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1、高考大題專項(xiàng)突破三高考大題專項(xiàng)突破三高考中的數(shù)列高考中的數(shù)列-2-從近五年高考試題分析來看,高考數(shù)列解答題主要題型有:等差、等比數(shù)列的綜合問題;證明一個(gè)數(shù)列為等差或等比數(shù)列;求數(shù)列的通項(xiàng)及非等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和;證明數(shù)列型不等式.命題規(guī)律是解答題每兩年出現(xiàn)一次,命題特點(diǎn)是試題題型規(guī)范、方法可循、難度穩(wěn)定在中檔.-3-題型一題型二題型三題型四題型五題型一等差、等比數(shù)列的綜合問題突破策略一公式法對(duì)于等差、等比數(shù)列,求其通項(xiàng)及求前n項(xiàng)的和時(shí),只需利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式求解即可.例1(2017北京,文15)已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2
2、b4=a5.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)求和:b1+b3+b5+b2n-1.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因?yàn)閍2+a4=10,所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n-1.(2)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q.因?yàn)閎2b4=a5,所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.從而b1+b3+b5+b2n-1=1+3+32+3n-1=.-4-題型一題型二題型三題型四題型五對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1在等比數(shù)列an中,已知a1=2,a4=16.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(2)若a3,a5分別為等差數(shù)列bn的第4項(xiàng)和第16項(xiàng),試求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和S
3、n.解(1)設(shè)an的公比為q,由已知得16=2q3,解得q=2.an=2n.(2)由(1)得a3=8,a5=32,則b4=8,b16=32.-5-題型一題型二題型三題型四題型五突破策略二轉(zhuǎn)化法無論是求數(shù)列的通項(xiàng)還是求數(shù)列的前n項(xiàng)和,都可以通過變形、整理,把數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式或求和公式解決問題.例2在數(shù)列an中,a1=1,數(shù)列an+1-3an是首項(xiàng)為9,公比為3的等比數(shù)列.(1)求a2,a3;(2)求數(shù)列 的前n項(xiàng)和Sn.解(1)數(shù)列an+1-3an是首項(xiàng)為9,公比為3的等比數(shù)列,an+1-3an=93n-1=3n+1.a2-3a1=9,a3-3a
4、2=27.a2=12,a3=63.-6-題型一題型二題型三題型四題型五對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2設(shè)an是公比大于1的等比數(shù)列,Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)令bn=ln a3n+1,n=1,2,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.-7-題型一題型二題型三題型四題型五-8-題型一題型二題型三題型四題型五題型二證明數(shù)列為等差或等比數(shù)列突破策略一定義法-9-題型一題型二題型三題型四題型五例3已知數(shù)列an是等差數(shù)列,且a1,a2(a1a2)分別為方程x2-6x+5=0的兩根.(1)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn;(1)解 解方程x2-6x+5
5、=0得其兩根分別為1和5,a1,a2(a1a2)分別為方程x2-6x+5=0的兩根,a1=1,a2=5,等差數(shù)列an的公差為4,bn+1-bn=2(n+1)-2n=2,b1=2,bn是以2為首項(xiàng),公差為2的等差數(shù)列.-10-題型一題型二題型三題型四題型五對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2017全國,文17)設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.-11-題型一題型二題型三題型四題型五突破策略二遞推相減化歸法對(duì)已知數(shù)列an與Sn的關(guān)系,證明an為等差或等比數(shù)列的問題,解題思路為:由an與Sn的關(guān)系遞推出n為
6、n+1時(shí)的關(guān)系式,兩關(guān)系式相減后,進(jìn)行化簡、整理,最終化歸為用定義法證明.例4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=(m+1)-man對(duì)任意的nN*都成立,其中m為常數(shù),且m-1.(1)求證:數(shù)列an是等比數(shù)列;(2)記數(shù)列an的公比為q,設(shè)q=f(m),若數(shù)列bn滿足b1=a1,bn=f(bn-1)(n2,nN*).求證:數(shù)列 是等差數(shù)列;(3)在(2)的條件下,設(shè)cn=bnbn+1,數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn,求證:Tn1時(shí),3Sn-1=an-1,-得3(Sn-Sn-1)=3an=an+1-an,則an+1=4an,又a2=3a1+1=4=4a1,數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公比為4的等比數(shù)列,則an
7、=4n-1.(2)由(1)得a2=4,S3=21,-23-題型一題型二題型三題型四題型五題型四數(shù)列型不等式的證明突破策略放縮法要證明關(guān)于一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的不等式,一般有兩種思路:一是先求和再對(duì)和式放縮;二是先對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)放縮再求數(shù)列的和,必要時(shí)對(duì)其和再放縮.例7(2017廣東佛山一模,文17)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn=an+n2-1(nN*).(1)求an的通項(xiàng)公式;-24-題型一題型二題型三題型四題型五(1)解 Sn=an+n2-1(nN*),a1+a2=a2+22-1,解得a1=3.當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=an+n2-1-an-1+(n-1)2-1,整理得an-1
8、=2n-1,可得an=2n+1,當(dāng)n=1時(shí)也成立.an=2n+1.(2)證明 由(1)可得Sn=2n+1+n2-1=n2+2n.-25-題型一題型二題型三題型四題型五對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7(2017貴州貴陽二模)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和,an0,且4Sn=an(an+2).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;-26-題型一題型二題型三題型四題型五-27-題型一題型二題型三題型四題型五題型五數(shù)列中的存在性問題突破策略存在順推法求解數(shù)列中的存在性問題,先假設(shè)所探求對(duì)象存在或結(jié)論成立,再以此假設(shè)為前提條件進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理,若由此推出矛盾,則假設(shè)不成立,即不存在;若推不出矛盾,則得到存在的結(jié)果.例8已知數(shù)列a
9、n的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中為常數(shù).(1)證明an+2-an=.(2)是否存在,使得an為等差數(shù)列?并說明理由.-28-題型一題型二題型三題型四題型五(1)證明 因?yàn)閍nan+1=Sn-1,所以an+1an+2=Sn+1-1.兩式相減,得an+1(an+2-an)=an+1.因?yàn)閍n+10,所以an+2-an=.(2)解 由題設(shè),a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1.由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4.由此可得a2n-1是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=4n-3;a2n是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,即an+1-an=2.因此存在=4,使得數(shù)列an為等差數(shù)列.-29-題型一題型二題型三題型四題型五-30-題型一題型二題型三題型四題型五-31-32-
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