為 M 2， M 2N∥CE 且 M 2N =CE 時， 四邊形 ECM 2N 為平行四邊形，過 M 2 作 M 2F 垂直對稱軸于點(diǎn) F，則△M 2FN ≌△COE， ∴FM 2＝OC ， ∵對稱軸直線 x＝-2， ∴此時，點(diǎn) M 2 的橫坐標(biāo)為-6. 對于 y = x2+ x，當(dāng) x＝-6 時，y=16 ，4316 ∴點(diǎn) M 2 的坐標(biāo)為（-6 ，16）. ………………………………………………(12 分) （ⅲ）如解圖④，當(dāng) M 點(diǎn)在拋物線的頂點(diǎn)上，即為 點(diǎn) M 3，CN∥ M 3E 且 CN = M 3E 時,四邊形 EM 3CN 為平行四邊形,CE 與 NM 3 相 交于點(diǎn) O′，則 O′為線段 CE 的中點(diǎn)， 又∵點(diǎn) M 3 在對稱軸上，則 M 3 的橫坐標(biāo)為-2， 對于 y = x2+ x，當(dāng) x＝-2 時，y=- ，41616 ∴點(diǎn) M 3 的坐標(biāo)為（-2 ，- ）. 綜上所述，當(dāng)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（2，16） 、 （-6，16） 、 （-2，- ）時，以163 M,N,C,E 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形. ……………………………………………(14 分) 類型三 與三角形相似有關(guān) 針對演練 1. （’15 黔南州 12 分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，拋物線 y=- x2+bx+c16 過點(diǎn) A(0,4)和 C(8,0),P(t,0)是 x 軸正半軸上的一個動點(diǎn)，M 是線段 AP 的中點(diǎn)， 將線段 MP 繞點(diǎn) P 順時針旋轉(zhuǎn) 90°得線段 PB.過點(diǎn) B 作 x 軸的垂線，過點(diǎn) A 作 y 軸的垂線，兩直線相交于點(diǎn) D. (1)求 b、c 的值； (2)當(dāng) t 為何值時，點(diǎn) D 落在拋物線上； (3)是否存在 t，使得以 A、B 、D 為頂點(diǎn)的三角形與 △AOP 相似？若存在，求此 時 t 的值；若不存在，請說明理由. 2. （’15 常德模擬）已知拋物線 y =ax2-2x+c 與 x 軸交于 A（-1，0） 、B 兩點(diǎn)， 與 y 軸交于點(diǎn) C，對稱軸為 x =1，頂點(diǎn)為 E，直線 y =- x+1 交 y 軸于點(diǎn) D.13 （1）求拋物線的解析式； （2）求證：△BCE∽△BOD； （3）點(diǎn) P 是拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動到什么位置時，△BDP 的面積等 于△BOE 的面積？ 答案 解：（1）由拋物線 y =- x2+bx+c 過點(diǎn) A（0，4）和 C（8，0）可得，16 ∴ ,解得 4680cbc????????5bc????? 故 b 的值為 ，c 的值為 4；………………………………………………（3 分）5 （2）∵∠AOP ＝∠PEB＝90° ，∠OAP ＝∠EPB＝90°-∠APO， ∴△AOP ∽△ PEB，則 ,2OAPEB? ∵AO =4,P（t,0）, ∴PE =2,OE =OP +PE = t+2, 又∵DE =OA =4, ∴點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（t+2,4）, ∴點(diǎn) D 落在拋物線上時，有- (t+2)2+ (t+2)+4=4,165 解得 t=3 或 t=-2, ∵t＞0, ∴t=3. 故當(dāng) t 為 3 時，點(diǎn) D 落在拋物線上；…………………………………………（6 分） （3）存在，理由： 由（2）知△AOP ∽△PEB， 則 ，2OPABE? ∵P(t,0),即 OP＝t. ∴BE ＝ .2 ①當(dāng) 0＜t＜8 時， 若△POA∽△ ADB，則 ，OPADB? 即 ,412tt??? 整理得 t 2+16=0, ∴t 無解； 若△POA∽△ BDA，則 ,即 ，POABD?412t??? 解得 t1= -2+ 或 t2= -2- (舍去)；55 ②當(dāng) t＞8 時，如解圖. 若△POA∽△ ADB，則 ，POADB? 即 ,412t??? 解得 t1= 8+ 或 t2= 8- (負(fù)值舍去)；55 若△POA∽△ BDA，同理可得 t 無解. 綜上可知，當(dāng) t =-2+ 或 8+ 時，以 A、B 、D 為頂點(diǎn)的三角形與△AOP4 相似. …………………………………………………………………………（12 分） 2. 解：（1）由拋物線 y=ax2-2x+c 得，對稱軸 ,∴a =1，21bx?? 將點(diǎn) A（-1 ， 0）及 a＝1，代入 y=ax2-2x+c 中，得 1+2+c=0，c =-3， ∴拋物線的解析式：y =x2-2x-3； （2）由拋物線的解析式 y =x2-2x-3=(x-1)2-4 =(x+1)(x-3),得點(diǎn) C（0，-3） 、 B（3，0） 、E（1，-4 ）. 易知點(diǎn) D（0，1） ，則有： OD ＝1，OB ＝3，BD ＝ ，CE ＝ ，BC ＝ ，BE ＝ ，102325 ∴ ，ODBCE? ∴△BCE∽△BOD ； （3）S △BOE = ×BO×|yE|= ×3×4＝6，12 ∴S △BDP ＝ ×BD×h=S△BOE ＝6，即 h = ,120 在 y 軸上取點(diǎn) M，過點(diǎn) M 作 MN 1⊥BD 于 N 1，使得 MN 1=h= ,20 在 Rt△ MN 1D 中，sin ∠MDN 1＝sin∠BDO＝ ，3OBD? 且 MN 1＝ ；20 則 MD＝ =4;1sinMND? ∴點(diǎn) M（0，-3 ）或（0，5）. 過點(diǎn) M 作直線 l⊥MN 2，如解圖， 則直線 l:y =- x-3 或 y=- x+5.13 聯(lián)立拋物線的解析式有： 或 ,2 13yx??????2153yx??????? 解得： , 或 ,103xy????? 259?35681y??????468531xy????? ∴當(dāng)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 0，-3） ， （ ， ） ， （ ， ） ， （3296? ， ）時，△BDP 的面積等于△BOE 的面積.5316?8531? 類型四 與圖形面積函數(shù)關(guān)系式、最值有關(guān) 針對演練 1.（’15 安順 26 題 14 分）如圖，拋物線 y=ax2+bx+ 與直線 AB 交于點(diǎn) A(-1,0),52 B(4,52).點(diǎn) D 是拋物線 A,B 兩點(diǎn)間部分上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn) A,B 重合） ，直線 CD 與 y 軸平行，交直線 AB 于點(diǎn) C，連接 AD,BD. (1)求拋物線的解析式； （2）設(shè)點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)為 m，△ADB 的面積為 S，求 S 關(guān)于 m 的函數(shù)關(guān)系式， 并求出當(dāng) S 取最大值時的點(diǎn) C 的坐標(biāo). 2. （’15 岳陽模擬）如圖，拋物線 y=-x2+bx+c 與 x 軸交于 A（1，0） ，B（- 3，0）兩點(diǎn)． （1）求該拋物線的解析式； （2）設(shè)（1）中的拋物線交 y 軸于 C 點(diǎn)，在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn) Q，使得△QAC 的周長最?。咳舸嬖冢蟪?Q 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理 由； （3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn) P，使△PBC 的面積最 大？若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)及△PBC 的面積最大值；若沒有，請說明理由． 3. （’15 永州模擬）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，拋物線 y=ax2+bx+c 的 對稱軸為 x=0，點(diǎn) A（m ，6） ，B（n，1）為兩動點(diǎn)，其中 0＜m＜3，連接 OA，OB，OA⊥OB． （1）求證：mn=-6； （2）當(dāng) S△AOB =10 時，拋物線經(jīng)過 A，B 兩點(diǎn)且以 y 軸為對稱軸，求拋物線對 應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式； （3）在（2）的條件下，設(shè)直線 AB 交 y 軸于點(diǎn) F，過點(diǎn) F 作直線 l 交拋物線于 P，Q 兩點(diǎn)，問是否存在直線 l，使 S△POF ∶S △QOF =1∶3？若存在，求出直線 l 對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請說明理由. 答案 1.解：（1）由題意得 ，……………………………………（2 分） 502164ab??????? 解得 ，…………………………………………………………………（4 分） 12ab?????? ∴ .…………………………………………………………（6 分）215yx??? (2)設(shè)直線 AB 為 ，則有 ，ykxb??0542kb??????? 解得 ，……………………………………………………………………（7 12kb????? 分） ∴直線 AB 的解析式為 .…………………………………………（8 分）12yx?? 則 ，…………………………………（9 分）215(,),()DmCm?? 2151()()2CDm????? .………………………………………………………（10 分）3 ∴ (1)(4)ACDBSCDm????△ △ 2153()m???? . …………………………………………………（11 分）2154 ∵ ＜0,5 ∴拋物線開口向下 故當(dāng) m＝ 時，S 有最大值. ……………………………………………… （12 分）32 當(dāng) m＝ 時， ,131524??? ∴點(diǎn) C（ ， ）.54 當(dāng) S 取最大值時的點(diǎn) C 坐標(biāo)為（ ， ）.…………………………………（14 分） 2. 解：（1）將 A（1，0） ，B（-3，0）代入 y=-x2+bx+c 中， 得 ,∴ ,93bc??????23b???? ∴拋物線解析式為:y=-x 2-2x+3； （2）存在. 理由如下：由題意知 A、B 兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸 x=-1 對稱， ∴直線 BC 與 x=-1 的交點(diǎn)即為 Q 點(diǎn)，此時△AQC 的周長最 小， ∵y＝-x 2-2x+3, ∴C 的坐標(biāo)為（0，3） ， ∴直線 BC 的解析式為 y=x+3. 將 x=-1 代入 y=x+3 中，解得 y=2, ∴Q(-1,2). （3）存在. 理由如下： ∵B(-3,0),C(0,3) ， ∴水平寬 a =xC-xB =0-(-3)=3. 設(shè)點(diǎn) P（x ,-x2-2x+3）(-3x0)， 過 P 點(diǎn)作 PE⊥x 軸交 x 軸于點(diǎn) E，交 BC 于點(diǎn) F，則 F 點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x +3） ， ∴鉛垂高 h=yP-yF＝-x 2-2x+3-(x+3)=-x2-3x， ∴S = ah= (-x2-3x)=- (x2+3x+ - )1394 =- （x+ ） 2+ ，78 ∴當(dāng) x=- 時，△BPC 的面積最大，最大為 ，278 當(dāng) x=- 時，-x 2-2x+3 = ,3154 ∴點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（- ， ）.3 3. （1）證明：作 BC⊥x 軸于點(diǎn) C，AD⊥x 軸于點(diǎn) D， ∵A，B 點(diǎn)坐標(biāo)分別為（m,6）,(n,1), ∴BC=1, OC=-n,OD=m,AD=6, 又 OA⊥ OB， 易證△CBO∽△DOA， ∴ ,CBODA? ∴ ，16nm? ∴mn=-6. （2）解：由（1）知，△CBO∽△DOA， ∴ ,即 OA＝mBO，1OBCAD? 又∵S △AOB ＝ 10， ∴ OB·OA＝10，即 OB·OA＝20，32 ∴mBO 2=20, 又 OB 2=BC 2+OC 2=n2+1, ∴m(n 2+1)=20, 又∵mn=-6, ∴m=2,n=-3, ∴A 坐標(biāo)為（2，6） ，B 坐標(biāo)為（-3，1） ， 易得拋物線解析式為 y=-x2+10. (3)解：存在. 理由如下： 直線 AB 的解析式為 y=x+4，且與 y 軸交于點(diǎn) F（0，4） ， ∴OF＝ 4， 假設(shè)存在直線 l 交拋物線于 P，Q 兩點(diǎn)，使 S△POF ∶ S△QOF =1∶3,如解圖所示， 則有 PF∶FQ =1∶3，作 PM⊥y 軸于點(diǎn) M，QN⊥ y 軸 于點(diǎn) N， 設(shè) P 坐標(biāo)為（x ,-x2+10） ，∴PM ＝- x,OM ＝-x 2+10， 則 FM =OM-OF=(-x2+10)-4=-x2+6, 易證△PMF ∽△QNF, ∴ ,13MFQN? ∴QN ＝3PM =-3x,NF =3MF =-3 x2+18, ∴ON =NF –OF =-3x 2+18-4=-3x2+14, ∴Q 點(diǎn)坐標(biāo)為（-3x ,3x2-14）, ∵Q 點(diǎn)在拋物線 y=-x2+10 上， ∴3x 2-14=-9x2+10, 解得：x 1= ,x2=- , ∴P 1（ ,8）,Q 1(-3 ,-8), P 2(- ,8),Q 2(3 ,-8) ∴易得直線 PQ 的函數(shù)關(guān)系式為 y=2 x+4 或 y=-2 x+4.22 類型五 與線段、周長最值有關(guān) 針對演練 1. 如圖 ,已知拋物線 y=ax2+bx+c 與 x 軸交于 O、B 兩點(diǎn),其中 O 為原點(diǎn),且 OB=6, 拋物線的頂點(diǎn)為 A,若點(diǎn) M(1, )是拋物線上一點(diǎn)． 09 (1)求拋物線的解析式; (2)若 N 為拋物線對稱軸上一個動點(diǎn),當(dāng) NO +NM 的值最小時 ,求點(diǎn) N 的坐標(biāo). 2. （’15 棗莊 10 分）如圖，直線 y＝x+2 與拋物線 y＝ax 2+bx+6（a≠0）相交于 A（ ， ）和 B（4，m）兩點(diǎn)，點(diǎn) P 是線段 AB 上異于 A，B 的動點(diǎn)，過點(diǎn) P125 作 PC⊥x 軸于點(diǎn) D，交拋物線于點(diǎn) C. （1）求拋物線的解析式； （2）是否存在這樣的點(diǎn) P，使線段 PC 的長有最大值？若存在，求出這個最大 值；若不存在，請說明理由； （3）當(dāng)△PAC 為直角三角形時，求點(diǎn) P 的坐標(biāo). 3. （’15 沈陽 14 分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 與243yx??? x 軸交于 B、C 兩點(diǎn)( 點(diǎn) B 在點(diǎn) C 的左側(cè)) ，與 y 軸交于點(diǎn) A，拋物線的頂點(diǎn)為 D. (1)填空：點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(___，___)，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (___，___), 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 (___， ___)，點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 (___，___); (2)點(diǎn) P 是線段 BC 上的動點(diǎn)( 點(diǎn) P 不與點(diǎn) B、C 重合 ). ①過點(diǎn) P 作 x 軸的垂線交拋物線于點(diǎn) E，若 PE=PC，求點(diǎn) E 的坐標(biāo)； ②在①的條件下，點(diǎn) F 是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，且點(diǎn) F 到 EA 和 ED 的距離相等，請 直接寫出線段 EF 的長； ③若點(diǎn) Q 是線段 AB 上的動點(diǎn) (點(diǎn) Q 不與點(diǎn) A、B 重合)，點(diǎn) R 是線段 AC 上的動 點(diǎn)(點(diǎn) R 不與點(diǎn) A、C 重合)，請直接寫出△PQR 周長的最小值. 溫馨提示：可以根據(jù)題意，在備用圖中補(bǔ)充圖形，以便作答. 答案 解：(1)由對稱性得拋物線與 x 軸的交點(diǎn)為 O(0，0) ，B(6，0)， 設(shè)拋物線的解析式為 y=a(x-0)(x-6)， ∵M(jìn)(1， )是拋物線上一點(diǎn)，209 ∴ =a×1×(-5)，∴a=- ，49 ∴拋物線的解析式為 y=- x2+ x.83 (2)拋物線對稱軸為：x =3，∵點(diǎn) O、B 關(guān)于對稱軸對稱， ∴連接 MB 交對稱軸于 N，如解圖，這時 NO +NM 的值最小. 設(shè) MB 的解析式為： y=k1x+b1， 將 B（6，0） ，M (1， )代入 MB 的解析式中，209 得 ，解得 ， 1062=9kb??????14-983k????? 易得直線 MB 的解析式為 ，4-9yx?? 當(dāng) x=3 時，y = ，43 ∴N(3， ). 2.解：（1）∵B(4, m)在直線 y=x+2 上， ∴m=4+2=6, ∴B(4,6)， ∵點(diǎn) A( , ),B(4,6)在拋物線 y=ax2+bx+6 上，125 ∴ ，解得 ，2)64ba ??????8ab????? ∴拋物線的解析式為 y=2x2-8x+6. …………………………………………（3 分） (2）設(shè)動點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ n,n+2） ，則點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 (n，2n 2-8n+6)， ∴PC =(n+2)-(2 n2-8n+6) =-2n2+9n-4 =-2(n- )2+ .948 ∴當(dāng) n= 時，線段 PC 取得最大值 .498 ∴存在這樣的點(diǎn) P,使線段 PC 的長有最大值，PC 最大值為 .……………（6498 分） (3)如解圖①，顯然， ∠APC ≠90°， 當(dāng)∠PAC=90°時，直線 AB 的解析式為 y=x+2， 設(shè)直線 AC 的解析式為 y=-x+b, 把 A( ， )代入得 ＝- +b，解得 b=3.12521 ∴直線 AC 的解析式為 y=-x+3. 由-x+3=2 x2-8x+6, 解得 x = 3 或 x = （舍去） ，1 當(dāng) x=3 時，x+2=3+2=5,此時，點(diǎn) P 坐標(biāo)為 P 1(3,5)；………………………（8 分） 當(dāng)∠PCA=90°時，如解圖 ②，由 A( , )知，點(diǎn) C 的縱坐標(biāo)25 為 y= .52 由 2x2-8x+6= ,得 x1＝ （舍去） ，x 2= ,27 當(dāng) x= 時，x+2= +2= .7 此時，點(diǎn) P 坐標(biāo)為 P 2( , ).7 綜上所述，滿足條件的點(diǎn) P 有兩個,分別為 P 1(3,5)，P 2（ ， ）. …（10 分）71 3. 解：（1）A（0,2）,B（-3,0）,C（1,0） ，D（-1， ）83 【解法提示】∵拋物線 與 x 軸交于 B、C 兩點(diǎn)，∴243yx??? ，解得 x1=-3,x2 =1,∵點(diǎn) B 在點(diǎn) C 的左側(cè)，∴B(-3，0)，C(1，0)，2403x?? 又∵拋物線與 y 軸交于點(diǎn) A，∴當(dāng) x=0 時，y=2 ，∴A (0，2). ∵ ，且當(dāng) x=-1 時， .∴頂點(diǎn) D 的12()3ba???? 248(1)()33?????? 坐標(biāo)為（-1 ， ）.8 （2）①設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（n,0） ，-3＜n＜1. ∵EP⊥x 軸，點(diǎn) E 在拋物線上， ∴點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（n, ） ，243?? 又∵PE =PC，∴ ，2413nn???? ∴n 1=- ,n2=1(不符合題意，舍去)， 當(dāng) n=- 時， ，32245()()23??? ∴E(- , )，…………………………………………………………………（7 分）5 ② 或 .…………………………………………………………………… (10 分)32 【解法提示】如解圖①，設(shè)直線 DE 與 x 軸交于 M，與 y 軸交于 N，直線 EA 與 x 軸交于點(diǎn) K，根據(jù) E、D 的坐標(biāo)求得直線 ED 的解析式為 y= x+3，根據(jù)13 E、A 的坐標(biāo)求得直線 EA 的解析式為 y=- x+2，∴△MEK 是以 MK 為底邊的等13 腰三角形， △AEN 是以 AN 為底邊的等腰三角形，∵到 EA 和 ED 的距離相等的點(diǎn) F 在頂角 的平分線上，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知，EF 的長是 E 點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離， ∴EF = 或 .325 ③ . ………………………………………………………………(14 分)3265 【解法提示】根據(jù)題意得：當(dāng) P 與 O 重合時，周長最小，如解圖②，作 O 關(guān)于 AB 的對稱點(diǎn) E，作 O 關(guān)于 AC 的對稱點(diǎn) F，連接 EF 交 AB 于點(diǎn) Q，交 AC 于點(diǎn) R，此時△PQR 的周長＝PQ +QR +PR =EF，∵A (0，2)，B(-3，0)，C(1，0)， ∴AB = ，AC = ，∵S △AOB = × OE×AB 231??215??12 = OA·OB，∴OE = ，易得△OEM ∽△ABO，∴ ，即12123OMEAB? ，∴OM = ，EM = ，∴E(- ， )，同理可求 F( ，13OME?41362413685 )，∴△ PQR 周長的最小值為 .45 228()()536F????